24 · 2/2. Формулаҳои зарби мухтасар ва ихтисори касрҳои дорои реша - Алгебра — синфи 8
Асосӣ Курсҳо Алгебра — синфи 8 2. Решаҳои квадратӣ
24 · 2/2. Формулаҳои зарби мухтасар ва ихтисори касрҳои дорои реша 1 соат
Ихтисори касрҳои дорои реша
Ба қоидаи асосӣ такя мекунем: a = ( a ) 2 a = (\sqrt{a})^2 a = ( a ) 2 a ≥ 0. a \ge 0. a ≥ 0.
навбатӣ Такрор ва санҷиш: боби 2 · 1/3. Хосиятҳои реша ва табдилдиҳии ифодаҳо 1 соат
Мисоли 1. Касри x 2 − 5 x − 5 \dfrac{x^2 - 5}{x - \sqrt{5}} x − 5 x 2 − 5
Азбаски 5 = ( 5 ) 2 , 5 = (\sqrt{5})^2, 5 = ( 5 ) 2 ,
x 2 − 5 x − 5 = x 2 − ( 5 ) 2 x − 5 = ( x − 5 ) ( x + 5 ) x − 5 = x + 5 . \dfrac{x^2 - 5}{x - \sqrt{5}} = \dfrac{x^2 - (\sqrt{5})^2}{x - \sqrt{5}} = \dfrac{(x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})}{x - \sqrt{5}} = x + \sqrt{5}. x − 5 x 2 − 5 = x − 5 x 2 − ( 5 x − 5 ( x − 5 x + 5 . Мисоли 2. Ба зарбкунандаҳо ҷудо мекунем (ҳангоми b ≥ 0 b \ge 0 b ≥ 0 b − 3 = ( b ) 2 − ( 3 ) 2 = ( b − 3 ) ( b + 3 ) . b - 3 = (\sqrt{b})^2 - (\sqrt{3})^2 = (\sqrt{b} - \sqrt{3})(\sqrt{b} + \sqrt{3}). b − 3 = ( b ) 2 − ( 3 ) 2 = ( b − 3 ) ( b + 3 ) .
7 − a 2 = ( 7 − a ) ( 7 + a ) ; x + 2 x = x ( x + 2 ) . 7 - a^2 = (\sqrt{7} - a)(\sqrt{7} + a); \qquad x + 2\sqrt{x} = \sqrt{x}(\sqrt{x} + 2). 7 − a 2 = ( 7 − a ) ( 7 + a ) ; x + 2 x = x ( x + 2 ) . Мисоли 3. Касри x − 2 x − 4 \dfrac{\sqrt{x} - 2}{x - 4} x − 4 x − 2 (x ≥ 0 , x \ge 0, x ≥ 0 , x ≠ 4 x \ne 4 x = 4 x − 4 = ( x ) 2 − 2 2 = ( x − 2 ) ( x + 2 ) . x - 4 = (\sqrt{x})^2 - 2^2 = (\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2). x − 4 = ( x ) 2 −
x − 2 x − 4 = x − 2 ( x − 2 ) ( x + 2 ) = 1 x + 2 . \dfrac{\sqrt{x} - 2}{x - 4} = \dfrac{\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} = \dfrac{1}{\sqrt{x} + 2}. x − 4 x − 2 = ( x − 2 ) ( x + x + 2 1 . Мисоли 4. Дар ифодаи омехта аввал дараҷаро кушоем: ( 5 + 3 ) 2 − 8 15 . \dfrac{(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 - 8}{\sqrt{15}}. 15 ( 5 + 3 ) 2 − 8 . 5 + 2 15 + 3 − 8 = 2 15 . 5 + 2\sqrt{15} + 3 - 8 = 2\sqrt{15}. 5 + 2 15 + 3 − 8 = 2 15 2 15 15 = 2 \dfrac{2\sqrt{15}}{\sqrt{15}} = 2 15 2 15
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф
а) 60 + ( 3 − 5 ) 2 ; \sqrt{60} + (\sqrt{3} - \sqrt{5})^2; 60 + ( 3 − 5 ) 2 ;
б) ( 14 − 3 2 ) 2 + 6 28 ; (\sqrt{14} - 3\sqrt{2})^2 + 6\sqrt{28}; ( 14 − 3 2
в) ( 3 + 1 ) 2 − 2 12 ; (\sqrt{3} + 1)^2 - 2\sqrt{12}; ( 3 + 1 ) 2 − 2 12
