23 · 2/2. Расанда ва таҳқиқи функсия - Алгебра — синфи 11
Расанда ба графики логарифм
Мисоли 1. Муодилаи расандаро ба графики f(x)=lnx+3 дар нуқтаи абсиссааш x0=1 менависем.
Ҳал. Муодилаи расанда: Дорем: пас инчунин Ҳамин тавр,
навбатӣ24 · 1/2. Ҳосилаи функсияи дараҷагӣ
1 соат
y−f(a)=f′(a)(x−a).
f′(x)=(lnx+3)′=x1, f′(1)=1; f(1)=ln1+3=3. y−3=1⋅(x−1),y=x+2. Мисоли 2. Расандаи графики y=lnx-ро ёбед, ки аз сарчашмаи координатаҳо мегузарад.
Ҳал. Нуқтаи расиш x=a (a>0) бошад. Муодилаи расанда: y−lna=a1(x−a). Нуқтаи O(0; 0) ба он тааллуқ дорад:
0−lna=a1(0−a)=−1,ln
Пас расанда: y−1=e1(x−e), яъне y=ex.
Таҳқиқи функсия
Мисоли 3. Функсияи f(x)=xlnx-ро оид ба афзуншавӣ, камшавӣ ва экстремум таҳқиқ карда, графикашро нақш мекашем.
Ҳал. Функсия барои x>0 муайян аст. Ҳосиларо меёбем:
f′(x)=lnx+1.
Нобаробарии f′(x)>0 ё lnx+1>0 барои lnx>−1, яъне x>e−1=e1 ҷой дорад. Пас дар (e1; +∞) функсия меафзояд. Дар (0; e1) ҳосила манфӣ аст, бинобар ин дар ин фосила функсия кам мешавад. Пас x0=e1 нуқтаи минимум аст:
fmin=f(e1
Графикро аз рӯйи f(1)=0 ва fmin=−e1 нақш мекашем (Расми 1). Ҳангоми x→0 қимати xlnx ба 0 майл мекунад (қабул мекунем), вале 0 ба соҳаи муайянӣ дохил нест: f(0) вуҷуд надорад. Барои ҳамин дар сарчашма нуқтаи холӣ ◦ гузоштаем: график ба он наздик мешавад, вале аз он намегузарад.
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф
1. Муодилаи расандаро ба графики функсияи f(x) дар нуқтаи абсиссааш x0 нависед:
- а) f(x)=ln(x+1), x0=0;
- б) f(x)=2lnx+1, x0=1;
- в) f(x)=3lnx, x0=e1
- г) f(x)=log2(x+1), x0=
2. Функсияи зеринро оид ба афзуншавӣ, камшавӣ ва экстремум таҳқиқ кунед:
- а) f(x)=xlnx;
- б) f(x)=xlnx;
- в) f(x)=x−lnx;
- г) f(x)=x2lnx.
Дар хона
3. Масоҳати фигураеро, ки бо хатҳои y=ex, y=0, x=0, x=1 маҳдуд аст, ёбед.
4. Муодилаи нишондиҳандагиро ҳал кунед: 2x2+x−0,5=22.
5. Ҳосилаи функсияи y=3tgx-ро ёбед.
6. Ифодаи x3/4+3x1/2x−9x1/2-ро сода кунед.
7. Фарқи ду адад ба 5 баробар, ҳосили зарби онҳо 84 аст. Ин ададҳоро ёбед.
Вазифаи хонагӣ
Хулоса
- (lnx)′=x1 (x>0), (logax)′=xlna1; барои ифодаи дарунӣ (lnu)′=uu′.
- Расанда: y−f(a)=f′(a)(x−a); дар ln-дор аз меояд.
- Таҳқиқ: соҳаи муайянӣ → f′ → аломат → экстремум → нақша. Нуқтаи берун аз соҳа (масалан, x=0 барои xlnx) холӣ мемонад.
- Функсияи ибтидоии lnx — x(lnx−1)+C.
Вазифаи онлайн оид ба мавзӯи 23 — дар саҳифаи «Супоришҳо», агар омӯзгор онро супорида бошад.
Дар ин дарс
- Ман метавонам муодилаи расандаро ба графики функсияи логарифмӣ нависам.
- Ман метавонам функсияеро, ки lnx дорад, оид ба афзуншавӣ, камшавӣ ва экстремум таҳқиқ карда, графикашро нақш кашам.
- Ман медонам, ки f(x)=xlnx дар x=0 муайян нест.
Такрор (2 дақиқа)
- Муодилаи расанда ба графики y=f(x) дар нуқтаи x=a чӣ тавр навишта мешавад?
- Кадом нуқтаҳо барои f нуқтаи минимумро ифода мекунанд: ҳосила аз манфӣ ба мусбат мегузарад ё аз мусбат ба манфӣ?
- (lnx)′=? (xlnx)′=? (қоидаи ҳосили зарб).
Ҷавобҳо
- y−f(a)=f′(a)(x−a). 2) Аз манфӣ ба мусбат. 3)
Расми 1. Нақшаи графики y = x ln x: нуқтаи холӣ дар сарчашма, минимум дар x = 1/e, график аз (1; 0) мегузарад.Тартиби таҳқиқ
- Соҳаи муайянӣ (x>0 барои lnx).
- Ҳосила f′(x) ва нуқтаҳои
Калимаҳои калидӣҳосилаи логарифмрасандануқтаи минимумафзуншавӣ ва камшавӣсоҳаи муайянӣфунксияи ибтидоии ln x
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам?Чаро lnx ба ҳосилаи x1 мерасад ва чаро графики lnx ҳарчӣ дуртар, ҳамон қадар ҳамвортар мешавад?
Худро арзёбӣ кунед (✓ ё ✗):
Функсияи f(x)=xlnx дар нуқтаи x=0 муайян аст ва f(0)=0.
Муодилаи расандаро ба графики f(x)=lnx−2 дар нуқтаи x0=2 нависед.
Як ҷавобро интихоб кунед Дар кадом фосила функсияи f(x)=x2−2lnx кам мешавад?
Як ҷавобро интихоб кунед a
=
1,a=
e.
)
=
e1lne1=
e1⋅
(−1)=
−e1.
;
0.
f′(a)
x1
;
lnx+x⋅x1=lnx+1. f′(x)=0.
Аломати f′ дар фосилаҳо: афзуншавӣ (f′>0), камшавӣ (f′<0). Экстремум ва якчанд нуқтаи графикро ҳисоб карда, нақша кашед.
- Ман формулаи ҳосилаи lnx ва logax-ро медонам ва аз x=elnx исбот карда метавонам.
- Ман медонам, ки чаро lnx дар (0; +∞) бефосила аст (ҳосила дорад).
- Ман намуди умумии функсияҳои ибтидоии lnx ва logax-ро менависам ва бо ҳосилагирӣ месанҷам.
- Ман медонам, ки графики lnx бо графики ҳосилааш x1 якхела нест.
- Ман расанда ва экстремуми функсияи lnx-дорро меёбам.
y
=
2x+
ln2−
3
y=2x+ln2−6
y=2x−3
y=2x+ln2−2
(
0
;
e
)
(0; +∞)