17. Адади e. Логарифми натуралӣ - Алгебра — синфи 11
Адади e
Функсияи y=10x-ро мебинем. Вай афзуншаванда аст, графикаш хати каҷи яклухт. Ин далелро қабул мекунем (бе исбот): функсияи 10x дар ҳамаи нуқтаҳо ҳосила дорад. Хусусан дар нуқтаи x= ҳосилаи он адади мусбат аст: графики афзуншавандаи дар расандаи болорав дорад (нисбати ҳамеша мусбат аст: сураташ ва махраҷаш нишонаи якхела доранд). Онро ба ишорат мекунем. Яъне
навбатӣТакрор ва санҷиш: фаслҳои 14–17 · 1/3. Логарифм ва функсияи логарифмӣ
1 соат
0
Δx10Δx−1 Δx10Δx−1→M1ҳангоми Δx→0. Бо ҳисобкуниҳо M≈0,4343… ёфта шудааст.
Чаро ҳамин адад? Бигузор a=10t. Он гоҳ ax=10tx ва расандаи он дар нуқтаи (0; 1) t маротиба нишебтар аст аз расандаи 10x: коэффитсиенти кунҷӣ Mt. Ба 1 баробар шудани он маънои t=M, яъне a=10M=e дорад. Ҳамин тавр, e — ягона асосест, ки расандаи графики y=ax дар нуқтаи (0; 1) коэффитсиенти кунҷии 1 дорад. Ин хосият ҳангоми ҳосилагирии функсияи нишондиҳандагӣ (фасли 21) асосӣ мешавад.
Худатон асосеро ҷӯед, ки расанда дар нуқтаи (0; 1) коэффитсиенти кунҷии 1 дошта бошад:
Расанда ва асоси eсанҷида бин! Адади e ирратсионалӣ аст: онро ба намуди каср nm ё касри даҳии даврӣ навишта намешавад. Рақамҳои аввал:
e=2,718281828459045…
Дар ҳисобкуниҳо e≈2,72 ё e≈2,718 мегиранд.
Эзоҳ. Адади e ҳамчунин ҳудуди ифодаи (1+n1)n ҳангоми n→∞ аст. Ин ҷо исбот намеёбад, вале шумо онро бо ҳисобкунак санҷида метавонед: ҳангоми n=10 ҳосил мешавад ≈2,594, ҳангоми n=100 — ≈2,705, ҳангоми n=1000 — ≈2,717. Ададҳо ба e наздик мешаванд.
Функсияи y=ex-ро баъзан экспонента меноманд.
Логарифми натуралӣ
Адади e мусбат ва аз 1 фарқкунанда аст, пас барои он логарифм муайян аст.
Ҳамаи хосиятҳои логарифм ва формулаи гузариш барои ln ҳам дурустанд: lne=1, ln1=0, elnb=b, lnec=c, ln(xy)=lnx+lny. Бо формулаи гузариш lnx=lgelgx=Mlg
Мисоли 1. lne4=4; eln7=7; lne1=−1.
Мисоли 2. ln3-ро бо 1 муқоиса мекунем. 1=lne, асос e>1, функсия афзуншаванда. e≈2,72<3, пас ln3>1.
Мисоли 3. Муодилаи e2x−1=e3-ро ҳал мекунем: асосҳо баробар, 2x−1=3, x=2. Муодилаи ex=5-ро ҳал мекунем: аз таъриф x=ln5.
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф
1. Тақрибан ҳисоб кунед (бо дақиқии 10−3):
- а) e2;
- б) e1;
- в) e;
- г) e21.
- а) lne2;
- б) lne−3;
- в) eln4;
- г) lne1.
3. Ададҳоро муқоиса кунед:
- а) ln31 ва ln21;
- б) ln7 ва ln19;
- в) −ln0,1 ва 1;
- г) −ln11 ва −1.
- а) e−2x+1=1;
- б) ex2−2x=e1;
- в) ex−2=e
- г) ex3−x−4=−1.
Дар хона
- а) ln45−ln52ln3⋅ln32ln4;
- б) ln8+ln4ln8−ln4⋅ln81−
6. Нобаробариро ҳал кунед:
- а) e3x−5≥1;
- б) e−x+4<1;
- в) e2x+ex≤2;
- г) ex−2e−x>−1.
