11 · 2/2. Аз касри даврӣ ба касри одӣ - Алгебра — синфи 8
Аз касри даврӣ ба касри оддӣ
Дар дарси пешина нишон додем, ки ҳар як адади ратсионалиро дар намуди касри даҳии даврии беохир ифода кардан мумкин аст. Тасдиқи баръакс низ дуруст мебошад: ҳар як касри даҳии даврии беохир адади ратсионалӣ аст. Барои ин дар ҳар мисол касри оддиеро, ки ба касри даврӣ баробар аст, меёбем.
Масалан,
0, ( 3 ) = 1 3 ; 0{,}(3) = \dfrac{1}{3}; 0 , ( 3 ) = 3 1 ; 2, ( 34 ) = 2 34 99 ; 2{,}(34) = 2\dfrac{34}{99}; 2 , ( 34 ) = навбатӣ 12. Адади ирратсионалӣ. Ададҳои ҳақиқӣ 1 соат
2
99 34
;
0,1 ( 125 ) = 1124 9990 . 0{,}1(125) = \dfrac{1124}{9990}. 0 , 1 ( 125 ) = 9990 1124 . Дурустии ин баробариҳоро бо ёрии амали тақсим санҷидан мумкин аст.
Дар ин ҷо «адади то даври дуюм» — қисми бутун, пешдавр ва як давр, ба ҳам навишташуда (бе вергул); «адади то даври якум» — қисми бутун ва пешдавр (бе вергул). Масалан,
0,4 ( 72 ) = 472 − 4 990 = 468 990 ; 0{,}4(72) = \dfrac{472 - 4}{990} = \dfrac{468}{990}; 0 , 4 ( 72 ) = 990 472 − 4 = 990 468 ; 2,12 ( 13 ) = 21 213 − 212 9900 = 21 001 9900 = 2 1201 9900 ; \begin{array}{l} 2{,}12(13) = \dfrac{21\,213 - 212}{9900} \\[1.1em] = \dfrac{21\,001}{9900} = 2\dfrac{1201}{9900}; \end{array} 2 , 12 ( 13 ) = 9900 21 213 − 212 = 9900 21 001 = 2 9900 1201 ; 0,3 ( 124 ) = 3124 − 3 9990 = 3121 9990 . 0{,}3(124) = \dfrac{3124 - 3}{9990} = \dfrac{3121}{9990}. 0 , 3 ( 124 ) = 9990 3124 − 3 = 9990 3121 .
Чаро қоида дуруст аст? Қоида аз як фикри оддӣ бармеояд: ба 10 10 10 100 100 100
Мисоли 1. Бигзор x = 0, ( 27 ) = 0,272727 … x = 0{,}(27) = 0{,}272727\ldots x = 0 , ( 27 ) = 0 , 272727 … x x x 100 100 100
100 x = 27,272727 … , x = 0,272727 … 100x = 27{,}272727\ldots,\qquad x = 0{,}272727\ldots 100 x = 27 , 272727 … , x = 0 , 272727 … Ду дунболаи рақамҳо баъди вергул айнан якхела аст. Тарҳ мекунем:
100 x − x = 27 , 99 x = 27 , x = 27 99 = 3 11 . 100x - x = 27,\qquad 99x = 27,\qquad x = \dfrac{27}{99} = \dfrac{3}{11}. 100 x − x = 27 , 99 x = 27 , x = 99 27 = 11 3 . Ин ҳамон 3 11 \dfrac{3}{11} 11 3
Мисоли 2. Бигзор x = 0,3 ( 6 ) = 0,36666 … x = 0{,}3(6) = 0{,}36666\ldots x = 0 , 3 ( 6 ) = 0 , 36666 … (3 3 3 давр — як рақам (6 6 6 Ба 10 10 10 100 100 100
10 x = 3,6666 … , 100 x = 36,6666 … 10x = 3{,}6666\ldots,\qquad 100x = 36{,}6666\ldots 10 x = 3 , 6666 … , 100 x = 36 , 6666 … Дунболаи баъди вергул якхела аст. Тарҳ мекунем:
100 x − 10 x = 36 − 3 , 90 x = 33 , x = 33 90 = 11 30 . 100x - 10x = 36 - 3,\qquad 90x = 33,\qquad x = \dfrac{33}{90} = \dfrac{11}{30}. 100 x − 10 x = 36 − 3 , 90 x = 33 , x = 90 33 = 30 11 . Рақамҳои 36 36 36 3 3 3 90 90 90 9 9 9 0 0 0
Ҳамин тариқ, ҳар як касри даврӣ ба адади бутун натуралӣ \dfrac{\text{бутун}}{\text{натуралӣ}} натуралӣ бутун ададҳои ратсионалӣ — ҳамон ададҳои касри даҳии даврӣ (ё охирнок) мебошанд.
