2. Хосияти асосии функсияи ибтидоӣ - Алгебра — синфи 11
Хосияти асосӣ
Мо дидем, ки функсияи ибтидоӣ ягона нест. Масалан, x 2 2 + 5 \dfrac{x^2}{2} + 5 2 x 2 + 5 x 2 2 − 10 \dfrac{x^2}{2} - 10 2 x
навбатӣ 3 · 1/2. Намуди умумӣ ва функсияи ибтидоии шартдор 1 соат
2
−
10
x 2 2 + C \dfrac{x^2}{2} + C 2 x 2 + C ( − ∞ ; + ∞ ) (-\infty;\ +\infty) ( − ∞ ; + ∞ ) хосияти асосии
Пеш аз исбот лемма лозим аст: он нишонаи доимӣ будани функсия аст.
Мисоли 1. Функсияҳои F ( x ) = x 2 F(x) = x^2 F ( x ) = x 2 Φ ( x ) = x 2 + 4 \Phi(x) = x^2 + 4 Φ ( x ) = x 2 + 4 F ′ ( x ) = 2 x , F'(x) = 2x, F ′ ( x ) = 2 x , Φ ′ ( x ) = ( x 2 + 4 ) ′ = ( x 2 ) ′ + ( 4 ) ′ = 2 x + 0 = 2 x . \Phi'(x) = (x^2 + 4)' = (x^2)' + (4)' = 2x + 0 = 2x. Φ ′ ( x ) = ( x 2 + 4 ) ′ Φ ( x ) = F ( x ) + 4. \Phi(x) = F(x) + 4. Φ ( x ) = F ( x ) + 4. Φ \Phi Φ F F F O y Oy O y 4 4 4
Мисоли 2. Нишон медиҳем, ки F ( x ) = cos 2 x 2 F(x) = \dfrac{\cos 2x}{2} F ( x ) = 2 cos 2 x Φ ( x ) = cos 2 x \Phi(x) = \cos^2 x Φ ( x ) = cos 2 x ( − ∞ ; + ∞ ) (-\infty;\ +\infty) ( − ∞ ; + ∞ )
Ҳал. Ҳосилаҳоро ҳисоб мекунем:
F ′ ( x ) = − sin 2 x , Φ ′ ( x ) = 2 cos x ⋅ ( − sin x ) = − 2 sin x cos x = − sin 2 x . F'(x) = -\sin 2x, \qquad \Phi'(x) = 2\cos x \cdot (-\sin x) = -2\sin x\cos x = -\sin 2x. F ′ ( x ) = − sin 2 x , Φ ′ ( x ) = 2 cos x ⋅ ( − sin x ) = − 2 sin x cos x = − sin 2 x . F ′ = Φ ′ , F' = \Phi', F ′ = Φ ′ , F ( x ) = Φ ( x ) + C . F(x) = \Phi(x) + C. F ( x ) = Φ ( x ) + C . cos 2 x = 2 cos 2 x − 1 , \cos 2x = 2\cos^2 x - 1, cos 2 x = 2 cos 2 x − 1 , cos 2 x 2 = 2 cos 2 x − 1 2 = cos 2 x − 1 2 . \dfrac{\cos 2x}{2} = \dfrac{2\cos^2 x - 1}{2} = \cos^2 x - \dfrac{1}{2}. 2 cos 2 x = 2 2 cos C = − 1 2 . C = -\dfrac{1}{2}. C = − 2 1 .