7. Тақсимкунандаи умумии калонтарини ададҳои 18 ва 12-ро ёбед.
8. Ҳисоб кунед: 27+102+27−102.
9. Ифодаро сода кунед: ab−1aa2+b2−2b.
10. Муодилаи cos(1−2x)=−21-ро ҳал кунед.
11. Ҳалли нобаробарии зеринро ёбед:
[(73)1/x2]x2−2x≥1.
★ Барои ҳавасмандон
12★. Нишон диҳед, ки логарифми натуралии адад тақрибан 2,3 маротиба аз логарифми даҳии ҳамин адад зиёд аст.
Вазифаи хонагӣ
- Машқҳои 5–11 («Такрор»-ро дохил карда).
- Машқи 12★ — барои онҳое, ки мехоҳанд.
- Агар дар синф ҳамаи бандҳои машқҳои 1–4 иҷро нашуда бошанд, онҳоро низ иҷро кунед.
- Вазифаи онлайн оид ба мавзӯи 17 — дар саҳифаи «Супоришҳо», агар омӯзгор онро супорида бошад.
Хулоса
- Адади e=10M, ки M=lge≈0,4343; e≈2,718281828… — адади ирратсионалӣ.
- e — асосест, ки расандаи графики y=ex дар (0; 1) коэффитсиенти кунҷии 1 дорад.
- Функсияи y=ex — экспонента.
- lnb=logeb — логарифми натуралӣ; lnx≈2,3lgx.
- Хосиятҳои логарифм барои ln ҳам дурустанд.
Дар ин дарс
- Ман медонам, адади e чӣ гуна муайян мешавад, ва ки e≈2,718.
- Ман медонам таърифи логарифми натуралӣ: lnb=logeb.
- Ман метавонам elnb, lnec-ро ҳисоб кунам ва ln-ро бо 1 ва ба ҳамдигар муқоиса намоям.
Такрор (2 дақиқа)
- Ҳосилаи функсия дар нуқта чист (бо расанда чӣ алоқа дорад)?
- Ҳисоб кунед: lg1000, 10lg5.
- Функсияи y=10x афзуншаванда ё камшаванда?
Ҷавобҳо
- Ҳосилаи функсия дар нуқтаи x0 — ҳамон ададест, ки ба он нисбати ΔxΔf ҳангоми Δx→ майл мекунад; ин коэффитсиенти кунҷии расанда дар нуқтаи аст. 2) 3) Афзуншаванда.
Вазъият барои андешаронӣГрафики y=ax ҳамеша аз нуқтаи (0; 1) мегузарад. Расандаи ин график дар ҳамин нуқта ҳар қадар a калон шавад, нишебтар мешавад. Оё асосе ҳаст, ки расанда дар (0; 1) дуруст 45∘ нишеб бошад, яъне коэффитсиенти кунҷии он ба 1 баробар шавад?
Расми 1. Графики y = 10^x ва расандаи он дар нуқтаи (0; 1): коэффитсиенти кунҷии расанда 1/M ≈ 2,30.Таърифи 1Адади 10M адади e номида мешавад: e=10M Аз ин ҷо
Таърифи 2Логарифми аз рӯйи асоси e-ро логарифми натуралӣ меноманд ва бо ln ишорат мекунанд: lnb=logeb.
Дар хотир доредe≈2,718; lnb=logeb; барои барои
Калимаҳои калидӣадади eэкспоненталогарифми натуралӣlnирратсионалӣ
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам?Адади e -ро бо ёрии кадом хосият муайян кардем? Чаро e-ро бо асоси «махсус» мешуморанд?
Худро арзёбӣ кунед (✓ ё ✗):
- Ман фарзияеро, ки бо он адади e ворид шуд, баён карда метавонам.
- Ман медонам, логарифми натуралӣ чист ва чӣ тавр навишта мешавад.
- Ман таърифи аниқи адади e-ро (ҳудуди ) мегӯям.
Адади e ратсионалӣ аст.
Адади ln7-ро бо 2 муқоиса кунед.
Як ҷавобро интихоб кунед
x
≈
2,3lgx.
;
ln
9
ln3
.
0
(x0; f(x0)) .
elnb
=
b;
lnec=c; (1+
1/n)n
Ман медонам, ки e ирратсионалӣ аст ва тақрибан ба чанд баробар аст. >
2