11 · 1/2. Ададҳои натуралӣ, бутун ва ратсионалӣ. Касри даврӣ - Алгебра — синфи 8
Асосӣ Курсҳо Алгебра — синфи 8 2. Решаҳои квадратӣ
11 · 1/2. Ададҳои натуралӣ, бутун ва ратсионалӣ. Касри даврӣ 1 соат
Аз натуралӣ то ратсионалӣ
Мо бо ададҳои натуралӣ, бутун ва ратсионалӣ шиносем. Ададҳои 1 , 1, 1 , 2 , 2, 2 , 3 , … , 3, \ldots, 3 , … , маҷмуи ададҳои натуралиро ташкил медиҳанд. Ҳангоми ҷамъ ва зарби ададҳои натуралӣ натиҷа ҳамеша адади натуралӣ аст. Вале ҳангоми тарҳи ду адади натуралӣ на ҳамеша адади натуралӣ ҳосил мешавад: масалан, 2 − 4 = − 2 2 - 4 = -2 2 − 4 = − 2
навбатӣ 11 · 2/2. Аз касри даврӣ ба касри одӣ 1 соат
0 0 0
маҷмуи ададҳои бутун
Натиҷаи ҷамъ, тарҳ ва зарби ададҳои бутун ҳамеша адади бутун аст. Вале тақсими ададҳои бутун метавонад бутун набошад: масалан, 2 3 \dfrac{2}{3} 3 2 m n , \dfrac{m}{n}, n m , m m m n n n маҷмуи ададҳои ратсионалӣ ном дорад. Ҳамин тариқ, ададҳои бутун ва касрӣ маҷмуи ададҳои ратсионалиро ташкил медиҳанд.
Маҷмуи ададҳои натуралиро бо ҳарфи N , \mathbb{N}, N , Z \mathbb{Z} Z Q \mathbb{Q} Q ∈ \in ∈ ∉ \notin ∈ / 2 ∈ N , 2 \in \mathbb{N}, 2 ∈ N , − 4 ∈ Z -4 \in \mathbb{Z} − 4 ∈ Z 2 5 ∈ Q \dfrac{2}{5} \in \mathbb{Q} 5 2 ∈ Q 2 2 2 − 4 -4 − 4 2 5 \dfrac{2}{5} 5 2 − 3 ∉ N -3 \notin \mathbb{N} − 3 ∈ / N − 3 -3 − 3
Ҳар гуна адади ратсионалиро (новобаста ба бутун ё касрӣ буданаш) бо тарзҳои гуногун дар намуди касри m n \dfrac{m}{n} n m
2 3 = 4 6 = 20 30 ; \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{20}{30}; 3 2 = 6 4 = 30 20 ; 0,4 = 4 10 = 16 40 = 2 5 ; 0{,}4 = \dfrac{4}{10} = \dfrac{16}{40} = \dfrac{2}{5}; 0 , 4 = 10 4 = 40 16 = 5 2 ; 6 = 6 1 = 12 2 = 36 6 . 6 = \dfrac{6}{1} = \dfrac{12}{2} = \dfrac{36}{6}. 6 = 1 6 = 2 12 = 6 36 . Дар байни касрҳое, ки бо онҳо адади додашудаи ратсионалӣ ифода мешавад, касреро нишон додан мумкин аст, ки махраҷаш хурдтарин аст. Ин каср ихтисорнашаванда аст. Барои ададҳои бутун ин гуна каср касрест, ки махраҷаш ба 1 1 1