Озмоиш: оилаи функсияҳои ибтидоӣ Доимии C C C
Оилаи функсияҳои ибтидоӣ санҷида бин! Аз нав
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф 1. Оё функсияҳои зерин барои ҳамон як функсия ибтидоианд:
а) F ( x ) = x 2 , F(x) = x^2, F ( x ) = x 2 , G ( x ) = x 2 + 5 G(x) = x^2 + 5 G ( x ) = x 2 + 5 L ( x ) = ( x + 5 ) 2 ; L(x) = (x + 5)^2; L ( x ) = ( x + 5 ) 2 ;
б) F ( x ) = cos 2 x F(x) = \cos 2x F ( x ) = cos 2 x Φ ( x ) = 2 cos 2 x ; \Phi(x) = 2\cos^2 x; Φ ( x ) = 2 cos 2 x ;
в) F ( x ) = x + 1 x − 1 F(x) = \dfrac{x + 1}{x - 1} F ( x ) = x − 1 x + 1 Φ ( x ) = 2 x − 1 ? \Phi(x) = \dfrac{2}{x - 1}? Φ ( x ) =
2. Нишон диҳед, ки функсияҳои F ( x ) = − sin 2 x F(x) = -\sin^2 x F ( x ) = − sin 2 x Φ ( x ) = 2 cos 2 x + sin 2 x \Phi(x) = 2\cos^2 x + \sin^2 x Φ ( x ) = 2 cos 2 x + sin 2 x f ( x ) = − sin 2 x f(x) = -\sin 2x f ( x ) = − sin 2 x F ( x ) = Φ ( x ) − 2 F(x) = \Phi(x) - 2 F ( x ) = Φ ( x ) − 2
Дар хона 3. Оё функсияи ибтидоии функсияи даврӣ функсияи ғайридаврӣ шуда метавонад?
4. Ифодаро сода кунед:
2 x x + y : [ x − y x 2 − y 2 + x + y x 2 − y 2 ] . \dfrac{2x}{x + y} : \left[\dfrac{x - y}{x^2 - y^2} + \dfrac{x + y}{x^2 - y^2}\right]. x + y 2 x : [ x 2 − y 2 x − y + x 2 − y 2 x + y ] .
5. Соҳаи муайянии функсияи y = ( 1 − x ) ( 5 − x ) y = \sqrt{(1 - x)(5 - x)} y = ( 1 − x ) ( 5 − x )
6. Дар прогрессияи геометрӣ узви якум ба 312 312 312 1 2 \dfrac{1}{2} 2 1
7. Қимати хурдтарини функсияи y = x 4 − 2 x 2 y = x^4 - 2x^2 y = x 4 − 2 x 2 [ − 2 ; 2 ] [-2;\ 2] [ − 2 ; 2 ]
8. Решаҳои муодилаи квадратии ислоҳшуда ба − 2 -2 − 2 3 3 3
★ Барои ҳавасмандон 9★. Исбот кунед, ки функсияи ибтидоии функсияи тоқ функсияи ҷуфт аст.
Нишондод. Аз F ( x ) F(x) F ( x ) F ( − x ) F(-x) F ( − x ) F ( x ) − F ( − x ) F(x) - F(-x) F ( x ) − F ( − x )
Вазифаи хонагӣ
Машқи 3 ва машқҳои 4–8 («Такрор»).
Машқи 9★ — барои онҳое, ки мехоҳанд.
Вазифаи онлайн оид ба мавзӯи 2 — дар саҳифаи «Супоришҳо» , агар омӯзгор онро супорида бошад.
Хулоса
Агар F F F f f f f f f F ( x ) + C F(x) + C F ( x ) + C
Асос: функсияе, ки ҳосилааш дар фосила сифр аст, дар он фосила доимист (лемма; он аз формулаи Лагранҷ бармеояд).
Ду функсияи ибтидоии як f f f O y Oy O y
Агар ду функсия ҳосилаи якхела дошта бошанд, онҳо ибтидоии як функсия мебошанд ва фарқашон доимист.
Дар ин дарс
Ман медонам хосияти асосии функсияи ибтидоиро: ҳамаи функсияҳои ибтидоии f f f F ( x ) + C F(x) + C F ( x ) + C Ман метавонам исботи теоремаро (бо ёрии леммаи «ҳосила сифр — функсия доимӣ») шарҳ диҳам.Ман метавонам санҷам, ки ду функсия барои як f f f Такрор (2 дақиқа)
Ҳосилаи функсияи доимӣ чӣ қадар аст?
