20 · 2/2. Системаҳои омехта - Алгебра — синфи 11
Системаҳои омехта
Системае, ки ғайр аз муодилаи логарифмӣ муодилаҳои намуди дигар (хаттӣ, квадратӣ, ирратсионалӣ, нишондиҳандагӣ ва ғайра) дорад, системаи омехта ном дорад. Усули умумӣ ҳамон аст: онро ба системаи алгебравии маъмулӣ меоранд, ҳал мекунанд ва ҳалҳоро бо соҳа месанҷанд.
Мисоли 2. Системаи зеринро ҳал мекунем:
{2x
навбатӣТакрор ва санҷиш: фаслҳои 18–20 · 1/3. Муодила ва нобаробариҳои логарифмӣ
1 соат
+
=
512
,
Ҳал. Соҳа: x≥0, y≥0, ва барои логарифм xy>0, яъне x>0, y>0. Аз 512=29 ва 1+lg2=lg10+lg2=lg20 истифода карда, системаи
{x+y
-ро ҳосил мекунем. Агар x=u ва y=v гузорем, он гоҳ xy=uv ва
{u+v=9,u⋅v=20.
Дар муодилаи дуюм u=9−v мегузорем: v2−9v+20=0. Решаҳо: v=29±81−80 v1=4, v2=5. Аз u=9−v: u1=5, u2=4. Вале x=u2, y=v2. Пас (25; 16) ва (16; 25) — ҳалҳои системаи аввалаанд.
Санҷиш: 25+16=9, 29=512; 25⋅16=20, lg20=1+lg2.
Ҷавоб: (25; 16), (16; 25).
Мисоли 2: системаи омехта бо u = √x, v = √y
2^(√x + √y) = 512; lg√(xy) = 1 + lg 2 √x + √y = 9; √(xy) = 20
u = √x, v = √y: u + v = 9, uv = 20
v² − 9v + 20 = 0; v₁ = 4, v₂ = 5
u = 9 − v: u₁ = 5, u₂ = 4
x = u², y = v²: (25; 16), (16; 25)
Ҷавоб: (25; 16) ва (16; 25)
Муодилаи якум нишондиҳандагӣ, дуюм логарифмӣ. Соҳа: x > 0, y > 0.
система2^(√x + √y) = 512; lg√(xy) = 1 + lg 2
Мисоли 3. Системаи муодилаҳои зеринро ҳал мекунем:
{xy=−1,logx+yx2+y2=2.
Ҳал. Асоси логарифм x+y аст, пас x+y>0 ва x+y=1. Аз таърифи логарифм муодилаи дуюм чунин мешавад:
x2+y2=(x+y)
яъне (x2+y2 Бо xy=−1 ва t=x2+y2 (t≥0) ҳосил мекунем:
t2−t−2=0,D=1+8=9,
Решаи якум нопазир аст, чунки t≥0 бояд бошад. Пас
x2+y2
Азбаски x+y>0 (асос), танҳо x+y=2 мемонад. Системаи алгебравӣ:
{x+y=2,xy
Ададҳои x ва y решаҳои t2−2t−1=0-анд: t=22±6 Ҷуфтҳо:
(22
Санҷиш: x+y=2>0, =1; x2+y2=4, log22=2.
Ҷавоб: (22±6; 22∓6).
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф
1. Системаи муодилаҳоро ҳал кунед:
- а) {5x⋅2y=80,log5(x+y)=2;
- б) {3x⋅2y=972,log
- в) {32x
- г) {lgx−lgy=lg15−1,10
2. Системаи муодилаҳоро ҳал кунед:
- а) {x−y=90,lgx+lgy=3;
- б) {log4x+log4y=1+log49,x
- в) {log4x−log2y=
- г) {log4(x+y)=0,(x+14)(x
Дар хона
3. Ифодаро сода кунед:
(5+aa+5−a5+a):a+53a+5.
4. Системаи нобаробариҳоро ҳал кунед:
{2x+9≥6x−5,−2x<−1.
5. Велосипедрон аз шаҳри А ба шаҳри Б, ки масофаи байнашон 45 км аст, равон шуд. Пас аз 30 дақиқа аз паси ӯ велосипедрони дигар ба роҳ баромад. Вай ба шаҳри Б 15 дақиқа тезтар омада расид. Суръати велосипедрони аввала чанд аст, агар маълум бошад, ки суръати вай нисбат ба суръати дигарӣ 3 км/соат кам аст?
