12. Адади ирратсионалӣ. Ададҳои ҳақиқӣ - Алгебра — синфи 8
Диагонали квадрат
Дар банди пешина нишон додем, ки ҳар гуна адади ратсионалиро дар шакли касри даврии беохир навиштан мумкин аст ва баръакс, ҳар гуна касри даврии беохир адади ратсионалӣ мебошад. Пурсида мешавад, ки оё бо ҳамин, яъне бо ададҳои ратсионалӣ, тамоми ададҳои мавҷуда ба итмом мерасанд? Нишон медиҳем, ки вазъ ин тавр нест. Бо ибораи дигар, ададе вуҷуд дорад, ки вай ратсионалӣ намебошад. Ин ададро мушаххас нишон медиҳем.
Бигзор A C AC A C A B C D ABCD A BC D A C AC A C A C E F ACEF A CEF 2 2 2
навбатӣ 13. Мафҳуми решаи квадратӣ 1 соат
D
4 ⋅ 1 2 = 2. 4 \cdot \dfrac{1}{2} = 2. 4 ⋅ 2 1 = 2. Азбаски масоҳати квадрат ба квадрати тарафаш баробар аст, пас дарозии диагонали A C = d AC = d A C = d 2 2 2 d 2 = 2. d^2 = 2. d 2 = 2.
Барои исбот ба мо як факти ёридиҳанда лозим аст.
Исботи лемма. Баръаксашро фарз мекунем: m 2 m^2 m 2 m m m k k k m = 2 k + 1. m = 2k + 1. m = 2 k + 1.
m 2 = ( 2 k + 1 ) 2 = 4 k 2 + 4 k + 1. m^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1. m 2 = ( 2 k + 1 ) 2 = 4 k 2 + 4 k + 1. Ададҳои 4 k 2 4k^2 4 k 2 4 k 4k 4 k m 2 m^2 m 2 m 2 m^2 m 2 m 2 m^2 m 2 m m m □ \square □
Исботи теорема. Баръаксашро фарз мекунем, яъне A C = d AC = d A C = d
d = m n , d = \dfrac{m}{n}, d = n m , ки дар ин ҷо m m m n n n
Ададҳои ирратсионалӣ ва ҳақиқӣ Аз теоремаи исботшуда ва аз банди 11 бармеояд, ки дарозии диагонали квадрати воҳидӣ касри даҳии даврӣ нест. Вай касри даҳии беохири мусбати ғайридаврӣ мебошад. Агар ба чунин касрҳо, касрҳои ба онҳо муқобилро ҳамроҳ намоем, маҷмуеро ҳосил мекунем, ки он маҷмуи ададҳои ирратсионалӣ ном дорад (префикси «ир» маънои инкорро дорад). Ин маҷмуъ бо ҳарфи I \mathbb{I} I irratio ) ишорат мешавад. Ҳамин тариқ, ҳар гуна адади ба I \mathbb{I} I
Мо аллакай якто адади ирратсионалиро медонем (дарозии диагонали квадрати воҳидӣ). Боз мисолҳои ададҳои ирратсионалиро меорем:
2,010010001 … 2{,}010010001\ldots 2 , 010010001 … − 4,030033000333 … -4{,}030033000333\ldots − 4 , 030033000333 … 5,12112111211112 … 5{,}12112111211112\ldots 5 , 12112111211112 … адади π \pi π π = 3,1415926535 … \pi = 3{,}1415926535\ldots π = 3 , 1415926535 …
Акнун маҷмуеро муоина менамоем, ки ҳар як адади он ратсионалӣ ё ирратсионалӣ аст. Ин маҷмуъро маҷмуи ададҳои ҳақиқӣ меноманд ва бо R \mathbb{R} R real ) ишорат мекунанд. Маҷмуи R \mathbb{R} R R \mathbb{R} R R \mathbb{R} R
Муқоисаи ададҳои ҳақиқӣ. Қоидаи муқоисаи ададҳои ҳақиқӣ бо қоидаи муқоисаи касрҳои даҳии охирнок якхела аст: рақамҳоро аз чап ба рост якбаяк муқоиса мекунем. Барои мисол ададҳои 2,5653216 … 2{,}5653216\ldots 2 , 5653216 … 2,541132 … 2{,}541132\ldots 2 , 541132 …
2,5653216 … > 2,541132 … 2{,}5653216\ldots > 2{,}541132\ldots 2 , 5653216 … > 2 , 541132 … Ададҳои ҳақиқиро ҷамъ, тарҳ, зарб ва тақсим (ҳангоми сифр набудани тақсимкунанда) кардан мумкин аст. Хосиятҳои амалҳо бо ададҳои ҳақиқӣ бо хосиятҳои амалҳо бо ададҳои ратсионалӣ якхелаанд. Саҳеҳии натиҷаи амалҳо ба саҳеҳие, ки бо он қиматҳои тақрибии ададҳо дода мешаванд, вобаста аст.