Формулаи Лагранҷ чӣ мегӯяд? (F F F [ x 0 ; x ] [x_0;\ x] [ x 0 ; x ]
Ду функсияи ибтидоии f ( x ) = x f(x) = x f ( x ) = x
Ҷавобҳо
Сифр. 2) Нуқтаи c ∈ ( x 0 ; x ) c \in (x_0;\ x) c ∈ ( x 0 ; x ) F ( x ) − F ( x 0 ) = F ′ ( c ) ( x − x 0 ) . F(x) - F(x_0) = F'(c)\,(x - x_0). F ( x ) − F (
Вазъият барои андешаронӣ Функсияҳои x 2 2 + 5 \dfrac{x^2}{2} + 5 2 x 2 + 5 x 2 2 − 10 \dfrac{x^2}{2} - 10 2 x 2 − 10 f ( x ) = x . f(x) = x. f ( x ) = x . x 2 2 \dfrac{x^2}{2} 2 x 2
Теорема Агар F ( x ) F(x) F ( x ) f ( x ) f(x) f ( x ) ( a ; b ) (a;\ b) ( a ; b ) f f
Лемма Агар дар фосилаи ( a ; b ) (a;\ b) ( a ; b ) F ( x ) F(x) F ( x ) F ′ ( x ) ≡ 0 F'(x) \equiv 0 F ′ ( x ) ≡ 0
Исботи лемма
Нуқтаи ихтиёрии x 0 x_0 x 0 ( a ; b ) (a;\ b) ( a ; b ) F F F
Барои ҳар x x x c c
Исботи теорема
Бигузор Φ ( x ) \Phi(x) Φ ( x ) F ( x ) F(x) F ( x ) f ( x ) f(x) f ( x ) ( a ; b ) (a;\ b) ( a ; b ) Φ ′ ( x )
Эзоҳ 1 (маънои геометрӣ) Графики ду функсияи ибтидоии як f f f O y Oy O y y = F ( x ) + C y = F(x) + C y = F ( x ) + C y = F ( x ) y = F(x) y =
Расми 1. Графики оилаи функсияҳои ибтидоии f(x) = 2x: y = x² + C барои C = −2, 0, 2, 4. Эзоҳ 2 (ду тарафи теорема) Теорема ду хосият дорад:
Ҳангоми дар F ( x ) + C F(x) + C F ( x ) + C C C C
Аз рӯйи функсияҳои ибтидоии додашудаи F ( x ) F(x) F ( x ) Φ ( x ) \Phi(x) Φ ( x )
Калимаҳои калидӣ хосияти асосии функсияи ибтидоӣ лемма нишонаи доимӣ будан формулаи Лагранҷ доимии дилхоҳ
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам? Чаро фарқи ду функсияи ибтидоӣ доимист? Маънои геометрии ин далел чист?
Худро арзёбӣ кунед (✓ ё ✗):
Ман теорема ва леммаро баён карда метавонам.
Ман метавонам исботи теоремаро нақл кунам.
Ман метавонам аз рӯйи ду функсияи ибтидоӣ доимии фарқашонро ёбам.