6. Айниятро исбот кунед:
cosα1−cosα=sinα⋅tgα.
★ Барои ҳавасмандон
7★. Муодиларо ҳал кунед:
16logx2=8x.
Вазифаи хонагӣ
- Машқҳои 3–6 («Такрор»).
- Машқи 7★ — барои онҳое, ки мехоҳанд.
- Вазифаи онлайн оид ба мавзӯи 20 — дар саҳифаи «Супоришҳо», агар омӯзгор онро супорида бошад.
Хулоса
- Системаи логарифмӣ ва омехтаро ба системаи алгебравӣ меоранд; ҳалҳоро ҳамеша бо соҳа месанҷанд.
- Агар logax−logay-ро ба logayx иваз кунем, соҳа васеъ мешавад (x,y<0 низ мумкин). Соҳаро аз системаи аввала сабт кунед.
- Агар асоси логарифм тағйирёбанда бошад: он мусбат ва =1 бошад.
- Тағйирёбандаҳои нав (u=x, v=y системаро содда мекунанд.
Дар ин дарс
- Ман метавонам системаи омехтаро (нишондиҳандагӣ + логарифмӣ) бо тағйирёбандаҳои нав ба системаи алгебравӣ орам.
- Ман ҳатман шартҳоро барои асоси логарифми тағйирёбанда месанҷам: мусбат ва =1.
- Ман метавонам ҳалҳоро дар охир бо соҳа санҷам.
Такрор (2 дақиқа)
- 512-ро ҳамчун дараҷаи 2 нависед. 1+lg2-ро ба як логарифм иваз кунед.
- Системаи {u+v=9,uv=20-ро ҳал кунед.
- Асоси логарифм кадом шартҳоро қаноат кунад?
Ҷавобҳо
- 512=29; 1+lg2=lg10+lg2= 2) ва 3) Асос мусбат ва
Калимаҳои калидӣсистемаи логарифмӣсистемаи омехтасистемаи алгебравӣтағйирёбандаи навасоси тағйирёбанда
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам?Кадом қадами ҳалли система аз ҳама бештар хато меорад? Чаро ҳалро бо соҳа санҷидан лозим аст?
Худро арзёбӣ кунед (✓ ё ✗):
- Ман тарзҳои ҳалли системаи алгебравиро номбар карда метавонам (ҷойгузорӣ, ҷамъ, тағйирёбандаи нав).
- Ман фарқи системаи логарифмӣ ва системаи омехтаро шарҳ дода метавонам.
- Ман системаи логарифмиро ба алгебравӣ оварда, ҳал карда метавонам.
- Ман ҳалро бо соҳа (ва бо асоси логарифм) месанҷам.
Агар дар система асоси логарифм x+y бошад, ҳалли ёфташуда бояд x+y>0 ва x+y=-ро қаноат кунонад.
Системаи {2x⋅3y=72,log-ро ҳал кунед. Кадом ҷуфт ҳал аст?
Як ҷавобро интихоб кунед
Системаи {log2x−log2y=1-ро ҳал мекунем. Қадамҳоро ба тартиб гузоред.
Унсурҳоро бо тартиби дуруст ҷойгир кунед1
2
3
4
=
9
,
=
29±1,
2
=
x2+
2xy+
y2,
)
2
−
2xy=
0.
t1
=
−1, t2=
2.
=
2,x2+
y2=
4,(x+
y)2−
2xy=
4,(x+
y)2=
2,x+
y=
=
−
1.
.
+
;
)
ва
.
(
x
−
y
)
=
2
;
−
=
81
,
l
g
(
3
x
+
2
y
)
=
39.
+
y
−
20
=
0
;
0
,
x2−2y2−8=0;
+
y
)
=
64.
,
t=x2+y2)
lg
20.
+
=
128
,
1
(
x
+
y
)
=
2
,
xy=18
y=±3, x=2y: ҷуфтҳо (6; 3) ва (−6; −3).
Соҳаи x>0, y>0-ро санҷида, (−6; −3)-ро мебарорем: ҷавоб (6; 3).
Муодилаи якумро ба log2yx=1 меорем: yx=2, x=2y.
x=2y-ро ба xy=18 мегузорем: 2y2=18, y2=9.