25 · 1/2. Муодилаи f′ = kf ва ҳалли он - Алгебра — синфи 11
Муодилаи дифференсиалӣ
Дар илм ва техника бисёр масъалаҳо ба муодилаи
f ′ ( x ) = k f ( x ) , ( 10 ) f'(x) = kf(x), \qquad (10) f ′ ( x ) = k f ( x ) , ( 10 ) k k k
Мисоли 1 (таҷзияи радиоактивӣ). Суръати таҷзияи модда ба миқдори он мутаносиб аст: m ′ ( t ) = b m
навбатӣ 25 · 2/2. Таҷзия, афзоиш ва фишор 1 соат
( t ) . m'(t) = bm(t). m ′ ( t ) = bm ( t ) .
m ′ ( t ) ≤ 0 ; m'(t) \le 0; m ′ ( t ) ≤ 0 ; m ′ ( t ) = − α m ( t ) . ( 11 ) m'(t) = -\alpha m(t). \qquad (11) m ′ ( t ) = − α m ( t ) . ( 11 ) Мисоли 2 (афзоиши аҳолӣ). Агар афзоиши аҳолии ин ё он мамлакатро фарз кунанд, ки суръати афзоиш ба миқдори аҳолӣ N ( t ) N(t) N ( t ) N ′ ( t ) = β N ( t ) , β > 0. ( 12 ) N'(t) = \beta N(t), \qquad \beta > 0. \qquad (12) N ′ ( t ) = βN ( t ) , β > 0. ( 12 )
Мисоли 3 (фишори ҳаво). Дар баландиҳои на он қадар калон ҳарорати ҳаво доимӣ аст ва суръати камшавии фишор ба худи фишор мутаносиб аст. Агар P ( h ) P(h) P ( h ) h h h P ′ ( h ) = − γ P ( h ) , γ > 0. ( 13 ) P'(h) = -\gamma P(h), \qquad \gamma > 0. \qquad (13) P ′ ( h ) = − γ P ( h ) , γ > 0. ( 13 )
Ҳар се муодила намуди ( 10 ) (10) ( 10 ) (k = − α , k = -\alpha, k = − α , k = β , k = \beta, k = β , k = − γ k = -\gamma k = − γ
Ҳалли муодилаи f ′ = k f f' = kf f ′ = k f Барои ҳар доимии C C C f ( x ) = C e k x ( 14 ) f(x) = Ce^{kx} \qquad (14) f ( x ) = C e k x ( 14 ) ( 10 ) (10) ( 10 ) f ′ ( x ) = C ( e k x ) ′ = C k e k x = k ⋅ C e k x = k f ( x ) . f'(x) = C\left(e^{kx}\right)' = Cke^{kx} = k\cdot Ce^{kx} = kf(x). f ′ ( x ) = C ( e k x ) ′ = C k e k x =
Пас формулаи ( 14 ) (14) ( 14 ) ҳалли умумии муодилаи ( 10 ) (10) ( 10 ) C C C
Дар ҳақиқат, аз f ( x 0 ) = C e k x 0 = f 0 f(x_0) = Ce^{kx_0} = f_0 f ( x 0 ) = C e k x 0 = f 0 C = f 0 e − k x 0 , C = f_0e^{-kx_0}, C = f 0 e − k x 0 , C e k x = f 0 e k ( x − x 0 ) . Ce^{kx} = f_0e^{k(x - x_0)}. C e k x = f 0 e k ( x − x 0 f ( x 0 ) = f 0 f(x_0) = f_0 f ( x 0 ) = f 0 f 0 e 0 = f 0 . f_0e^{0} = f_0. f 0 e 0 = f 0 .
Мисолҳо Мисоли 4. Муодилаи f ′ = 3 f f' = 3f f ′ = 3 f f ( 0 ) = 2 f(0) = 2 f ( 0 ) = 2
Ҳал. k = 3 , k = 3, k = 3 , x 0 = 0 , x_0 = 0, x 0 = 0 , f 0 = 2. f_0 = 2. f 0 = 2. ( 15 ) : (15): ( 15 ) : f ( x ) = 2 e 3 x . f(x) = 2e^{3x}. f ( x ) = 2 e 3 x . f ′ ( x ) = 6 e 3 x = 3 f ( x ) , f'(x) = 6e^{3x} = 3f(x), f ′ ( x ) = 6 e 3 x = 3 f ( x ) , f ( 0 ) = 2. f(0) = 2. f ( 0 ) = 2.
