24 · 2/2. Функсияи ибтидоӣ ва функсияи 1/x - Алгебра — синфи 11
Функсияи ибтидоии функсияи дараҷагӣ
Барои x>0 ду ҳол дорем.
А) α=−1. Барои f(x)=x намуди умумии функсияҳои ибтидоӣ
Дар ҳақиқат, аз рӯйи формулаи
навбатӣ25 · 1/2. Муодилаи f′ = kf ва ҳалли он
1 соат
α
F(x)=α+1xα+1+C. F′(x)=α+11(xα+1)′=α+11(α+1)xα=xα. Б) α=−1. Формулаи (lnx)′=x1 нишон медиҳад, ки барои f(x)=x1 дар (0; +∞) намуди умумии функсияҳои ибтидоӣ lnx+C аст.
Функсияи x1 дар (−∞; 0) низ функсияи ибтидоӣ дорад — ln(−x):
(ln(−x))′=−x1⋅(−x)′=−
Таърифи қимати мутлақро истифода бурда, ду ҳолро якҷоя менависем.
Диққат: ду фосилаи (−∞; 0) ва (0; +∞) ҷудо мебошанд ва C дар онҳо метавонад гуногун бошад. Функсияи ибтидоӣ ҳамеша дар як фосила ҷустуҷӯ мешавад: x1 дар x=0 муайян нест, пас ягон функсияи ибтидоии он аз нуқтаи x=0 намегузарад.
Мисолҳо
Мисоли 1. Функсияи ибтидоиро барои y=2x+31 меёбем (фосилаи муайянии он нуқтаи x=−23-ро дарбар намегирад).
Ҳал. Аз рӯйи қоидаи 3∘ (функсияи ибтидоии f(kx+b)) ва F(x)=ln∣x∣ барои x1:
F(x)=21ln∣2x+3∣+C.
Санҷиш: F′(x)=21⋅2
Умуман, барои y=ax+b1 функсияи ибтидоӣ F(x)=a1ln∣ax+b∣+C аст (x=−ab).
Мисоли 2. Масоҳати фигураро, ки бо хатҳои y=x1, y=0, x=1, x=2 маҳдуд аст, меёбем (Расми 1).
Ҳал. Аз рӯйи формулаи масоҳати трапетсияи каҷхатта:
S=∫12xdx=ln∣x∣12=ln2−ln1=ln2.
Мисоли 3. Интегралро ҳисоб мекунем: ∫18x−2/3dx.
Ҳал. α=−32=−1, пас F(x)=1/3x1/3=33x.
∫18x−2/3dx=33
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф
1. Намуди умумии функсияҳои ибтидоии функсияро ёбед:
- а) y=21x2;
- б) y=x32;
- в) y=xe;
- г) y=−51x−5
2. Намуди умумии функсияҳои ибтидоии функсияро ёбед:
- а) y=x+32;
- б) y=x+11;
- в) y=x2;
- г) y=x2−x+41.
3. Масоҳати фигураро, ки бо хатҳои зерин маҳдуд аст, ҳисоб кунед:
- а) y=x3, y=0, x=1;
- б) y=x1/2, y=
- в) y=x0,4, y=0, x=1,
- г) y=x−0,2, y=0, x=1,
4. Масоҳати фигураро, ки бо хатҳои зерин маҳдуд аст, ҳисоб кунед:
- а) y=x2+1, y=0, x=2, x=4;
- б) y=−x3, y=0, x=−
- в) y=2x1, y=0, x=
- г) y=4−x1, y=0, x
Дар хона
5. Интегралро ҳисоб кунед:
- а) ∫14x3/2dx;
- б) ∫12x1/22dx;
- в) ∫016x1/5dx;
- г) ∫1164x3
6. Соҳаи муайянии функсияи y=ln(x2+x+6)-ро ёбед.
7. Қимати x-ро ёбед: log3x=21log316+3log30,5.
8. Барои 4 қалам ва 3 дафтар 70 дирам, барои 2 қалам ва 1 дафтар 28 дирам доданд. Қалам ва дафтар чанд дирамӣ мебошанд?
9. Қимати калонтарин ва хурдтарини функсияи f(x)=x+x1-ро дар порчаи [−2; −21] ёбед.