Мисоли 1. Суммаи ададҳои a = 1 6 a = \dfrac{1}{6} a = 6 1 b = 2,2121 … b = 2{,}2121\ldots b = 2 , 2121 … 0,1 0{,}1 0 , 1 a + b ≈ 0,2 + 2,2 = 2,4 a + b \approx 0{,}2 + 2{,}2 = 2{,}4 a + b ≈ 0 , 2 + 2 , 2 = 2 , 4 1 6 = 0,1 ( 6 ) ≈ 0,2 \dfrac{1}{6} = 0{,}1(6) \approx 0{,}2 6 1 = 0 , 1 ( 6 ) ≈ 0 , 2 2,2121 … ≈ 2,2 2{,}2121\ldots \approx 2{,}2 2 , 2121 … ≈ 2 , 2 0,01 0{,}01 0 , 01 a ≈ 0,17 a \approx 0{,}17 a ≈ 0 , 17 b ≈ 2,21 b \approx 2{,}21 b ≈ 2 , 21 a + b ≈ 0,17 + 2,21 = 2,38. a + b \approx 0{,}17 + 2{,}21 = 2{,}38. a + b ≈ 0 , 17 + 2 , 21 = 2 , 38.
Мисоли 2. Радиуси давраеро, ки дарозиаш тақрибан 47,1 47{,}1 47 , 1 l l l l = 2 π r l = 2\pi r l = 2 π r π ≈ 3,14 \pi \approx 3{,}14 π ≈ 3 , 14 47,1 = 2 ⋅ 3,14 ⋅ r 47{,}1 = 2 \cdot 3{,}14 \cdot r 47 , 1 = 2 ⋅ 3 , 14 ⋅ r
r = 47,1 2 ⋅ 3,14 = 47,1 6,28 ≈ 7,5 см . r = \dfrac{47{,}1}{2 \cdot 3{,}14} = \dfrac{47{,}1}{6{,}28} \approx 7{,}5 \text{ см}. r = 2 ⋅ 3 , 14 47 , 1 = 6 , 28 47 , 1 ≈ 7 , 5 см . Хотирнишон мекунем, ки дар ин ҷо адади π \pi π
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф 1. Оё тасдиқоти зерин дуруст аст:
а) ҳар як адади ратсионалӣ адади ҳақиқӣ аст;
б) ҳар як адади ҳақиқӣ адади ирратсионалӣ мебошад;
в) ҳар як адади ҳақиқӣ адади ратсионалӣ ё ирратсионалӣ аст?
