25 · 2/2. Таҷзия, афзоиш ва фишор - Алгебра — синфи 11
Таҷзияи радиоактивӣ
Бигузор дар лаҳзаи t0=0 миқдори модда m0 бошад. Муодилаи (11): шарти ибтидоӣ Аз
навбатӣТакрор ва санҷиш: фаслҳои 21–25 · 1/3. Ҳосила ва функсияи ибтидоӣ
1 соат
m′=−αm,
m(0)=m0. m(t)=m0e−αt. Даври нимтаҷзия T — вақте, ки дар муддати он миқдори модда ду маротиба кам мешавад. Аз m(T)=2m0 ҳосил мешавад:
m0e−αT=2m0,e
Ҳамин тавр, пас аз T, 2T, 3T мондааш 2m0, 4m0, 8m0 аст (Расми 1): m(nT)=m0⋅2−n.
Барои моддаҳои гуногун T хеле гуногун аст: барои уран T=4,56 миллиард сол, барои радий T=1590 сол.
Мисоли 1. Барои радий:
α=1590ln2≈0,000436=4,36⋅10−4 (1/сол).
Мисоли 2. Аз 80 г радий пас аз 3180 сол чӣ қадар мемонад?
Ҳал. 3180=2⋅1590=2T, пас мондааш 80⋅2−2=20 г.
Афзоиши аҳолӣ
Бигузор N0=N(0) — аҳолии ҳозира. Муодилаи (12) ва шарти ибтидоӣ медиҳанд:
N(t)=N0eβt.
Мисоли 3. Бигузор маълум бошад, ки дар муддати 10 сол аҳолӣ 1,2 маротиба афзудааст. Нишондиҳандаи β-ро меёбем:
N(0)N(10)=1,2,e10β=1,2,10β=ln1,2,β=10ln1,2≈0,0182.
Пас N(t)=N0e0,0182t. Баъди 20 сол: N(20)=N0e2ln1,2=N Афзоиш зарбшаванда аст: ду давр — 1,22=1,44 маротиба, на 1,4.
Вақти дучанд шудан: eβt=2, t=βln2=ln1,210ln2≈38 сол.
Фишори атмосфера
Агар P0=P(h0) — фишор дар баландии h0, ҳалли (13) барои P(h0)=P0 чунин аст:
P(h)=P0e−γ(h−h0).
Агар h0=0 (сатҳи баҳр) гирем: P(h)=P0e−γh. Агар фишор дар баландии h1 маълум бошад, γ-ро меёбем:
γ=h11(ln
Мисоли 4. Фарз мекунем, дар баландии 5500 м фишор нисфи фишори сатҳи баҳр аст. Он гоҳ γ=5500ln2≈1,26⋅10−4 (1/м). Баландии 11000 м ду маротиба 5500 м аст, пас фишор ду маротиба ним мешавад: 4P0. Дар 2000 м: P=P0e−0,252≈0,78P0.
Фишор ҳам ба «давраи нимтаҷзия» монанд аст: пас аз ҳар 5500 м фишор ду маротиба кам мешавад.
Худатон санҷед
Таҷзия ва афзоишсанҷида бин! Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф
1. Даври нимтаҷзияи моддаи радиоактивиро ёбед, агар маълум бошад, ки дар муддати 2 сол ин модда якуним маротиба кам шудааст.
2. Баъди як соат аз 50 г моддаи радиоактивӣ 47 г боқӣ монд. Баъди 5 соат чӣ қадари ин модда боқӣ мемонад?
3. Дар муддати 10 сол аҳолии мамлакат 10% афзудааст. Дар 20 соли пасоянд аҳолӣ чанд маротиба меафзояд?
4. Дар муддати 15 сол аҳолии ҷумҳурӣ 20% зиёд шудааст. Пас аз чанд сол миқдори аҳолӣ ду маротиба зиёд мешавад?
Дар хона
5. Даври нимтаҷзияи радий 1590 сол аст. Баъди чанд сол миқдори радий 10 маротиба кам мешавад?
6. Аз сатҳи баҳр чӣ қадар баланд баромадан даркор, ки фишори ҳаво 40% кам шавад, агар маълум бошад, ки ҳангоми ба баландии 1000 м баромадан фишор 20% кам мешавад?