10. Нишон диҳед, ки cos15∘−cos75∘sin15∘+sin75∘=3 аст.
Вазифаи хонагӣ
- Машқи 5 ва машқҳои 6–10 («Такрор»).
- Вазифаи онлайн оид ба мавзӯи 24 — дар саҳифаи «Супоришҳо», агар омӯзгор онро супорида бошад.
Хулоса
- (xα)′=αxα−1 барои ҳар α∈R ва x>0 (исбот: xα=eαlnx).
- Барои x>0 функсияи xα дар α>0 меафзояд ва дар α<0 кам мешавад.
- α=−1: функсияи ибтидоӣ α+1xα+ дар ҳар як фосилаи бе
- ax+b1 функсияи ибтидоии a1ln∣a дорад;
Дар ин дарс
- Ман медонам намуди умумии функсияҳои ибтидоии xα-ро ҳам барои α=−1, ҳам барои α=−1.
- Ман метавонам функсияи ибтидоии ax+b1-ро нависам ва аз он масоҳатро ҳисоб кунам.
- Ман медонам, ки чаро ∫−11xdx-ро бо формулаи Нютон–Лейбнитс ҳисоб кардан мумкин нест.
Такрор (2 дақиқа)
- (xα)′=? (x>0)
- Ҳосилаи ln(−x) (x<0) чанд аст?
- Формулаи Нютон–Лейбнитсро нависед.
Ҷавобҳо
- αxα−1. 2) −x−1= 3)
ҚоидаБарои x=0 намуди умумии функсияҳои ибтидоии x1 чунин аст:
Хатои маъмул∫−11xdx= нодуруст аст. Функсияи дар бефосила нест (), пас формулаи Нютон–Лейбнитс истифода намешавад. Интегралро танҳо дар порчае ҳисоб мекунанд, ки -ро надорад.
Расми 1. Масоҳати зери y = 1/x аз x = 1 то x = 2 ба ln 2 баробар аст.Калимаҳои калидӣфунксияи дараҷагӣнишондиҳандаи иррасионалӣлогарифм бо қимати мутлақфунксияи ибтидоии 1/xафзуншавӣ ва камшавӣ
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам?Чаро формулаи α+1xα+1 барои кор намекунад ва кадом функсия ҷойи онро мегирад?
Интеграли ∫−11xdx-ро бо формулаи Нютон–Лейбнитс ҳисоб кардан мумкин аст:
Масоҳати фигураро, ки бо хатҳои y=x2, y=0, x= маҳдуд аст, ёбед.
Намуди умумии функсияҳои ибтидоии f(x)=3x−11 дар фосилаи x>-ро ёбед.
Як ҷавобро интихоб кунед
Функсияи ибтидоии f(x)=x2 (x>) кадом аст?
Як ҷавобро интихоб кунед
x
1
⋅
(−1)=
x1.
x
+
3
2
=
2x+31.
=
3⋅
2−
3⋅
1=
3.
.
0,
x=41, x=32;
x=32.
3
,
41
,
=
−4,
dx
.
1
+
C;
ln∣x∣+C x
+
b∣+
C
∫12xdx=ln2. x
1
.
∫abf(x)dx=F(b)−F(a). F(x)=ln∣x∣+C.
ln
∣1∣
−
ln∣−
1∣=
0
α=−1
Худро арзёбӣ кунед (✓ ё ✗):
- Ман медонам, ки функсияи дараҷагӣ кай афзуншаванда ва кай камшаванда аст.
- Ман формулаи (xα)′-ро бо xα=eαlnx исбот карда метавонам.
- Ман функсияи ибтидоии xα-ро барои α=−1 ва α=−1 менависам.
- Ман медонам, ки чаро ∫−11xdx-ро бо формулаи Нютон–Лейбнитс ҳисоб кардан мумкин нест.
- Ман масоҳати зери x1 ва зери xα-ро ҳисоб карда метавонам.
ln
∣1∣
−
ln∣−
1∣=
0.
1
,
3
1
ln(3x−1)+C
3ln(3x−1)+C
−(3x−1)21+C
31ln(3x−1)+C
0
2−1x2−1+C
2+1x2+1+C
x2+1+C
2x2−1+C