г) 108 + ( 2 3 − 1 ) 2 ; \sqrt{108} + (2\sqrt{3} - 1)^2; 108 + ( 2 3
д) ( 2 − 2 ) 2 − 8 ; (\sqrt{2} - 2)^2 - \sqrt{8}; ( 2 − 2 ) 2 − 8
е) 20 − ( 8 + 2 ) 2 . 20 - (\sqrt{8} + \sqrt{2})^2. 20 − ( 8 + 2
а) ( 2 − 3 ) 2 ( 3 + 2 ) 2 ; (2 - \sqrt{3})^2(\sqrt{3} + 2)^2; ( 2 − 3 ) 2 ( 3 + 2 ) 2 ;
б) ( 5 + 3 ) 2 ( 5 − 3 ) 2 ; (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2(\sqrt{5} - \sqrt{3})^2; ( 5 + 3
в) ( 5 + 17 ) 2 − ( 13 + 11 ) ( 11 − 13 ) ; (\sqrt{5} + \sqrt{17})^2 - (\sqrt{13} + \sqrt{11})(\sqrt{11} - \sqrt{13}); ( 5 + 17
г) ( 11 − 7 ) ( 7 + 11 ) − ( 13 + 3 ) 2 . (\sqrt{11} - \sqrt{7})(\sqrt{7} + \sqrt{11}) - (\sqrt{13} + \sqrt{3})^2. ( 11 − 7
а) ( a + 2 ) 2 ; (\sqrt{a} + \sqrt{2})^2; ( a + 2 ) 2 ;
б) ( 5 − x ) 2 ; (\sqrt{5} - \sqrt{x})^2; ( 5 − x
в) ( 2 + 18 ) 2 − 32 ; (\sqrt{2} + \sqrt{18})^2 - 32; ( 2 + 18
г) 50 + ( 5 − 2 ) 2 . \sqrt{50} + (5 - \sqrt{2})^2. 50 + ( 5 − 2
4. Формулаи фарқи квадратҳоро истифода карда, ба зарбкунандаҳо ҷудо кунед:
а) x 2 − 6 ; x^2 - 6; x 2 − 6 ;
б) 7 − a 2 ; 7 - a^2; 7 − a 2 ;
в) 4 x 2 − 3 ; 4x^2 - 3; 4 x 2 − 3 ;
г) 10 − 25 a ; 10 - 25a; 10 − 25 a ;
д) x − 2 , x - 2, x − 2 , x ≥ 0 ; x \ge 0; x ≥ 0 ;
е) a − b , a - b, a − b , a > 0 a > 0 a > 0 b > 0 b > 0 b > 0
5. Ифодаро ба зарбкунандаҳо ҷудо намоед:
а) 2 + 2 ; 2 + \sqrt{2}; 2 + 2 ;
б) 3 − 2 3 ; 3 - 2\sqrt{3}; 3 − 2 3 ;
в) x + x ; \sqrt{x} + x; x + x ;
г) a − 2 a ; \sqrt{a} - \sqrt{2a}; a − 2 a
д) 22 − 11 ; \sqrt{22} - \sqrt{11}; 22 − 11 ;
е) a − 3 a ; a - 3\sqrt{a}; a − 3 a ;
ж) 55 − 22 ; \sqrt{55} - \sqrt{22}; 55 − 22 ;
з) 2 m + 7 m . \sqrt{2m} + \sqrt{7m}. 2 m + 7 m
6. Касрро ихтисор намоед:
а) a 2 − 6 a − 6 ; \dfrac{a^2 - 6}{a - \sqrt{6}}; a − 6 a 2 − 6 ;
б) x − 4 x + 2 ; \dfrac{x - 4}{\sqrt{x} + 2}; x + 2 x − 4 ;
в) a + 2 2 − a 2 ; \dfrac{a + \sqrt{2}}{2 - a^2}; 2 − a 2 a + 2
г) 1 − x x − 1 ; \dfrac{1 - \sqrt{x}}{x - 1}; x − 1 1 − x ;
д) a − b b − a ; \dfrac{a - b}{\sqrt{b} - \sqrt{a}}; b − a
е) 3 x − 2 y 9 x − 4 y ; \dfrac{3\sqrt{x} - 2\sqrt{y}}{9x - 4y}; 9 x − 4 y 3 x − 2
ж) a − a a − 1 ; \dfrac{a - \sqrt{a}}{\sqrt{a} - 1}; a − 1 a − a
з) 8 − 8 8 − 1 ; \dfrac{\sqrt{8} - 8}{\sqrt{8} - 1}; 8 − 1 8
и) 2 + a 2 a + a . \dfrac{2 + \sqrt{a}}{2\sqrt{a} + a}. 2 a + a 2 + a
Дар хона
а) x 2 − 3 x + 3 ; \dfrac{x^2 - 3}{x + \sqrt{3}}; x + 3 x 2 − 3 ;
