10 · 1/2. Хосиятҳо ва муқоисаи ададҳо - Алгебра — синфи 11
Аз графикҳо ба хосиятҳо
Боз ба графикҳои y = 2 x y = 2^x y = 2 x y = ( 1 2 ) x y = \left(\dfrac{1}{2}\right)^x y = ( 2 1 )
навбатӣ 10 · 2/2. Графикҳо ва ҳалли графикӣ 1 соат
x
( 1 2 ) x = y \left(\dfrac{1}{2}\right)^x = y ( 2 1 ) x = y y = ( 1 2 ) x y = \left(\dfrac{1}{2}\right)^x y = ( 2 1 ) x Ин андешаҳо ба хулоса меоранд: y = a x y = a^x y = a x
Баробариҳоро хосиятҳои асосии дараҷа меноманд.
Эзоҳ. Дурустии хосиятҳои 6 ∘ 6^\circ 6 ∘ 7 ∘ 7^\circ 7 ∘
Чаро 3 ∘ 3^\circ 3 ∘ a − 1 ≠ a 1 a^{-1} \ne a^{1} a − 1 = a 1 a ≠ 1 , a \ne 1, a = 1 , f ( − x ) = f ( x ) f(-x) = f(x) f ( − x ) = f ( x ) f ( 0 ) = 1 ≠ 0 , f(0) = 1 \ne 0, f ( 0 ) = 1 = 0 , 0 0 0
Хосиятҳои 1 ∘ 1^\circ 1 ∘ 7 ∘ 7^\circ 7 ∘ ( 0 ; 1 ) , (0;\ 1), ( 0 ; 1 ) , O x Ox O x
Мисолҳо Чанд мисолро мебинем, ки ҳалли онҳо ба хосиятҳои функсияи такя мекунад.
Мисоли 1. Маълум, ки нобаробарии 4 m > 4 n 4^m > 4^n 4 m > 4 n m m m n n n
Ҳал. Ифодаҳои 4 m 4^m 4 m 4 n 4^n 4 n y = 4 x y = 4^x y = 4 x x = m x = m x = m x = n x = n x = n y = 4 x y = 4^x y = 4 x m > n . m > n. m > n .
Мисоли 2. Нобаробарии a 4 < a 6 a^4 < a^6 a 4 < a 6 a > 0 a > 0 a > 0 a a a
Ҳал. Мувофиқи шарт ба қимати хурди аргумент (4 4 4 қимати хурди функсияи a x a^x a x a > 1 a > 1 a > 1
Мисоли 3. Аломати решаи муодилаи 0,9 x = 4 0{,}9^x = 4 0 , 9 x = 4
Ҳал. Азбаски 4 > 0 4 > 0 4 > 0 y = 0,9 x y = 0{,}9^x y = 0 , 9 x x = 0 x = 0 x = 0 y = 1 y = 1 y = 1 1 < 4 1 < 4 1 < 4 0 0 0
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф 1. Ададҳои x x x y y y
а) ( 4 9 ) x < ( 4 9 ) y ; \left(\dfrac{4}{9}\right)^x < \left(\dfrac{4}{9}\right)^y; ( 9 4 ) x < ( 9 4 ) y ;
б) 0,2 x > 0,2 y ; 0{,}2^x > 0{,}2^y; 0 , 2 x > 0 , 2 y ;
в) ( 9 2 ) x < ( 9 2 ) y . \left(\dfrac{9}{2}\right)^x < \left(\dfrac{9}{2}\right)^y. ( 2 9 ) x < ( 2 9
2. Адади мусбати a a a
а) a 0,2 > a 0,5 ; a^{0{,}2} > a^{0{,}5}; a 0 , 2 > a 0 , 5 ;
б) a 4,3 < a 3 ; a^{4{,}3} < a^3; a 4 , 3 < a 3 ;
в) a 5 > a 2 ; a^{\sqrt{5}} > a^2; a 5 > a 2 ;
г) a 2 < a 1,4 . a^{\sqrt{2}} < a^{1{,}4}. a 2 < a 1 , 4 .