Эзоҳ. Ҳангоми ба касри даҳӣ баргардонидани касри оддӣ, касри давраш 9 9 9 9 9 9 0 0 0 x = 0, ( 9 ) x = 0{,}(9) x = 0 , ( 9 ) 10 x − x = 9, ( 9 ) − 0, ( 9 ) = 9 , 10x - x = 9{,}(9) - 0{,}(9) = 9, 10 x − x = 9 , ( 9 ) − 0 , ( 9 ) = 9 , 9 x = 9 , 9x = 9, 9 x = 9 , x = 1 : x = 1: x = 1 :
0, ( 9 ) = 0,99 … = 1,000 … = 1 ; 15,2 ( 9 ) = 15,2999 … = 15,3000 … = 15,3. 0{,}(9) = 0{,}99\ldots = 1{,}000\ldots = 1;\qquad 15{,}2(9) = 15{,}2999\ldots = 15{,}3000\ldots = 15{,}3. 0 , ( 9 ) = 0 , 99 … = 1 , 000 … = 1 ; 15 , 2 ( 9 ) = 15 , 2999 … = 15 , 3000 … = 15 , 3. Қоидаро худатон санҷед ва қадам ба қадам иҷро кунед:
Аз касри даврӣ ба касри оддӣ санҷида бин! Аз нав
Муқоисаи ададҳои ратсионалӣ Ададҳои ратсионалиро муқоиса кардан осон аст, агар онҳоро ба намуди касри даҳӣ нависем: рақамҳоро аз чап ба рост якбаяк муқоиса мекунем. Аввалин рақаме, ки фарқ мекунад, ададро калонтар ё хурдтар мекунад. Барои ададҳои манфӣ ҳама чиз баръакс аст: ададе, ки бо қиммати мутлақ калонтар аст, хурдтар аст.
Мисоли 3. Ададҳои 8 9 \dfrac{8}{9} 9 8 9 10 \dfrac{9}{10} 10 9 8 9 = 0, ( 8 ) = 0,888 … , \dfrac{8}{9} = 0{,}(8) = 0{,}888\ldots, 9 8 = 0 , ( 8 ) = 0 , 888 … , 9 10 = 0,9. \dfrac{9}{10} = 0{,}9. 10 9 = 0 , 9. 8 < 9 , 8 < 9, 8 < 9 , 8 9 < 9 10 . \dfrac{8}{9} < \dfrac{9}{10}. 9 8 < 10 9 .
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф 1. Ададҳои ратсионалиро муқоиса кунед:
а) 0,012 0{,}012 0 , 012 0,013 ; 0{,}013; 0 , 013 ;
б) − 2,1 -2{,}1 − 2 , 1 2,1 ; 2{,}1; 2 , 1 ;
в) 8 9 \dfrac{8}{9} 9 8 9 10 ; \dfrac{9}{10}; 10 9 ;
г) − 2,42 -2{,}42 − 2 , 42 − 2,63. -2{,}63. − 2 , 63.
2. Ададҳоро муқоиса кунед:
а) − 1,173 -1{,}173 − 1 , 173 − 1 7 10 ; -1\dfrac{7}{10}; − 1 10 7 ;
б) 0,437 0{,}437 0 , 437 7 16 ; \dfrac{7}{16}; 16 7 ;
в) − 1,01 -1{,}01 − 1 , 01 − 1,011 ; -1{,}011; − 1 , 011 ;
г) 1 5 \dfrac{1}{5} 5 1 1 3 . \dfrac{1}{3}. 3 1 .