б) 2 − a 2 − a 2 ; \dfrac{\sqrt{2} - a}{2 - a^2}; 2 − a 2 2 − a
в) x − 3 9 − x ; \dfrac{\sqrt{x} - 3}{9 - x}; 9 − x x − 3 ;
г) 3 − 3 3 ; \dfrac{3 - \sqrt{3}}{\sqrt{3}}; 3 3 − 3
д) 56 + 14 14 ; \dfrac{\sqrt{56} + \sqrt{14}}{\sqrt{14}}; 14 56
е) 4 5 − 5 3 5 ; \dfrac{4\sqrt{5} - 5}{3\sqrt{5}}; 3 5 4 5
ж) 2 a − 2 b 3 a − 3 b ; \dfrac{\sqrt{2a} - \sqrt{2b}}{3\sqrt{a} - 3\sqrt{b}}; 3 a − 3 b
з) x + x x + 1 ; \dfrac{x + \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}; x + 1 x + x
и) a a + a a + a . \dfrac{a\sqrt{a} + a}{a + \sqrt{a}}. a + a a a
Такрор 8. Ифодаи 4 − x 2 3 x ⋅ 9 x x 2 + 4 x + 4 \dfrac{4 - x^2}{3x} \cdot \dfrac{9x}{x^2 + 4x + 4} 3 x 4 − x 2 ⋅ x 2 + 4 x + 4 9 x x = − 1,5 x = -1{,}5 x = − 1 , 5
9. Барои 5 5 5 4 4 4 50 50 50 25 % 25\% 25% 15 % 15\% 15% 6 6 6 5 5 5 48 48 48 25 25 25
а) 25 3 ⋅ 14 2 49 ⋅ 10 6 ; \dfrac{25^3 \cdot 14^2}{49 \cdot 10^6}; 49 ⋅ 1 0 6 2 5 3 ⋅ 1 4 2 ;
б) 36 3 ⋅ 15 2 18 4 ⋅ 10 3 . \dfrac{36^3 \cdot 15^2}{18^4 \cdot 10^3}. 1 8 4 ⋅ 1 0 3 3 6 3 ⋅ 1 5 2 .
11. Масъалаҳои зерини Муҳаммад ал-Хоразмиро (787–850) ҳал кунед:
а) Фарқи ду адад ба ду баробар аст. Нисбати дуюмаш бар якумаш бошад — ба адади ба 2 2 2
б) Ду ададро ёбед, агар маълум бошад, ки суммаи онҳо 10 10 10 4 4 4
а) − ( − x ) − ( − y ) ; -(-x) - (-y); − ( − x ) − ( − y ) ;
б) x − ( − ( − y ) ) . x - (-(-y)). x − ( − ( − y )) .
Вазифаи хонагӣ
Машқҳои 7–12 (бо «Такрор»).
Вазифаи онлайн оид ба мавзӯи 24 дар саҳифаи «Супоришҳо» аст, агар омӯзгор онро супорида бошад.
Хулоса
Решаҳоро ҷамъ ва тарҳ мекунанд, пас аз он ки зарбкунандаҳоро аз таҳти реша баровардаанд ва «решаҳои монанд» ҳосил шудаанд.
Ифодаҳои дорои реша бо қоидаи «ҳар узв ба ҳар узв» зарб мешаванд; формулаҳои зарби мухтасар ҳамон тавр кор мекунанд: ( a − b ) ( a + b ) = a − b . (\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = a - b. ( a − b ) ( a + b ) = a − b .
Азбаски a = ( a ) 2 , a = (\sqrt{a})^2, a = ( a ) 2 ,
Пеш аз ҳар амал ифодаро соддатар кунед ва шартҳои маъно доштанро ба хотир оред.
Дар ин дарс
Ман метавонам формулаҳои зарби мухтасарро дар ифодаҳои дорои реша татбиқ кунам.Ман метавонам ифодаро бо истифода аз a = ( a ) 2 a = (\sqrt{a})^2 a = ( a ) 2 Ман метавонам касрҳои дорои решаро ихтисор кунам. Такрор (2 дақиқа)
Ҳисоб кунед: ( 6 ) 2 , (\sqrt{6})^2, ( 6 ) 2 , ( x ) 2 (\sqrt{x})^2 ( x ) 2 x ≥ 0 x \ge 0 x ≥ 0
Ба зарбкунандаҳо ҷудо кунед: x 2 − 9. x^2 - 9. x 2 − 9.