Касри даҳии даврӣ Аз қоидаи баргардонидани касри оддӣ ба даҳӣ медонем, ки масалан,
1 8 = 0,125 ; \dfrac{1}{8} = 0{,}125; 8 1 = 0 , 125 ; 5 4 = 1,25 ; \dfrac{5}{4} = 1{,}25; 4 5 = 1 , 25 ; 41 40 = 1,025. \dfrac{41}{40} = 1{,}025. 40 41 = 1 , 025. Оё ҳар гуна адади ратсионалиро дар намуди касри даҳӣ ифода кардан мумкин аст? Барои ҷавоб додан ба ин савол адади 3 11 \dfrac{3}{11} 11 3
Қисми бутуни ҳосили тақсим 0 0 0 3 3 3 10 10 10 11 11 11
Қадам Тақсим Бақия 1 30 : 11 = 2 30 : 11 = 2 30 : 11 = 2 8 8 8 2 80 : 11 = 7 80 : 11 = 7 80 : 11 = 7 3 3 3 3 30 : 11 = 2 30 : 11 = 2 30 : 11 = 2 8 8 8 4 80 : 11 = 7 80 : 11 = 7 80 : 11 = 7 3 3 3
Бақияи аввал ба 8 , 8, 8 , 3 3 3 8 , 8, 8 , 3 3 3 0 0 0 3 11 \dfrac{3}{11} 11 3 0,272727 … 0{,}272727\ldots 0 , 272727 …
3 11 = 0,272727 … \dfrac{3}{11} = 0{,}272727\ldots 11 3 = 0 , 272727 … Азбаски аз тақсимкунии сурат 3 3 3 11 11 11 8 8 8 3 3 3 2 2 2 7 7 7 касри даврӣ меноманд. Гурӯҳи рақамҳои такроршаванда давр и касрро ташкил медиҳад. Ҳангоми навиштани касри даҳии даврӣ даврро як маротиба дар дохили қавси доиравӣ менависанд:
3 11 = 0, ( 27 ) . \dfrac{3}{11} = 0{,}(27). 11 3 = 0 , ( 27 ) . Ин навишта ин тавр хонда мешавад: «сифр бутуну бисту ҳафт дар давр».
Адади 11 30 \dfrac{11}{30} 30 11
11 30 = 0,3666 … = 0,3 ( 6 ) . \dfrac{11}{30} = 0{,}3666\ldots = 0{,}3(6). 30 11 = 0 , 3666 … = 0 , 3 ( 6 ) . Ин навишта чунин хонда мешавад: «сифр бутуну аз даҳ се ва шаш дар давр». Дар ин мисол рақами 3 3 3 пешдавр аст. Айнан ҳамин тавр нишон додан мумкин аст, ки
1 6 = 0,1 ( 6 ) ; \dfrac{1}{6} = 0{,}1(6); 6 1 = 0 , 1 ( 6 ) ; 3 1 6 = 3,1 ( 6 ) ; 3\dfrac{1}{6} = 3{,}1(6); 3 6 1 = 3 , 1 ( 6 ) ; 1 2 7 = 1, ( 285714 ) ; 1\dfrac{2}{7} = 1{,}(285714); 1 7 2 = 1 , ( 285714 ) ; 1 3 = 0, ( 3 ) . \dfrac{1}{3} = 0{,}(3). 3 1 = 0 , ( 3 ) .
