Такрор ва санҷиш: фаслҳои 21–25 · 1/3. Ҳосила ва функсияи ибтидоӣ - Алгебра — синфи 11
Дар хотир доред
Ҷадвали ҳосилаҳо ва функсияҳои ибтидоии фаслҳои 21–25 (C — доимии дилхоҳ):
| f(x) | f′(x) | |
|---|
навбатӣТакрор ва санҷиш: фаслҳои 21–25 · 2/3. Кори санҷишӣ
1 соат
F(x)
| ax | axlna | lnaax |
| ex | ex | ex |
| lnx | x1 | x(lnx−1) |
| logax | xlna1 | |
| xα | αxα−1 | α |
| x1 | −x21 | |
(Дар сутуни охирон барои F ҳамеша +C илова кунед; xα барои x>0, α=−1.)
Қоидаҳои функсияи мураккаб:
(eu)′=u′eu,(au)′=auu′lna,(lnu)′=uu′,(uα)′=αuα−1u′.
Барои функсияи ибтидоии f(kx+b) ба k1F(kx+b) ниёз дорем; ax+b1 — a1ln∣ax+b∣.
Муодилаи y′=ky — ҳалли умумӣ Cekx, бо y(x0)=y0 — y0ek(x−x0). Таҷзия: α=Tln2; афзоиш: вақти дучанд шудан βln2.
Мисолҳо
Мисоли 1. Нуқтаҳои экстремали y=x2e−3x-ро меёбем.
Ҳал. y′=2xe−3x+x2⋅(−3)e−3x=x(2−3x)e−3x. Ҳосила дар x=0 ва x=32 нул мешавад (e−3x>0). Аломат: x<0 — манфӣ, 0<x<32 — мусбат, x>32 — манфӣ. Пас x=0 — минимум (y=0), x=32 — максимум (y=94e−2).
Мисоли 2. Интегралро ҳисоб мекунем: ∫02(3x+x+11)dx.
Ҳал.
(ln33x+ln(x+1))02=ln39+ln3−ln31−0=ln38+ln3.
Мисоли 3. Масса бо қонуни y′=−0,2y кам мешавад, y(0)=50. Кай y=10 мешавад?
Ҳал. y=50e−0,2t. Аз 50e−0,2t=10: e−0,2t=51, −0,2t=−ln5, t=5ln5≈8,05.
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф
1. Ҳосилаи функсияро ёбед:
- а) y=2−3e5−2x;
- б) y=4⋅74x−1;
- в) y=(e2x1)7;
- г) y=5−3x.
2. Ҳосилаи функсияро ҳисоб кунед:
- а) y=xlg5x;
- б) y=ln(sinx);
- в) y=log2(3x+1);
- г) y=log0,2(x2+1).
Дар хона
3. Барои функсияҳои зерин намуди умумии функсияҳои ибтидоиро нависед:
- а) y=e4x−3e−2x;
- б) y=3e0,5x;
- в) y=4x;
- г) y=0,3x.
4. Барои функсияҳои зерин ҳосила ва намуди умумии функсияҳои ибтидоиро нависед:
- а) y=x53;
- б) y=x−e;
- в) y=x1/π;
- г) y=x23.
Вазифаи хонагӣ
- Машқҳои 3 ва 4.
- Агар вақт бошад, машқҳои 1–2-ро, ки дар синф иҷро нашуданд, ба охир расонед.
Дар ин дарс
- Ман метавонам формулаҳои ҳосила ва функсияи ибтидоии ax, ex, lnx, logax, xα-ро аз ёд гӯям ва якҷоя истифода барам.
- Ман метавонам расанда, экстремум ва масоҳатро барои функсияҳои нишондиҳандагӣ, логарифмӣ ва дараҷагӣ ёбам.
- Ман метавонам муодилаи y′=ky-ро барои масъалаи таҷзия ва афзоиш истифода барам.
Оё медонед?Нишондиҳандаҳои манфӣ ва касриро аввалин шуда Ҷон Валлис (1656) мувофиқи мақсад донист; Исаак Нютон дар соли 1676 навишт, ки ба ҷои a1, a менависад Назарияи функсияи нишондиҳандагиро Леонард Эйлер дар китоби «Муқаддима ба анализ» ба шакли ҳозира овард. Логарифмҳоро шотландӣ Ҷон Непер соли 1594 кашф кард, номашонро (калимаи юнонӣ, маънояш «нисбати ададҳо») гузошт ва аввалин ҷадвали онҳоро сохт; соатсози швейтсарӣ Йост Бюрги ҷадвалҳои худро пештар сохта, вале дертар чоп кард (1620), барои ҳамин ҷойи аввалро Непер гирифт. Генри Бриггс ҷадвали логарифмҳои даҳиро нашр кард (1624), Уилям Оутред хаткашаки логарифмиро ихтироъ кард, ки зиёда аз 350 сол ба ҳисобкунандагон хизмат кард. Лаплас гуфта буд, ки логарифмҳо умри ҳисобкунандаро дароз карданд. Адади (Эйлер) ва (Ламберт, асри XVIII) ирратсионалианд.
Барои ҳар як x=0 ҳосилаи ln∣x∣ ба x1 баробар аст.
Ҳосилаи функсияи y=2x2-ро ёбед.
Як ҷавобро интихоб кунед Муодилаи расандаро ба графики y=ex дар нуқтаи x0=ln2 нависед.
Як ҷавобро интихоб кунед Ба ҳар функсияи f яке аз функсияҳои ибтидоии онро мувофиқ кунед.
Ҳар як унсури чапро бо яке аз рост мувофиқ кунедe2x
→x1 ()
→→
→
lnax(lnx−1)
+
1
xα+1
ln∣x∣ 2
1
,
x2−1
2x⋅2x2
2x2ln2
2x⋅2x2ln2
2x+
2
y=x+2−ln2
y=2x+2−2ln2
y=2x−ln2
x
>
0