Касри x 2 − 9 x − 3 \dfrac{x^2 - 9}{x - 3} x − 3 x 2 − 9
Ҷавобҳо
6 ; 6; 6 ; x . x. x . ( x − 3 ) ( x + 3 ) . (x - 3)(x + 3). ( x − 3 ) ( x + 3 ) . x + 3. x + 3. x + 3. Вазъият барои андешаронӣ Касри x 2 − 5 x − 5 \dfrac{x^2 - 5}{x - \sqrt{5}} x − 5 x 2 − 5 x 2 − 5 x^2 - 5 x 2 − 5 x − 5 . x - \sqrt{5}. x − 5 . 5 = ( 5 ) 2 . 5 = (\sqrt{5})^2. 5 = ( 5 ) 2 .
Дар хотир доред Ихтисор — зарб кардан ва ихтисор кардани зарбкунандаҳои умумӣ. Пеш аз ихтисор суратро ва махраҷро ба зарбкунандаҳо ҷудо кунед: фарқи квадратҳо (a 2 − b 2 a^2 - b^2 a 2 − b 2 ≥ 0 \ge 0 ≥ 0
Калимаҳои калидӣ решаҳои монанд ҷудо кардан ба зарбкунандаҳо ихтисори каср фарқи квадратҳо ифодаи ирратсионалӣ
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам? Кадом табдилдиҳиҳои ифодаҳои ирратсионалиро медонед? Дар ихтисори касри x 2 − 5 x − 5 \dfrac{x^2 - 5}{x - \sqrt{5}} x − 5
( 2 + 3 ) 2 = 5. (\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 = 5. ( 2 + 3
Касри a − 5 a − 5 \dfrac{a - 5}{\sqrt{a} - \sqrt{5}} a − 5
Як ҷавобро интихоб кунед A B C D
Қадамҳои ихтисори a − 7 a + 7 \dfrac{a - 7}{\sqrt{a} + \sqrt{7}} a + 7
Унсурҳоро бо тартиби дуруст ҷойгир кунед 1
2
3
4
Ифодаи 7 − a 2 7 - a^2 7 − a 2
Як ҷавобро интихоб кунед A ( 7 + a ) 2 (\sqrt{7} + a)^2 ( 7 +
B C D
) 2
=
)
(
x
+
)
=
2 2 =
2 ) .
2
)
=
.
=
2
) 2
+
;
−
1 ) 2 ;
;
) 2
.
) 2
(
−
) 2
−
)
(
+
) 2
;
) 2
−
32 ;
) 2
.
;
.
;
a − b
;
y
;
;
−
8
;
.
;
;
+
;
−
5
;
;
;
+
a
.
≠ 0. \ne 0. = 0.
x 2 − 5
Худро арзёбӣ кунед (✓ ё ✗):
Ман метавонам решаҳоро ҷамъ, тарҳ ва зарб кунам.
Ман метавонам ифодаро бо истифода аз формулаи фарқи квадратҳо ба зарбкунандаҳо ҷудо кунам.
Ман метавонам касрҳои дорои решаро ихтисор кунам.
)
(
−
)
.
) 2
=
5.
a − 5
a + 5 \sqrt{a} + \sqrt{5} a + 5
a − 5 \sqrt{a} - \sqrt{5} a − 5
a + 5 2 \dfrac{\sqrt{a} + \sqrt{5}}{2} 2 a + 5
a − 7
Ҷавоб: a − 7 . \sqrt{a} - \sqrt{7}. a − 7 .
Сурат ва махраҷро ба a + 7 \sqrt{a} + \sqrt{7} a + 7
Фарқи квадратҳоро ба зарбкунандаҳо ҷудо мекунем: ( a − 7 ) ( a + 7 ) . (\sqrt{a} - \sqrt{7})(\sqrt{a} + \sqrt{7}). ( a − 7 ) ( a + 7 ) .
Суратро ба намуди ( a ) 2 − ( 7 ) 2 (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{7})^2 ( a ) 2 − ( 7 ) 2
a
) 2
( 7 − a ) ( 7 + a ) (\sqrt{7} - a)(\sqrt{7} + a) ( 7 − a ) ( 7 + a )
( 7 − a ) ( 7 + a ) (7 - a)(7 + a) ( 7 − a ) ( 7 + a )
( 7 − a ) 2 (\sqrt{7} - a)^2 ( 7 − a ) 2