15 · 2/3. Формулаи гузариш ба асоси дигар - Алгебра — синфи 11
Се хулоса аз хосиятҳо
Хулосаи 1. Барои a > 0 , a > 0, a > 0 , a ≠ 1 , a \ne 1, a = 1 , b > 0 , b > 0, b > 0 , b ≠ 1 b \ne 1 b
навбатӣ 15 · 3/3. Ҳисоб бо логарифмҳо 1 соат
=
1
a x = b x log b a a^x = b^{x\log_b a} a x = b x l o g b a b x log b a = ( b log b a ) x = a x . b^{x\log_b a} = \left(b^{\log_b a}\right)^x = a^x. b x l o g b a = ( b l o g b a ) x = a x . Хулосаи 2 (формулаи гузариш). Агар x > 0 , x > 0, x > 0 , a > 0 , a > 0, a > 0 , a ≠ 1 , a \ne 1, a = 1 , b > 0 , b > 0, b > 0 , b ≠ 1 b \ne 1 b = 1
Исбот. Аз рӯйи айният x = a log a x . x = a^{\log_a x}. x = a l o g a x . b b b log b x = log b a log a x = log a x ⋅ log b a . \log_b x = \log_b a^{\log_a x} = \log_a x \cdot \log_b a. log b x = log b a l o g a x = log log b a \log_b a log b a (log b a ≠ 0 , \log_b a \ne 0, log b a = 0 , чунки a ≠ 1 a \ne 1 a = 1
Формула имкон медиҳад, ки логарифмро аз рӯйи ҳар асос ба логарифмҳои як асос гузаронем: масалан ба даҳӣ (lg \lg lg ё натуралӣ (дар фасли 17 мешиносем). Аз ин ҷост, ки ҷадвалҳои логарифмҳо ва ҳисобкунакҳо танҳо lg \lg lg ln \ln ln
Хулосаи 3. Баробариҳои зерин дурустанд:
Дар ҳақиқат, аз формулаи гузариш ба асоси a a a log a q x = log a x log a a q = log a x q log a a = 1 q log a x . \log_{a^q} x = \dfrac{\log_a x}{\log_a a^q} = \dfrac{\log_a x}{q\log_a a} = \dfrac{1}{q}\log_a x. log a q x = log a a q log a x = q log a a log a x = q 1 log a x . b = x b = x b = x log a x = log x x log x a = 1 log x a . \log_a x = \dfrac{\log_x x}{\log_x a} = \dfrac{1}{\log_x a}. log a x = log x a
Логарифмгирӣ ва потенсиронӣ Ҳисоб бо логарифмҳо ду зина дорад. Логарифмгирӣ — ёфтани логарифми ифода аз рӯйи асоси додашуда; потенсиронӣ — ёфтани худи ифода аз рӯйи логарифми додашудааш. Ин ду амали баръакс ба ҳамдигаранд: хосияти III зарбро ба ҷамъ, V дараҷабардориро ба зарб иваз мекунад; сипас аз натиҷаи логарифм ба ифода бармегарданд.
Мисоли 1. Муодилаи log 3 x = log 3 5 + log 3 2 \log_3 x = \log_{3}5 + \log_{3}2 log 3 x = log 3 5 + log 3 2 log 3 x = log 3 ( 5 ⋅ 2 ) , \log_3 x = \log_3 (5 \cdot 2), log 3 x = log 3 ( 5 ⋅ 2 ) , x = 10. x = 10. x = 10.