2. Аз байни ададҳои 2 3 ; \dfrac{2}{3}; 3 2 ; 0 ; 0; 0 ; 0,32 ; 0{,}32; 0 , 32 ; − 4, ( 21 ) ; -4{,}(21); − 4 , ( 21 ) ; 2,23223222322223 … 2{,}23223222322223\ldots 2 , 23223222322223 … 1, ( 4 ) ; 1{,}(4); 1 , ( 4 ) ; π ; \pi; π ; 16 16 16
а) 263 ∈ N ; 263 \in \mathbb{N}; 263 ∈ N ; 263 ∈ Z ; 263 \in \mathbb{Z}; 263 ∈ Z ; 263 ∈ Q ; 263 \in \mathbb{Q}; 263 ∈ Q ; 263 ∈ R ; 263 \in \mathbb{R}; 263 ∈ R ;
б) − 4 ∈ N ; -4 \in \mathbb{N}; − 4 ∈ N ; − 4 ∈ Z ; -4 \in \mathbb{Z}; − 4 ∈ Z ; − 4 ∈ Q ; -4 \in \mathbb{Q}; − 4 ∈ Q ; − 4 ∈ R ; -4 \in \mathbb{R}; − 4 ∈
в) 2,6 ( 3 ) ∈ N ; 2{,}6(3) \in \mathbb{N}; 2 , 6 ( 3 ) ∈ N ; 2,6 ( 3 ) ∈ Z ; 2{,}6(3) \in \mathbb{Z}; 2 , 6 ( 3 ) ∈ Z ; 2,6 ( 3 ) ∈ Q ; 2{,}6(3) \in \mathbb{Q}; 2 , 6 ( 3 ) ∈ Q ;
г) π ∈ N ; \pi \in \mathbb{N}; π ∈ N ; π ∈ Z ; \pi \in \mathbb{Z}; π ∈ Z ; π ∈ Q ; \pi \in \mathbb{Q}; π ∈ Q ; π ∈ R ? \pi \in \mathbb{R}? π ∈
4. Ададҳоро муқоиса кунед:
а) 3,4321 3{,}4321 3 , 4321 3,4412 ; 3{,}4412; 3 , 4412 ;
б) − 42,101 -42{,}101 − 42 , 101 − 42,011 ; -42{,}011; − 42 , 011 ;
в) 0,014 0{,}014 0 , 014 0,016 ; 0{,}016; 0 , 016 ;
г) − 1,333 -1{,}333 − 1 , 333 − 1,321. -1{,}321. − 1 , 321.
а) 2, ( 12 ) 2{,}(12) 2 , ( 12 ) 2,12 ; 2{,}12; 2 , 12 ;
б) 4 3 8 4\dfrac{3}{8} 4 8 3 4, ( 375 ) ; 4{,}(375); 4 , ( 375 ) ;
в) 2 3 \dfrac{2}{3} 3 2 0,668 ; 0{,}668; 0 , 668 ;
г) π \pi π 3, ( 14 ) ? 3{,}(14)? 3 , ( 14 )?
6. Ададҳои 2,15 ; 2{,}15; 2 , 15 ; 1, ( 4 ) ; 1{,}(4); 1 , ( 4 ) ; − 2,62 … ; -2{,}62\ldots; − 2 , 62 … ; − 2,63 … -2{,}63\ldots − 2 , 63 …
7. a = 1,0734 … a = 1{,}0734\ldots a = 1 , 0734 … b = 2,0859 … b = 2{,}0859\ldots b = 2 , 0859 … a + b a + b a + b a − b a - b a − b
8. Қимати тақрибии дарозии давраи радиусаш ба 5 5 5 π \pi π
Дар хона 9. Ададҳои 1,275 … ; 1{,}275\ldots; 1 , 275 … ; 1,064 ; 1{,}064; 1 , 064 ; 5 ; 5; 5 ; 1,0021 … ; 1{,}0021\ldots; 1 , 0021 … ; 0, ( 37 ) ; 0{,}(37); 0 , ( 37 ) ; − 1,1 ( 12 ) -1{,}1(12) − 1 , 1 ( 12 )
10. Қимати тақрибии масоҳати доираи радиусаш 4,5 4{,}5 4 , 5 π \pi π
Такрор ( 2 x + y − 1 x − y − x x 2 − y 2 ) : 3 y x − y . \left(\dfrac{2}{x + y} - \dfrac{1}{x - y} - \dfrac{x}{x^2 - y^2}\right) : \dfrac{3y}{x - y}. ( x + y 2 − x − y 1 − x 2 − y 2 x ) : x − y 3 y . 12. x x x ∣ x ∣ = 2 ; |x| = 2; ∣ x ∣ = 2 ; ∣ x ∣ = 1,5 ; |x| = 1{,}5; ∣ x ∣ = 1 , 5 ; ∣ x ∣ = − 1 ; |x| = -1; ∣ x ∣ = − 1 ; ∣ x ∣ = 0 |x| = 0 ∣ x ∣ = 0
13. Муодиларо ҳал намоед: ( x + 2 ) 2 − 5 ( x − 4 ) = ( x − 6 ) ( x + 6 ) . (x + 2)^2 - 5(x - 4) = (x - 6)(x + 6). ( x + 2 ) 2 − 5 ( x − 4 ) = ( x − 6 ) ( x + 6 ) .