3. Соҳаи қиматҳои функсияро ёбед:
а) y = ( 1 4 ) x + 1 ; y = \left(\dfrac{1}{4}\right)^x + 1; y = ( 4 1 ) x + 1 ;
б) y = − 3 x ; y = -3^x; y = − 3 x ;
в) y = − ( 1 3 ) x ; y = -\left(\dfrac{1}{3}\right)^x; y = − ( 3 1 ) x ;
г) y = 6 x − 5 ; y = 6^x - 5; y = 6 x − 5 ;
д) y = 2 x + 1 − 2 ; y = 2^{x+1} - 2; y = 2 x + 1 − 2 ;
е) y = ( 1 5 ) x − 1 + 2 ; y = \left(\dfrac{1}{5}\right)^{x-1} + 2; y = ( 5 1 ) x − 1 + 2 ;
ж) y = ∣ 3 x − 3 ∣ ; y = \left|3^x - 3\right|; y = ∣ 3 x − 3 ∣ ;
з) y = 7 ∣ x ∣ . y = 7^{|x|}. y = 7 ∣ x ∣ .
4. Қимати калонтарин ва хурдтарини функсияро ёбед:
а) y = 2 sin x ; y = 2^{\sin x}; y = 2 s i n x ;
б) y = 1 + 9 ∣ sin x ∣ ; y = 1 + 9^{|\sin x|}; y = 1 + 9 ∣ s i n x ∣ ;
в) y = ( 1 4 ) cos x ; y = \left(\dfrac{1}{4}\right)^{\cos x}; y = ( 4 1 ) c o s x ;
г) y = ( 1 6 ) ∣ cos x ∣ − 1. y = \left(\dfrac{1}{6}\right)^{|\cos x|} - 1. y = ( 6 1 ) ∣ c o s x ∣ − 1.
Дар хона 5. Графики функсияҳоро схемавӣ тасвир кунед:
а) y = 3 x ; y = 3^x; y = 3 x ;
б) y = 0,6 x ; y = 0{,}6^x; y = 0 , 6 x ;
в) y = 1,5 x ; y = 1{,}5^x; y = 1 , 5 x ;
г) y = 0,9 x . y = 0{,}9^x. y = 0 , 9 x .
6. Аломати решаи муодиларо муайян кунед:
а) 2,3 x = 4,5 ; 2{,}3^x = 4{,}5; 2 , 3 x = 4 , 5 ;
б) 0,2 x = 0,3 ; 0{,}2^x = 0{,}3; 0 , 2 x = 0 , 3 ;
в) 0,7 x = 2,9 ; 0{,}7^x = 2{,}9; 0 , 7 x = 2 , 9 ;
г) 4,7 x = 0,2. 4{,}7^x = 0{,}2. 4 , 7 x = 0 , 2.
Вазифаи хонагӣ
Машқҳои 5 ва 6.
Агар дар синф машқҳои 1–4 иҷро нашуда бошанд, онҳоро низ иҷро кунед.
Дар ин дарс
Ман метавонам хосиятҳои функсияи нишондиҳандагиро номбар кунам: соҳаи муайянӣ, маҷмӯи қиматҳо, монотонӣ, нуқтаҳои хос.Ман метавонам аз монотонии a x a^x a x a m > a n a^m > a^n a m > a n m m m n n n Ман метавонам аломати решаи муодилаи a x = b a^x = b a x = b Такрор (2 дақиқа)
Кадом нуқтаро графики ҳар як y = a x y = a^x y = a x
Ҳисоб кунед: 2 3 ⋅ 2 − 1 2^3\cdot 2^{-1} 2 3 ⋅ 2 − 1 ( 3 2 ) 3 . \left(3^2\right)^3. ( 3 2 ) 3 .