Мисоли 5. Муодилаи y ′ = − 2 y y' = -2y y ′ = − 2 y y ( 1 ) = 5 y(1) = 5 y ( 1 ) = 5
Ҳал. k = − 2 , k = -2, k = − 2 , x 0 = 1 , x_0 = 1, x 0 = 1 , f 0 = 5. f_0 = 5. f 0 = 5. ( 15 ) : (15): ( 15 ) : y ( x ) = 5 e − 2 ( x − 1 ) . y(x) = 5e^{-2(x - 1)}. y ( x ) = 5 e − 2 ( x − 1 ) . y ( 1 ) = 5 e 0 = 5 , y(1) = 5e^0 = 5, y ( 1 ) = 5 e 0 = 5 , y ′ ( x ) = − 2 y ( x ) . y'(x) = -2y(x). y ′ ( x ) = − 2 y ( x ) .
Мисоли 6. Оё y = 5 e 2 x y = 5e^{2x} y = 5 e 2 x y ′ = 2 y y' = 2y y ′ = 2 y
Ҳал. y ′ = 5 ⋅ 2 e 2 x = 10 e 2 x = 2 ⋅ ( 5 e 2 x ) = 2 y . y' = 5\cdot 2e^{2x} = 10e^{2x} = 2\cdot(5e^{2x}) = 2y. y ′ = 5 ⋅ 2 e 2 x = 10 e 2 x = 2 ⋅ ( 5 e 2 x ) = 2 y . (C = 5 , C = 5, C = 5 , k = 2 k = 2 k = 2
Худатон санҷед Дар мисоли зерин графики ҳалли муодилаи y ′ = k y y' = ky y ′ = k y
Ҳалҳои муодилаи y′ = ky санҷида бин! Аз нав
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф 1. Нишон диҳед, ки функсияи f ( x ) = 6 e 4 x f(x) = 6e^{4x} f ( x ) = 6 e 4 x f ′ ( x ) = 4 f ( x ) f'(x) = 4f(x) f ′ ( x ) = 4 f ( x )
2. Нишон диҳед, ки функсияи y = 2 e − 3 x y = 2e^{-3x} y = 2 e − 3 x y ′ = − 3 y y' = -3y y ′ = − 3 y
Дар хона 3. Муодилаи f ′ = 5 f f' = 5f f ′ = 5 f f ( 0 ) = 2 f(0) = 2 f ( 0 ) = 2
4. Муодилаи y ′ = − 0,5 y y' = -0{,}5y y ′ = − 0 , 5 y y ( 2 ) = 3 y(2) = 3 y ( 2 ) = 3
5. Барои кадом k k k y = 7 e k x y = 7e^{kx} y = 7 e k x y ′ = − 4 y y' = -4y y ′ = − 4 y x = 0 x = 0 x = 0
Вазифаи хонагӣ Дар ин дарс
Ман медонам , муодилаи дифференсиалӣ чист ва чаро муодилаи f ′ ( x ) = k f ( x ) f'(x) = kf(x) f ′ ( x ) = k f ( x ) Ман медонам ҳалли умумии f ( x ) = C e k x f(x) = Ce^{kx} f ( x ) = C e k x Ман метавонам аз рӯйи шарти ибтидоӣ f ( x 0 ) = f 0 f(x_0) = f_0 f ( x 0 ) = f 0 Такрор (2 дақиқа)
( e k x ) ′ = ? (e^{kx})' = ? ( e k x ) ′ = ? Агар g ′ ( x ) = 0 g'(x) = 0 g ′ ( x ) = 0 g g g 2 )
Муодилаи x 2 = 4 x x^2 = 4x x 2 = 4 x
Ҷавобҳо
k e k x . ke^{kx}. k e k x . g ( x ) = C . g(x) = C. g ( x ) = C . x = 0 x = 0 x = 0 x = 4. x = 4. Вазъият барои андешаронӣ То ин дам дар муодилаҳо ноаён адад буд. Ҳоло ноаён — функсия . Масалан,
f ′ ( x ) = 2 f ( x ) . f'(x) = 2f(x). f ′ ( x ) = 2 f ( x ) .
Оё функсияи f ( x ) = e x f(x) = e^{x} f ( x ) = e x f ′ = f f' = f f ′ = f
Кадом функсияи шиносро барои f ′ = 2 f f' = 2f f ′ = 2 f
Оё ҳалли ягона ҳаст ё бисёр?