3. Касри даврӣро ба касри ратсионалӣ гардонед:
а) 2, ( 21 ) ; 2{,}(21); 2 , ( 21 ) ;
б) 3,1 ( 3 ) ; 3{,}1(3); 3 , 1 ( 3 ) ;
в) 2,00 ( 1 ) ; 2{,}00(1); 2 , 00 ( 1 ) ;
г) 0,134 ( 2 ) . 0{,}134(2). 0 , 134 ( 2 ) .
Дар хона 4. Чорто ададҳои дар байни ададҳои:
а) 4 4 4 4,02 ; 4{,}02; 4 , 02 ;
б) − 101 -101 − 101 100 ; 100; 100 ;
в) − 1 2 -\dfrac{1}{2} − 2 1 − 1 3 ; -\dfrac{1}{3}; − 3 1 ;
г) 0 0 0 0,01 0{,}01 0 , 01
Такрор
а) a x − b x a : ( a − b ) ; \dfrac{ax - bx}{a} : (a - b); a a x − b x : ( a − b ) ;
б) ( x − 2 x + 2 − x + 2 x − 2 ) : 8 x x 2 − 4 . \left(\dfrac{x - 2}{x + 2} - \dfrac{x + 2}{x - 2}\right) : \dfrac{8x}{x^2 - 4}. ( x + 2 x − 2 − x − 2 x + 2 ) :
6. Тақсимкунандаи умумии калонтарин (ТУК) ва каратии умумии хурдтарини (КУХ) ададҳои 102 102 102 30 30 30
7. Системаи муодилаҳоро ҳал кунед:
а) { x + y = 4 , x − y = 2 ; \begin{cases} x + y = 4, \\ x - y = 2; \end{cases} { x + y = 4 , x − y = 2 ;
б) { 1 2 x − 1 3 y = 1 , 3 x − 5 y = − 3. \begin{cases} \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{3}y = 1, \\ 3x - 5y = -3. \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ 2 1 x − 3
а) суммаи ду адади тоқ адади ҷуфт аст;
б) суммаи адади ҷуфт ва адади тоқ адади тоқ мебошад;
в) квадрати адади ҷуфт адади ҷуфт мебошад;
г) квадрати адади тоқ адади тоқ мебошад.
9. Нархи 3 4 \dfrac{3}{4} 4 3 5 1 4 5\dfrac{1}{4} 5 4 1 6,2 6{,}2 6 , 2
Вазифаи хонагӣ
Машқҳои 4–9 аз қисмҳои «Дар хона» ва «Такрор».
Вазифаи онлайн оид ба банди 11 дар саҳифаи «Супоришҳо» аст, агар омӯзгор онро супорида бошад.
Хулоса
Ҳар як касри даврӣ адади ратсионалӣ аст: адад то даври дуюм минус адад то даври якум, дар махраҷ 9 9 9 0 0 0
Исбот: 10 p + q x − 10 p x 10^{p+q} x - 10^p x 1 0 p + q x − 1 0 p x
0, ( 9 ) = 1 : 0{,}(9) = 1: 0 , ( 9 ) = 1 : 9 9 9 0 0 0 Ададҳои ратсионалӣ = касрҳои даҳии охирнок ё даврӣ.
Дар ин дарс
Ман медонам , ки ҳар як касри даҳии даврии беохир адади ратсионалӣ аст.Ман метавонам касри даврии додашударо ба касри оддӣ баргардонам ва инро бо тақсим санҷам.Ман метавонам ададҳои ратсионалиро муқоиса кунам ва ададҳои байни ду адади додашударо нависам. Такрор (2 дақиқа)
Касрҳоро ба даҳӣ табдил диҳед: 5 11 , \dfrac{5}{11}, 11 5 , 1 6 . \dfrac{1}{6}. 6 1 .
Дар 0,3 ( 6 ) 0{,}3(6) 0 , 3 ( 6 )
Ихтисор кунед: 330 900 . \dfrac{330}{900}. 900 330 .