Мисоли 2. Қимати lg 96 − lg 24 lg 5 + lg 3,2 \dfrac{\lg 96 - \lg 24}{\lg 5 + \lg 3{,}2} lg 5 + lg 3 , 2 lg 96 − lg 24 lg 96 − lg 24 = lg 96 24 = lg 4 = 2 lg 2 , lg 5 + lg 3,2 = lg 16 = 4 lg 2. \lg 96 - \lg 24 = \lg\dfrac{96}{24} = \lg 4 = 2\lg 2, \qquad \lg 5 + \lg 3{,}2 = \lg 16 = 4\lg 2. lg 96 − lg 24 = lg 24 96 = lg 4 = 2 lg 2 , lg 5 + lg 2 lg 2 4 lg 2 = 1 2 \dfrac{2\lg 2}{4\lg 2} = \dfrac{1}{2} 4 lg 2 2 lg 2 = 2 1
Мисоли 3. Қимати log 3 8 − 2 log 3 2 + log 3 4,5 \log_{3}8 - 2\log_{3}2 + \log_{3}4{,}5 log 3 8 − 2 log 3 2 + log 3 4 , 5 log 3 8 − log 3 2 2 + log 3 4,5 = log 3 8 ⋅ 4,5 4 = log 3 9 = 2. \log_{3}8 - \log_{3}2^2 + \log_{3}4{,}5 = \log_3 \dfrac{8 \cdot 4{,}5}{4} = \log_{3}9 = 2. log 3 8 − log 3 2 2
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф
а) lg 4 + lg 25 ; \lg 4 + \lg 25; lg 4 + lg 25 ;
б) log 2 9 − log 2 9 16 ; \log_{2}9 - \log_2 \dfrac{9}{16}; log 2 9 − log 2 16 9 ;
в) log 12 2 + log 12 72 ; \log_{12} 2 + \log_{12} 72; log 12 2 + log 12 72 ;
г) lg 11 − lg 110. \lg 11 - \lg 110. lg 11 − lg 110.
а) lg 2 + lg 32 2 lg 4 − lg 8 ; \dfrac{\lg 2 + \lg 32}{2\lg 4 - \lg 8}; 2 lg 4 − lg 8 lg 2 + lg 32 ;
б) log 2 125 log 2 25 ; \dfrac{\log_{2}125}{\log_{2}25}; log 2 25 log 2 125 ;
в) log 9 13 − log 9 39 ; \log_{9}13 - \log_{9}39; log 9 13 − log 9 39 ;
г) log 0,4 16 − 2 log 0,4 10. \log_{0{,}4} 16 - 2\log_{0{,}4} 10. log 0 , 4 16 − 2 log 0 , 4 10.
3. Аз баробариҳои зерин x x x
а) log 2 x = log 4 2 ; \log_2 x = \log_{4}2; log 2 x = log 4 2 ;
б) log 3 x = log 1 / 3 5 ; \log_3 x = \log_{1/3} 5; log 3 x = log 1/3 5 ;
в) log 1 / 4 x = log 2 1 2 ; \log_{1/4} x = \log_2 \dfrac{1}{\sqrt{2}}; log 1/4 x = log 2 2
г) log 4 x = log 2 3 + log 2 2 3 . \log_4 x = \log_{2}3 + \log_2 \dfrac{\sqrt{2}}{3}. log 4 x = log 2 3 + log 2
Дар хона 4. Аз баробариҳои зерин x x x
а) log 4 x = log 4 5 − log 4 2 + log 4 3 ; \log_4 x = \log_{4}5 - \log_{4}2 + \log_{4}3; log 4 x = log 4 5 − log 4 2 + log 4 3 ;
б) log 7 x = 3 log 7 2 − 2 log 7 3 + log 7 5 ; \log_7 x = 3\log_{7}2 - 2\log_{7}3 + \log_{7}5; log 7 x = 3 log 7 2 − 2 log
в) log 9 x = 1 2 log 9 3 + 2 3 log 9 5 − 1 3 log 9 2 ; \log_9 x = \dfrac{1}{2}\log_{9}3 + \dfrac{2}{3}\log_{9}5 - \dfrac{1}{3}\log_{9}2; log 9 x = 2 1 log
г) lg x = lg 1 4 − 2 lg 2 3 + lg 4 9 . \lg x = \lg\dfrac{1}{4} - 2\lg\dfrac{2}{3} + \lg\dfrac{4}{9}. lg x = lg 4 1 − 2 lg 3
Вазифаи хонагӣ
Машқи 4.