7. Ифодаи 2y−3y2+y3-ро ба зарбкунандаҳо ҷудо кунед.
8. Сода кунед: cos(π−α)+cos(2π+α).
9. Гипотенузаи секунҷаи росткунҷа 13 см аст. Катетҳоро ёбед, агар фарқи онҳо 7 см бошад.
10. Муодилаи log4(x2−x)=1+log45-ро ҳал кунед.
11. Масоҳати фигураеро, ки бо хатҳои y=x(2−x), y=0 маҳдуд аст, ҳисоб кунед.
Вазифаи хонагӣ
- Машқҳои 5 ва 6 ва машқҳои 7–11 («Такрор»).
- Вазифаи онлайн оид ба мавзӯи 25 — дар саҳифаи «Супоришҳо», агар омӯзгор онро супорида бошад.
Хулоса
- Муодилаи дифференсиалӣ — муодилае, ки ноаёнаш функсия аст ва ҳосила дорад. Муодилаи f′=kf — суръат ба қимат мутаносиб аст.
- Ҳалли умумӣ f=Cekx ва дигар ҳал нест; шарти f(x0)=f0 ҳалли ягона медиҳад: f0ek(x−x0).
- Таҷзия: m=m0e−αt, α=T афзоиш: фишор:
- Вақти дучанд шудан: t=βln2.
Дар ин дарс
- Ман медонам қонуни таҷзияи радиоактивӣ m(t)=m0e−αt-ро, даври нимтаҷзия T ва α=Tln2-ро.
- Ман метавонам афзоиши аҳолӣ ва камшавии фишори ҳаворо бо муодилаи y′=ky ҳисоб кунам.
- Ман медонам, ки муодилаҳои дифференсиалӣ воситаи тадқиқи ҷараёнҳои табиианд.
Такрор (2 дақиқа)
- Ҳалли умумии f′=kf чист? Ҳалли f(x0)=f0 чӣ?
- ln2≈? ln1,2≈? (то садӣ)
- elna=?
Ҷавобҳо
- Cekx; f0ek(x−x 2) 3)
Расми 1. Таҷзия: пас аз ҳар як нимтаҷзия T массаи модда ду маротиба кам мешавад.ХулосаМисолҳои овардашуда нишон медиҳанд, ки муодилаҳои дифференсиалӣ воситаи тавонои таҳқиқи ҷараёнҳои табиатанд: донистани суръати тағйирёбӣ ва як қимат тамоми қонунро ошкор мекунад. Муодилаҳои дифференсиалӣ шохаи ҷудогонаи математикаи олӣ ба шумор мераванд.
Калимаҳои калидӣмуодилаи дифференсиалӣҳалли умумӣшарти ибтидоӣдаври нимтаҷзиякоэффитсиенти мутаносибӣ
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам?Чаро маҳз ekx ҳалли муодилаи y′=ky аст ва чаро ҳалли дигар надорад?
Худро арзёбӣ кунед (✓ ё ✗):
Даври нимтаҷзияи модда ба миқдори аввалаи он вобаста аст.
Агар N(t)=N0eβt (β>0), вақти дучанд шудани кадом аст?
Як ҷавобро интихоб кунед
−αT
=
21,αT=
ln2,α=
Tln2,T=
αln2.
0
⋅
1,22=
1,44N0.
P
0
−
ln
P
(
h1
)
)
=
h11lnP(h1)P0.
ln2
;
N=N0eβt; P=P0e−γh. 0
)
.
Ман мегӯям, муодилаи дифференсиалӣ чист ва ҳалли умумии он чӣ маъно дорад.Ман медонам, ки чӣ тавр шарти ибтидоӣ ҳалли ягонаро муайян мекунад.Ман бо ёрии α=Tln2 даври нимтаҷзияро ва доимии таҷзияро ҳисоб мекунам. Ман масъалаҳои афзоиши аҳолӣ ва камшавии фишорро бо y=y0ekt ҳал мекунам. Ман навиштани муодилаи (10)-ро аз ҷараёни физикӣ (мутаносибии суръат бо миқдор) ёд гирифтам. 1
0−3
P0
N0
t=βln2
t=βln2
t=ln2β
t=β2