22. Функсияи ибтидоии функсияи нишондиҳандагӣ - Алгебра — синфи 11
Дар дарси гузашта ҳосилаи функсияи нишондиҳандагиро ёфтем. Акнун амали баръакс: функсияи ибтидоӣ барои ax.
Функсияи ибтидоӣ барои ax
Дар ҳақиқат, lna — адади доимӣ аст (a бошад, барои ҳамин мувофиқи формулаи (4) барои ҳар гуна қимати
Ин баробарӣ нишон медиҳад, ки барои функсияи ибтидоӣ аст.
навбатӣ23 · 1/2. Ҳосилаи логарифм
1 соат
=
1
lna=0), (lnaax)′=lna1(ax)′=lna1⋅axlna=ax. lnaax Ҳамин тариқ, намуди умумии функсияҳои ибтидоии y=ax чунин аст:
F(x)=lnaax+C,
ки дар ин ҷо C — доимии дилхоҳ.
Эзоҳ. Аз баробарии (ex)′=ex бармеояд, ки функсияи ex+C намуди умумии функсияҳои ибтидоии функсияи ex аст (ҳангоми a=e формула lneex=ex медиҳад).
Мисоли 1. Функсияи ибтидоии функсияи зеринро меёбем:
а) f(x)=3x; б) g(x)=4⋅2x; в) h(x)=2e5x−10⋅0,7x.
Ҳал. Аз Теоремаи 2 ва қоидаҳои ёфтани функсияи ибтидоӣ истифода мебарем:
а) F(x)=ln33x+C;
б) G(x)=4⋅ln22x+C=ln22x+2+C;
в) H(x)=52e5x−10⋅ln0,70,7x+C.
Дар в) қоидаи 3∘ истифода шуд: барои e5x зарбкунандаи 51 илова мешавад. Қайд кунед: ln0,7<0. Ҳар як ҷавобро бо ҳосилагирӣ санҷидан мумкин.
Мисоли 2. Масоҳати фигураи бо хатҳои y=4x, y=0, x=0 ва x=2 маҳдудро меёбем.
Ҳал. Графикҳоро схемавӣ кашида, мебинем, ки фигураи додашуда трапетсияи каҷхатта аст (расми 1).
Масоҳати он аз рӯйи формулаи масоҳати трапетсияи каҷхатта:
S=∫024xdx=ln44x02=ln416−ln41=ln415.
Тақрибан: ln4≈1,386, S≈10,82.
Ҷавоб: ln415.
Озмоиш: аз росткунҷаҳо то интеграл
Масоҳати зери графики 4ˣсанҷида бин! Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф
1. Интегралро ҳисоб кунед:
- а) ∫010,5exdx;
- б) ∫01e3xdx;
- в) ∫242xdx;
- г) ∫0,524xdx.
2. Масоҳати фигураи бо хатҳои зерин маҳдударо ёбед:
- а) y=ex, y=0, x=−1, x=1;
- б) y=2x, y=4x, x=1;
- в) y=3x, y=0, x=1, x
- г) y=ex, y=e2x, x=1.
Дар хона
3. Масоҳати фигураи бо хатҳои зерин маҳдударо ёбед:
- а) y=(21)x, y=2, x=0;
- б) y=ex, y=e−x, y=
- в) y=(41)x, x=−1,
- г) y=e4x, x=1, y=1.
4. Муодиларо ҳал кунед:
sin3xcos3x=−41.
5. Оё чор адад, ки се тараф ва периметри секунҷаро ифода мекунанд, прогрессияи арифметикиро ташкил карда метавонанд?
6. Бригадаи коргарон бояд дар муҳлати муайян 260 детал тайёр мекард. Ҳар рӯз аз миқдори зарурӣ 6 детал зиёд истеҳсол карда, бригада се рӯз пеш аз мӯҳлат супоришро иҷро намуд. Бригада чанд рӯз кор кардааст? Агар бригада супоришро барзиёд иҷро намекард, вай бояд ҳар рӯз чанд детал истеҳсол менамуд?