Агар дар синф ҳамаи бандҳои машқҳои 1–3 иҷро нашуда бошанд, онҳоро низ иҷро кунед.
Дар ин дарс
Ман медонам формулаи гузариш ба асоси дигар ва исботи онро.Ман метавонам логарифмро ба асоси дигар гузаронам ва формулаҳои log a q x = 1 q log a x , \log_{a^q} x = \dfrac{1}{q}\log_a x, log a q x = q 1 log a x , log a x = 1 log x a \log_a x = \dfrac{1}{\log_x a} log a x = log x a 1 Ман метавонам ифодаҳои логарифмиро бо хосиятҳои I–V ва формулаи гузариш сода кунам. Такрор (2 дақиқа)
Хосиятҳои III, IV, V-ро нависед.
Ҳисоб кунед: log 6 4 + log 6 9 , \log_{6}4 + \log_{6}9, log 6 4 + log 6 9 , log 3 54 − log 3 2. \log_{3}54 - \log_{3}2. log 3 54 − log 3 2.
Ифодаи lg x \lg x lg x
Ҷавобҳо
log a ( x y ) = log a x + log a y ; \log_a (xy) = \log_a x + \log_a y; log a ( x y ) = log a x + log a Формулаи гузариш ба асоси дигар log a x = log b x log b a . \log_a x = \dfrac{\log_b x}{\log_b a}. log a x = log Хулосаи 3 log a q x = 1 q log a x ( q ≠ 0 ) , log a x = 1 log x a ( x ≠ 1 ) . \log_{a^q} x = \dfrac{1}{q}\log_a x \quad (q \ne 0), \qquad \log_a x = \dfrac{1}{\log_x a} \quad (x \ne 1). log a q x = Дар хотир доред Формулаи гузариш: log a x = log b x log b a . \log_a x = \dfrac{\log_b x}{\log_b a}. log a x = log b a
1 log 3 7 \dfrac{1}{\log_{3}7} log 3 7 1
Як ҷавобро интихоб кунед A − log 3 7 -\log_{3}7 − log 3
B C D a
x
⋅
log b a .
log
x
x
=
log x a 1 .
3
,
2
=
lg 16 =
4 lg 2.
+
log 3 4 , 5 =
log 3 4 8 ⋅ 4 , 5 =
log 3 9 =
2.
1
;
.
7
3
+
log 7 5 ;
9
3
+
3 2 log 9 5 −
3 1 log 9 2 ;
2
+
lg 9 4 .
y
;
log a x y = log a x − log a y ; \log_a \dfrac{x}{y} = \log_a x - \log_a y; log a y x = log a x − log a y ; log a x p = p log a x . \log_a x^p = p\log_a x. log a x p = p log a x . log 6 36 = 2 ; \log_{6}36 = 2; log 6 36 = 2 ; log 3 27 = 3. \log_{3}27 = 3. log 3 27 = 3. lg x = log 10 x . \lg x = \log_{10} x. lg x = log 10 x . b
a
log b x
.
q 1
log a
x
(
q
=
0 ) , log a x =
log x a 1 ( x =
1 ) .
log b x
.
log a b = 1 log b a \log_a b = \dfrac{1}{\log_b a} log a b = log b a 1 log a q x = 1 q log a x . \log_{a^q} x = \dfrac{1}{q}\log_a x. log a q x = q 1 log a x . log 8 32 = log 2 32 log 2 8 = 5 3 . \log_{8}32 = \dfrac{\log_{2}32}{\log_{2}8} = \dfrac{5}{3}. log 8 32 = log 2 8 log 2 32 = 3 5 . 6
7
7 log 3 3 7^{\log_{3}3} 7 l o g 3 3