Мисолҳо ба хулоса меоранд, ки ҳар як адади касриро дар намуди касри даҳии охирнок, масалан, 2 5 = 0,4 , \dfrac{2}{5} = 0{,}4, 5 2 = 0 , 4 ,
Дар хотир доред: давр аз n − 1 n - 1 n − 1
Зоҳиран фаҳмост, ки касри даҳии охирноки дилхоҳ ё адади бутуни дилхоҳро дар намуди касри даҳии даврии беохир навиштан мумкин аст: барои ин ба тарафи рости он миқдори беохири сифрҳоро илова кардан лозим аст. Масалан,
3,5 = 3,5000 … = 3,5 ( 0 ) ; 3{,}5 = 3{,}5000\ldots = 3{,}5(0); 3 , 5 = 3 , 5000 … = 3 , 5 ( 0 ) ; − 7 = − 7,000 … = − 7, ( 0 ) . -7 = -7{,}000\ldots = -7{,}(0). − 7 = − 7 , 000 … = − 7 , ( 0 ) . Тақсими сутуниро худатон иҷро кунед. Қадамҳоро як-як иҷро кунед ва бақияҳоро назорат кунед:
Тақсими сутунӣ ва касри даврӣ санҷида бин! Аз нав
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф 1. Кадоме аз ададҳои − 50 ; -50; − 50 ; − 12,3 ; -12{,}3; − 12 , 3 ; − 1 ; -1; − 1 ; − 5 7 ; -\dfrac{5}{7}; − 7 5 ; 0 ; 0; 0 ; 2 ; 2; 2 ; − 8 ; -8; − 8 ; 27 ; 27; 27 ; 32 1 8 32\dfrac{1}{8} 32 8 1
2. Оё навиштаҷоти зерин дуруст мебошад:
а) 13 ∈ N ; 13 \in \mathbb{N}; 13 ∈ N ;
б) 2,4 ∈ N ; 2{,}4 \in \mathbb{N}; 2 , 4 ∈ N ;
в) − 2 ∉ Z ; -2 \notin \mathbb{Z}; − 2 ∈ / Z ;
г) − 5 ∉ Z ; -5 \notin \mathbb{Z}; − 5 ∈ / Z ;
д) − 4 ∈ N ; -4 \in \mathbb{N}; − 4 ∈ N ;
е) 5,6 ∈ Q ; 5{,}6 \in \mathbb{Q}; 5 , 6 ∈ Q ;
ж) − 7,1 ∈ Z ; -7{,}1 \in \mathbb{Z}; − 7 , 1 ∈ Z ;
з) 2 5 ∈ Q ? \dfrac{2}{5} \in \mathbb{Q}? 5 2 ∈ Q ?
3. Ададҳои 1 4 5 ; 1\dfrac{4}{5}; 1 5 4 ; 0,2 ; 0{,}2; 0 , 2 ; − 3 1 4 ; -3\dfrac{1}{4}; − 3 4 1 ; 13 13 13 0 0 0
4. Ададро дар намуди касри даҳии даврии беохир ифода кунед:
а) 1 3 ; \dfrac{1}{3}; 3 1 ;
б) 1 6 ; \dfrac{1}{6}; 6 1 ;
в) − 1 8 37 ; -1\dfrac{8}{37}; − 1 37 8 ;
г) 2 8 27 ; 2\dfrac{8}{27}; 2 27 8 ;
д) 2 7 11 ; 2\dfrac{7}{11}; 2 11 7 ;
е) − 1 2 3 . -1\dfrac{2}{3}. − 1 3 2 .
5. Ададро бо касри даҳии даврии беохир ифода намоед:
а) 11 30 ; \dfrac{11}{30}; 30 11 ;
б) 1 7 ; \dfrac{1}{7}; 7 1 ;
в) 2,341 ; 2{,}341; 2 , 341 ;
г) − 343 ; -343; − 343 ;
д) 3 8 ; \dfrac{3}{8}; 8 3 ;
е) 4,2. 4{,}2. 4 , 2.
Дар хона 6. Кадоме аз ин тасдиқот дуруст аст:
а) ҳар як адади натуралӣ адади бутун мебошад;
б) ҳар як адади бутун адади натуралӣ аст;
в) ҳар як адади бутун адади ратсионалӣ мебошад;
г) ҳар як адади ратсионалӣ адади бутун аст?
7. Ададҳои − 12 ; -12; − 12 ; 3 ; 3; 3 ; 2,1 ; 2{,}1; 2 , 1 ; − 0,1 -0{,}1 − 0 , 1 − 4 9 -\dfrac{4}{9} − 9 4
Вазифаи хонагӣ
Машқҳои 6 ва 7.
Вазифаи онлайн оид ба банди 11 баъди дарси дуюми ин банд дар саҳифаи «Супоришҳо» аст, агар омӯзгор онро супорида бошад.