★ Барои ҳавасмандон 14. Ададро ба касри ратсионалӣ гардонед: а) 1, ( 1 ) ; 1{,}(1); 1 , ( 1 ) ; − 2, ( 01 ) ; -2{,}(01); − 2 , ( 01 ) ; 1,1 ( 12 ) ; 1{,}1(12); 1 , 1 ( 12 ) ; 2,13 ( 4 ) . 2{,}13(4). 2 , 13 ( 4 ) .
15. Исбот кунед, ки агар квадрати адади бутун ба 3 3 3 3 3 3
Вазифаи хонагӣ
Машқҳои 9–13 аз қисмҳои «Дар хона» ва «Такрор».
Вазифаи онлайн оид ба банди 12 дар саҳифаи «Супоришҳо» аст, агар омӯзгор онро супорида бошад.
Хулоса
Диагонали квадрати воҳидӣ d d d d 2 = 2 ; d^2 = 2; d 2 = 2 ; d = m n d = \dfrac{m}{n} d = n m m m m n n n
Адади ирратсионалӣ — касри даҳии беохири ғайридаврӣ; I \mathbb{I} I
Ададҳои ратсионалӣ ва ирратсионалӣ якҷоя маҷмуи ададҳои ҳақиқӣ R \mathbb{R} R N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R . \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}. N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R .
Ададҳои ҳақиқиро рақам ба рақам муқоиса мекунанд; дар ҳисоби тақрибӣ саҳеҳӣ муҳим аст.
Дар ин дарс
Ман медонам , ки диагонали квадрати воҳидӣ адади ратсионалӣ нест ва исботи онро аз «баръаксашро фарз мекунем» фаҳмида метавонам.Ман медонам , ки адади ирратсионалӣ касри даҳии беохири ғайридаврӣ аст ва маҷмуи ададҳои ҳақиқиро R \mathbb{R} R Ман метавонам ададҳои ҳақиқиро муқоиса кунам ва ҳисоби тақрибиро иҷро намоям. Такрор (2 дақиқа)
Касри 4 11 \dfrac{4}{11} 11 4
Оё 0, ( 9 ) 0{,}(9) 0 , ( 9 ) 1 1 1
Адади ҷуфт чӣ гуна нишон дода мешавад? Адади тоқ-чӣ?
Ҷавобҳо
0, ( 36 ) . 0{,}(36). 0 , ( 36 ) . 0, ( 9 ) = 1. 0{,}(9) = 1. 0 , ( 9 ) = 1. 2 k , 2k, 2 k , 2 k + 1 , 2k + 1, 2 k + 1 , k k k Вазъият барои андешаронӣ Мо дидем, ки ҳар як адади ратсионалӣ касри даврӣ аст ва ҳар касри даврӣ ратсионалӣ аст. Оё бо ададҳои ратсионалӣ тамоми ададҳои мавҷуда ба итмом мерасанд? Агар квадрат масоҳаташ 2 2 2
Расми 1. Квадрати воҳидии ABCD ва квадрати ACEF, ки тарафаш диагонали AC аст. Теорема Бузургии диагонали квадрати воҳидӣ адади ратсионалӣ нест.
Лемма Агар квадрати адади бутуни m m m m m m
Азбаски d 2 = 2 , d^2 = 2, d 2 = 2 , m 2 n 2 = 2 , \dfrac{m^2}{n^2} = 2, n 2 m
Расми 2. Ададҳои ҳақиқӣ: ратсионалӣ (дарун) ва ирратсионалӣ (берун). Калимаҳои калидӣ адади ирратсионалӣ адади ҳақиқӣ исбот бо роҳи зиддият лемма муқоисаи ададҳои ҳақиқӣ яклухт кардан
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам? Чаро фарз кардани d = m n d = \dfrac{m}{n} d = n m
Худро арзёбӣ кунед (✓ ё ✗):
Ман медонам, ки диагонали квадрати воҳидӣ ратсионалӣ нест ва исботи онро ҳикоя карда метавонам.