Кадомаш калон аст: 2 3 2^3 2 3 2 5 2^5 2 5 ( 1 2 ) 3 \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 ( 2 1 )
Ҷавобҳо
( 0 ; 1 ) . (0;\ 1). ( 0 ; 1 ) . 2 2 = 4 ; 2^2 = 4; 2 2 = 4 ; 3 6 = 729. 3^6 = 729. 3 6 = 729. Хосиятҳои функсияи $y = a^x$ ($a > 0,$ $a \ne 1$) 1 ∘ . 1^\circ. 1 ∘ . R = ( − ∞ ; + ∞ ) . \mathbb{R} = (-\infty;\ +\infty). R = ( − ∞ ; + ∞ ) .
2 ∘ .
Функсияи y = 0,7 x y = 0{,}7^x y = 0 , 7 x
Маълум, ки ( 2 9 ) x > ( 2 9 ) y . \left(\dfrac{2}{9}\right)^x > \left(\dfrac{2}{9}\right)^y. ( 9 2 ) x > ( 9
Як ҷавобро интихоб кунед A B C муқоиса кардан мумкин нест D
Маҷмӯи қиматҳои функсияи y = 3 x − 1 y = 3^x - 1 y = 3 x − 1
Як ҷавобро интихоб кунед A ( − 1 ; + ∞ ) (-1;\ +\infty) ( − 1 ; + ∞ )
B ( 0 ; + ∞ ) (0;\ +\infty) ( 0 ; + ∞
C D Кадом функсияҳо камшаванданд?
Ҳамаи мувофиқро интихоб кунед A y = ( 3 2 ) x y = \left(\dfrac{3}{2}\right)^x y = ( 2 3 ) x
B y = ( 2 ) x y = \left(\sqrt{2}\right)^x y =
C D
)
y
.
3
( 1 2 ) 5 \left(\dfrac{1}{2}\right)^5 ( 2 1 ) 5 2 5 > 2 3 ; 2^5 > 2^3; 2 5 > 2 3 ;
( 1 2 ) 3 > ( 1 2 ) 5 . \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 > \left(\dfrac{1}{2}\right)^5. ( 2 1 ) 3 > ( 2 1 ) 5 . 2^\circ. 2 ∘ .
R + = ( 0 ; + ∞ ) . \mathbb{R}_+ = (0;\ +\infty). R + = ( 0 ; + ∞ ) . 3 ∘ . 3^\circ. 3 ∘ .
4 ∘ . 4^\circ. 4 ∘ .
5 ∘ . 5^\circ. 5 ∘ . ( 0 ; 1 ) (0;\ 1) ( 0 ; 1 ) a a a a 0 = 1. a^0 = 1. a 0 = 1.
6 ∘ . 6^\circ. 6 ∘ . a > 1 a > 1 a > 1 0 < a < 1 0 < a < 1 0 < a < 1
7 ∘ . 7^\circ. 7 ∘ . x x x y y y a , a, a , b b b ≠ 1 \ne 1 = 1 a x ⋅ a y = a x + y ; a x a y = a x − y ; ( a b ) x = a x b x ; ( a b ) x = a x b x ; ( a x ) y = a x y . a^x\cdot a^y = a^{x+y};\quad \dfrac{a^x}{a^y} = a^{x-y};\quad (ab)^x = a^x b^x;\quad \left(\dfrac{a}{b}\right)^x = \dfrac{a^x}{b^x};\quad (a^x)^y = a^{xy}. a x ⋅ a y =
2
)
y
.
)
( − ∞ ; + ∞ ) (-\infty;\ +\infty) ( − ∞ ; + ∞ )
( − ∞ ; − 1 ) (-\infty;\ -1) ( − ∞ ; − 1 )
y = ( 2 5 ) x y = \left(\dfrac{2}{5}\right)^x y = ( 5 2 ) x
a x + y ; a y a x =
a x − y ; ( ab ) x =
a x b x ; ( b a ) x =
b x a x ; ( a x ) y =
a x y .