Ман мефаҳмам, ки чаро графикҳои функсияҳои ибтидоӣ ба кӯчиши мувозӣ ба O y Oy O y
Ду функсияи ибтидоии як функсия дар як фосила метавонанд бо x x x
Намуди умумии ҳамаи функсияҳои ибтидоии f ( x ) = 4 x 3 f(x) = 4x^3 f ( x ) = 4 x 3
Як ҷавобро интихоб кунед A 4 x 4 + C 4x^4 + C 4 x 4 + C
B x 4 x^4 x
C D Исботи теоремаро (ҳар функсияи ибтидоӣ ба намуди F ( x ) + C F(x) + C F ( x ) + C
Унсурҳоро бо тартиби дуруст ҷойгир кунед 1 Бигузор F F F Φ \Phi Φ f f f ( a ; b ) (a;\ b) ( a ; b )
2 Аз рӯйи лемма
3
4
Ба ҳар функсияи f f f
Ҳар як унсури чапро бо яке аз рост мувофиқ кунед f ( x ) = 2 x f(x) = 2x f ( x ) = 2 x
→ … x³ + C sin x + C tg x + C −cos x + C x² + C f ( x ) = 3 x 2 f(x) = 3x^2 f ( x ) = 3 x 2
→ … x³ + C sin x + C tg x + C −cos x + C x² + C f ( x )
→ … x³ + C sin x + C tg x + C −cos x + C x² + C → … x³ + C sin x + C tg x + C −cos x + C x² + C
=
( x 2 ) ′ +
( 4 ) ′ =
2 x +
0 =
2 x .
2
x
−
1
=
cos 2 x −
2 1 .
x − 1 2
?
x
0
)
=
F ′ ( c ) ( x −
x 0 ) .
x 2 2 + 5. \dfrac{x^2}{2} + 5. 2 x 2 + 5. f
x ∈ ( a ; b ) , x \in (a;\ b), x ∈ ( a ; b ) ,
c
F ( x ) − F ( x 0 ) = F ′ ( c ) ( x − x 0 ) . F(x) - F(x_0) = F'(c)\,(x - x_0). F ( x ) − F ( x 0 ) = F ′ ( c ) ( x − x 0 ) . Аз рӯйи шарт F ′ ( c ) = 0 , F'(c) = 0, F ′ ( c ) = 0 , F ( x ) − F ( x 0 ) = 0 , F(x) - F(x_0) = 0, F ( x ) − F ( x 0 ) = 0 , F ( x ) = F ( x 0 ) . F(x) = F(x_0). F ( x ) = F ( x 0 ) . Ин барои ҳар x ∈ ( a ; b ) x \in (a;\ b) x ∈ ( a ; b ) F F F = f ( x ) \Phi'(x) = f(x) Φ ′ ( x ) = f ( x )
F ′ ( x ) = f ( x ) . F'(x) = f(x). F ′ ( x ) = f ( x ) . Пас ( Φ − F ) ′ ( x ) = Φ ′ ( x ) − F ′ ( x ) = f ( x ) − f ( x ) = 0. (\Phi - F)'(x) = \Phi'(x) - F'(x) = f(x) - f(x) = 0. ( Φ − F ) ′ ( x ) = Φ ′ ( x ) − F ′ ( x ) = f ( x ) − f ( x ) = 0. Аз лемма бармеояд, ки Φ ( x ) − F ( x ) \Phi(x) - F(x) Φ ( x ) − F ( x ) ( a ; b ) (a;\ b) ( a ; b ) C C C Ҳосил мекунем: Φ ( x ) = F ( x ) + C . \Phi(x) = F(x) + C. Φ ( x ) = F ( x ) + C .
F ( x )
C C C
Φ ( x ) = F ( x ) + C . \Phi(x) = F(x) + C. Φ ( x ) = F ( x ) + C . F ( x ) − G ( x ) F(x) - G(x) F ( x ) − G ( x ) 4
x 4 4 + C \dfrac{x^4}{4} + C 4 x 4 + C
Φ ( x ) − F ( x )
Доимиро бо C C C Φ ( x ) = F ( x ) + C . \Phi(x) = F(x) + C. Φ ( x ) = F ( x ) + C .
Пас ( Φ − F ) ′ = Φ ′ − F ′ = f − f = 0. (\Phi - F)' = \Phi' - F' = f - f = 0. ( Φ − F ) ′ = Φ ′ − F ′ = f − f = 0.
= cos x f(x) = \cos x f ( x ) = cos x
f ( x ) = 1 cos 2 x f(x) = \dfrac{1}{\cos^2 x} f ( x ) = cos 2 x 1