7. Соҳаеро, ки дар ҳамвории координатӣ бо нобаробарии зерин муайян мешавад, тасвир кунед:
- а) x2+y2≤9;
- б) x+y≤1, x≥0, y≥0.
8. Ҳисоб кунед: 273−331−131⋅2.
9. Аз ифода аз рӯйи асоси дилхоҳ логарифм гиред:
- а) 2abaa;
- б) (32c31
Вазифаи хонагӣ
- Машқҳои 3–9 («Такрор»-ро дар бар мегирад).
- Вазифаи онлайн оид ба мавзӯи 22 — дар саҳифаи «Супоришҳо», агар омӯзгор онро супорида бошад.
Хулоса
- Функсияи ибтидоии ax — функсияи lnaax аст; намуди умумӣ: lnaax+C. Барои ex: ex+C.
- Функсияи ибтидоӣ дар тамоми R мавҷуд аст (ax барои ҳар x муайян аст).
- Қоидаҳои 1∘–3∘ бо ин формула якҷоя кор мекунанд, масалан: ∫ekxd
- Интеграл ва масоҳат: ∫pqaxdx=lna масоҳати зери графики дар ҳамин қадар аст.
Дар ин дарс
- Ман медонам Теоремаи 2: lnaax — функсияи ибтидоӣ барои ax, ва намуди умумии онҳо lnaax+C.
- Ман метавонам функсияи ибтидоии суммаҳо ва зарбҳои функсияҳои нишондиҳандагиро ба воситаи қоидаҳои 1∘–3∘ ёбам.
- Ман метавонам интегралро ва масоҳати зери графики функсияи нишондиҳандагиро ҳисоб кунам.
Такрор (2 дақиқа)
- Қоидаҳои 1∘, 2∘, 3∘-и ёфтани функсияи ибтидоиро номбар кунед.
- Формулаи Нютон–Лейбнитсро нависед.
- Ҳосилаи ax ва ex чӣ қадар аст?
Ҷавобҳо
- Ҷамъ: F+G; зарб бар адад: kF; f(kx+b): 2) 3) ва
Теоремаи 2Функсияи lnaax барои функсияи y=ax дар тамоми тири ададӣ R=(−∞; +∞) функсияи ибтидоӣ аст (a>0, a=1).
Расми 1. Трапетсияи каҷхатта зери графики y = 4ˣ дар порчаи [0; 2].Калимаҳои калидӣфунксияи ибтидоӣэкспонентаln aинтегралтрапетсияи каҷхатта
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам?Чаро lna дар махраҷ меояд? Чаро формулаи lnaax барои кор намекунад?
Формулаи lnaax барои a=1 низ функсияи ибтидоӣ медиҳад.
Намуди умумии функсияҳои ибтидоии f(x)=5x-ро нишон диҳед.
Як ҷавобро интихоб кунед
=
2;
e
;
y=1;
d−21
)
−21
.
x
=
kekx+
C.
aq−ap
;
k1
F
(
k
x
+
b).
∫abf(x)dx=F(b)−F(a). a=1
Худро арзёбӣ кунед (✓ ё ✗):
- Ман медонам, ки барои функсияи нишондиҳандагӣ кадом функсия ибтидоӣ аст.
- Ман намуди умумии функсияи ибтидоиро барои экспонента навишта метавонам.
- Ман медонам, ки соҳаи муайянии функсияи ибтидоии функсияи нишондиҳандагӣ тамоми R аст.
- Ман медонам, ки ғайр аз Cex функсияи дигаре нест, ки функсияи ибтидоиаш худаш бошад (инро дар 25 · 1/2 исбот мекунем).
- Ман интегралро ва масоҳати зери графики ax-ро ҳисоб карда метавонам.
0,01
+
C
x+15x+1+C
5xln5+C