Ҷавобҳо
0, ( 45 ) ; 0{,}(45); 0 , ( 45 ) ; 0,1 ( 6 ) . 0{,}1(6). 0 , 1 ( 6 ) . 3 , 3, 3 , 6. 6. 6. 11 30 . \dfrac{11}{30}. Қоида Барои касри даҳии даврии беохирро ба касри ратсионалӣ баргардонидан: аз адади то даври дуюм буда, адади то даври якум бударо тарҳ карда, дар сурат менависем. Дар махраҷ ҳамон миқдор, ки миқдори рақамҳои давр аст, 9 9 9
Калимаҳои калидӣ маҷмуи ададҳои натуралӣ бутун ратсионалӣ касри даврӣ давр пешдавр тааллуқ дорад
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам? Чаро тақсими сутунӣ ба касри давр меояд ва чаро касри даврӣ ратсионалӣ аст? Кадом қадами қоидаи баргардонидани касри даврӣ ба касри оддӣ барои шумо душвортар аст?
Худро арзёбӣ кунед (✓ ё ✗):
Ман метавонам фарқи N , \mathbb{N}, N , Z , \mathbb{Z}, Z , Q \mathbb{Q} Q ∈ , \in, ∈ ,
Адади 0, ( 9 ) 0{,}(9) 0 , ( 9 ) 1 1 1
Касри даврии 0,1 ( 3 ) 0{,}1(3) 0 , 1 ( 3 )
Як ҷавобро интихоб кунед A 2 15 \dfrac{2}{15} 15 2
B 13 99 \dfrac{13}{99} 99 13
C D Кадоме аз тасдиқотҳо дуруст аст?
Як ҷавобро интихоб кунед A 0, ( 37 ) < 0,37 0{,}(37) < 0{,}37 0 , ( 37 ) < 0 , 37
B муқоиса кардан мумкин нест C 0, ( 37 ) = 0,37 0{,}(37) = 0{,}37 0 , ( 37 ) = 0 , 37
D 0, ( 37 ) > 0,37 0{,}(37) > 0{,}37 0 , ( 37 ) > 0
x 2 − 4
8 x
.
1
y
=
1
,
3 x − 5 y = − 3.
30
11
.
∈ /
Ман метавонам тавзеҳ диҳам, ки чаро ҳар як адади ратсионалиро дар намуди касри даҳии даврии беохир ифода кардан мумкин аст.
Ман метавонам қоидаи ба касри ратсионалӣ баргардонидани касри даврии беохирро татбиқ кунам ва асоснок кунам.
Ман метавонам ададҳои ратсионалиро муқоиса кунам.
13 100 \dfrac{13}{100} 100 13
,
37
Бигзор x = a 1 … a p , ( b 1 … b q ) x = a_1 \ldots a_p,\!(b_1 \ldots b_q) x = a 1 … a p , ( b 1 … b q ) p p p A A A q q q B B B
10 p x 10^p x 1 0 p x 10 p x = A , ( B ) . 10^p x = A,\!(B). 1 0 p x = A , ( B ) . 10 p + q x 10^{p+q} x 1 0 p + q x 10 p + q x = A B ‾ , ( B ) . 10^{p+q} x = \overline{AB},\!(B). 1 0 p + q x = A B Қисмҳои баъди вергули ду баробарӣ якхелаанд, пас тарҳ мекунем: 10 p + q x − 10 p x = A B ‾ − A . 10^{p+q} x - 10^p x = \overline{AB} - A. 1 0 p + q x − 1 0 p x = A B − A .
Аз ин x = A B ‾ − A 10 p + q − 10 p = A B ‾ − A 10 p ⋅ ( 10 q − 1 ) . x = \dfrac{\overline{AB} - A}{10^{p+q} - 10^p} = \dfrac{\overline{AB} - A}{10^p \cdot (10^q - 1)}. x = 1 0 p + q − 1 0 p
,
(
B
)
.
A B − A
=
1 0 p ⋅ ( 1 0 q − 1 ) A B − A .