Таъриф Муодилае, ки ноаёнаш функсия аст ва дар он ҳосилаи ин функсия иштирок мекунад, муодилаи дифференсиалӣ номида мешавад. Ҳалли он — ҳар як функсияе, ки онро ба баробарии дуруст табдил медиҳад.
Теорема Ҳар як ҳалли муодилаи f ′ ( x ) = k f ( x ) f'(x) = kf(x) f ′ ( x ) = k f ( x ) f ( x ) = C e k x f(x) = Ce^{kx} f ( x ) = C e
Фарз мекунем, ки f f f ( 10 ) . (10). ( 10 ) . g ( x ) = f ( x ) e − k x . g(x) = f(x)e^{-kx}. g ( x ) = f ( x ) e − k x .
Ҳосилаи ҳосили зарбро мегирем:
Шарти ибтидоӣ Агар қимати функсия дар як нуқта дода шавад: f ( x 0 ) = f 0 , f(x_0) = f_0, f ( x 0 ) = f 0 , ( 10 ) (10) ( 10 ) шарти ибтидоӣ (аввала) номида мешавад, ва ҳал чунин аст:
Функсияи y = 3 e 5 x y = 3e^{5x} y = 3 e 5 x y ′ = 5 y y' = 5y y ′ = 5 y
Исботи он, ки ҳар як ҳалли муодилаи f ′ = k f f' = kf f ′ = k f C e k x Ce^{kx} C e k x
Унсурҳоро бо тартиби дуруст ҷойгир кунед 1 Азбаски g ′ = 0 g' = 0 g
2
3
4
5
Дар ҳалли умумии y = C e k x y = Ce^{kx} y = C e k x C C C
Як ҷавобро интихоб кунед A қимати e C e^{C} e C
B қимати функсия дар x = 0 x = 0
C D
k
⋅
C e k x =
k f ( x ) .
)
.
x
=
4.
k x
g ′ ( x ) = f ′ ( x ) e − k x + f ( x ) ⋅ ( − k ) e − k x . g'(x) = f'(x)e^{-kx} + f(x)\cdot(-k)e^{-kx}. g ′ ( x ) = f ′ ( x ) e − k x + f ( x ) ⋅ ( − k ) e − k x .
Ба ҷои f ′ ( x ) f'(x) f ′ ( x ) k f ( x ) kf(x) k f ( x ) g ′ ( x ) = k f ( x ) e − k x − k f ( x ) e − k x = 0. g'(x) = kf(x)e^{-kx} - kf(x)e^{-kx} = 0. g ′ ( x ) = k f ( x ) e − k x − k f ( x ) e − k x = 0. Ҳосила дар тамоми фосила сифр аст, пас аз лемма (2 ) g ( x ) = C g(x) = C g ( x ) = C Аз f ( x ) e − k x = C f(x)e^{-kx} = C f ( x ) e − k x = C f ( x ) = C e k x . f(x) = Ce^{kx}. f ( x ) = C e k x . f ( x ) = f 0 e k ( x − x 0 ) . ( 15 ) f(x) = f_0e^{k(x - x_0)}. \qquad (15) f ( x ) = f 0 e k ( x − x 0 ) . ( 15 )
k
y ( 0 )
′
=
0
Аз f ( x ) e − k x = C f(x)e^{-kx} = C f ( x ) e − k x = C f ( x ) = C e k x . f(x) = Ce^{kx}. f ( x ) = C e k x .
Ба ҷои f ′ ( x ) f'(x) f ′ ( x ) k f ( x ) kf(x) k f ( x ) g ′ ( x ) = k f e − k x − k f e − k x = 0. g'(x) = kfe^{-kx} - kfe^{-kx} = 0. g ′ ( x ) = k f e − k x − k f e − k x = 0.
Бигузор f f f g ( x ) = f ( x ) e − k x g(x) = f(x)e^{-kx} g ( x ) = f ( x ) e − k x
Ҳосилаи g g g g ′ ( x ) = f ′ ( x ) e − k x − k f ( x ) e − k x . g'(x) = f'(x)e^{-kx} - kf(x)e^{-kx}. g ′ ( x ) = f ′ ( x ) e − k x − k f ( x ) e − k x .
x
=
0
майли расанда дар x = 0 x = 0 x = 0