Хулоса
N ⊂ Z ⊂ Q : \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}: N ⊂ Z ⊂ Q : ∈ \in ∈ ∉ \notin ∈ / Касри оддиро бо тақсими сутунӣ ба даҳӣ мегардонем: ё бақия 0 0 0
Навишт: 3 11 = 0, ( 27 ) , \dfrac{3}{11} = 0{,}(27), 11 3 = 0 , ( 27 ) , 11 30 = 0,3 ( 6 ) \dfrac{11}{30} = 0{,}3(6) 30 11 = 0 , 3 ( 6 )
Дар ин дарс
Ман медонам маҷмуъҳои ададҳои натуралӣ N , \mathbb{N}, N , Z \mathbb{Z} Z Q \mathbb{Q} Q ∈ , \in, ∈ , ∉ . \notin. ∈ / . Ман метавонам касри оддиро бо тақсими сутунӣ ба касри даҳии охирнок ё даврӣ табдил диҳам.Ман медонам навиштани касри даврӣ: давр, пешдавр, 0, ( 27 ) , 0{,}(27), 0 , ( 27 ) , 0,3 ( 6 ) . 0{,}3(6). 0 , 3 ( 6 ) . Такрор (2 дақиқа)
Ҳисоб кунед: 2 − 4 , 2 - 4, 2 − 4 , − 3 + 7 , -3 + 7, − 3 + 7 , 2 3 + 1 6 . \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{6}. 3 2 + 6 1 .
Касрро ба касри даҳӣ табдил диҳед: 1 8 , \dfrac{1}{8}, 8 1 , 3 5 . \dfrac{3}{5}. 5 3 .
Касрро ихтисор кунед: 20 30 . \dfrac{20}{30}. 30 20 .
Ҷавобҳо
− 2 ; -2; − 2 ; 4 ; 4; 4 ; 5 6 . \dfrac{5}{6}. 6 5 . 0,125 ; 0{,}125; 0 , 125 ; 0,6. 0{,}6. Вазъият барои андешаронӣ Ба калкулятор 1 : 3 1 : 3 1 : 3 0,3333333 … 0{,}3333333\ldots 0 , 3333333 … 1 : 3 1 : 3 1 : 3
Расми 1. Маҷмуъҳои ададҳо: ҳар як маҷмуъи хурдтар дар дохили калонтар ҷойгир аст (ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ). Хулоса Ҳар як адади ратсионалиро дар намуди касри даҳии даврии беохир ифода кардан мумкин аст (касри охирнок — давраш 0 0 0
Ҳар як адади бутун адади ратсионалӣ аст.
Кадом ададҳо бутунанд? (Ҳамаи дурустҳоро интихоб кунед.)
Ҳамаи мувофиқро интихоб кунед A 2 3 \dfrac{2}{3} 3 2
B 0 0 0
C − 7 -7 − 7
D 0,5 0{,}5 0 , 5
E 12 4 \dfrac{12}{4}
Касри 7 12 \dfrac{7}{12} 12 7
Як ҷавобро интихоб кунед A 0, ( 583 ) 0{,}(583) 0 , ( 583 )
B 0,5 ( 83 ) 0{,}5(83) 0 , 5 ( 83 )
C 0,58 ( 3 ) 0{,}58(3)
D Ба ҳар адад хурдтарин маҷмуъеро мувофиқ гузоред, ки ба он тааллуқ дорад.
Ҳар як унсури чапро бо яке аз рост мувофиқ кунед 15 15 15
→ … Q — ратсионалӣ Z — бутун N — натуралӣ − 7 -7 − 7
→ … Q — ратсионалӣ Z — бутун N — натуралӣ 0, ( 6 ) 0{,}(6) 0 , ( 6 )
→ … Q — ратсионалӣ Z — бутун N — натуралӣ 0 , 6.
4 12
0
,
58
(
3
)
Касри m n \dfrac{m}{n} n m m m m n n n 0 0 0 n − 1 , n - 1, n − 1 , n n n
Агар бақия ба 0 0 0
Агар бақия ба 0 0 0 n − 1 n - 1 n − 1 n − 1 n - 1 n − 1
Рақами навбатии ҳосили тақсим танҳо аз бақияи ҳозира вобаста аст (бақияро ба 10 10 10 n n n