Ман метавонам адади ирратсионалиро аз ратсионалӣ фарқ кунам: касри даҳии беохири ғайридаврӣ ё даврӣ.
Ман метавонам ададҳои ҳақиқиро муқоиса кунам ва мисолҳои ададҳои ирратсионалӣ оварам.
Ман медонам, ки маҷмуи R \mathbb{R}
Суммаи ду адади ирратсионалӣ ҳамеша адади ирратсионалӣ аст.
Кадом ададҳо ирратсионалианд? (Ҳамаи дурустҳоро интихоб кунед.)
Ҳамаи мувофиқро интихоб кунед A π \pi π
B 2,010010001 … 2{,}010010001\ldots 2 , 010010001 …
C − 7 -7 − 7
D 0, ( 3 ) 0{,}(3) 0 , ( 3 )
E 0,25 0{,}25 0 , 25
Ададҳои 1, ( 41 ) 1{,}(41) 1 , ( 41 ) 1,4142 … 1{,}4142\ldots 1 , 4142 …
Як ҷавобро интихоб кунед A муқоиса кардан мумкин нест B 1, ( 41 ) > 1,4142 … 1{,}(41) > 1{,}4142\ldots 1 , ( 41 ) > 1 , 4142 …
C 1, ( 41 ) = 1,4142 … 1{,}(41) = 1{,}4142\ldots 1 ,
D Қадамҳои исботи ирратсионалӣ будани диагонали квадрати воҳидиро (d 2 = 2 d^2 = 2 d 2 = 2 ба тартиби дуруст гузоред.
Унсурҳоро бо тартиби дуруст ҷойгир кунед 1 Фарз мекунем, ки d = m n d = \dfrac{m}{n} d = n m m n \dfrac{m}{n}
2
3
4
5
R ;
2,6 ( 3 ) ∈ R ; 2{,}6(3) \in \mathbb{R}; 2 , 6 ( 3 ) ∈ R ;
R
?
2
=
2 ,
m 2 = 2 n 2 . m^2 = 2n^2. m 2 = 2 n 2 . Адади 2 n 2 2n^2 2 n 2 2 2 2 m 2 m^2 m 2 Аз ҷуфт будани m 2 m^2 m 2 m m m m = 2 k m = 2k m = 2 k k k k Ба баробарии m 2 = 2 n 2 m^2 = 2n^2 m 2 = 2 n 2 m m m 2 k 2k 2 k ( 2 k ) 2 = 2 n 2 , (2k)^2 = 2n^2, ( 2 k ) 2 = 2 n 2 , 4 k 2 = 2 n 2 . 4k^2 = 2n^2. 4 k 2 = 2 n 2 . 2 2 2 n 2 = 2 k 2 . n^2 = 2k^2. n 2 = 2 k 2 . Адади 2 k 2 2k^2 2 k 2 2 2 2 n 2 n^2 n 2 n n n Ҳамин тариқ, ҳам m m m n n n m n \dfrac{m}{n} n m 2 2 2 Ин зиддият нодурустии фарзи пешниҳодкардаамонро нишон медиҳад. Пас, диагонали квадрати воҳидӣ ратсионалӣ нест. □ \square □ R
(
41
)
=
1 , 4142 …
1, ( 41 ) < 1,4142 … 1{,}(41) < 1{,}4142\ldots 1 , ( 41 ) < 1 , 4142 …
n m
Аз n 2 = 2 k 2 n^2 = 2k^2 n 2 = 2 k 2 n 2 n^2 n 2 n n n
Аз d 2 = 2 d^2 = 2 d 2 = 2 m 2 = 2 n 2 m^2 = 2n^2 m 2 = 2 n 2 m 2 m^2 m 2 m m m
Менависем m = 2 k m = 2k m = 2 k 4 k 2 = 2 n 2 , 4k^2 = 2n^2, 4 k 2 = 2 n 2 , n 2 = 2 k 2 n^2 = 2k^2 n 2 = 2 k 2
Ҳам m m m n n n
