Такрор ва санҷиш: прогрессияи геометрӣ · 2/4. Прогрессияи беохир ва масъалаҳои омехта - Алгебра — синфи 93. Прогрессияҳо
Такрор ва санҷиш: прогрессияи геометрӣ · 2/4. Прогрессияи беохир ва масъалаҳои омехта
1 соат
- Назария
- Дарси 22 аз 24
- Хониш: 7 дақиқа
- Саволҳо: 5
Қоидаҳои мавзӯи 28 ва хосиятҳои иловагӣ
| Мавзӯъ | Дар хотир доред |
|---|
| Прогрессияи беохири камшаванда | ∣q∣<1; суммаи беохир S=1− барои сумма нест |
навбатӣТакрор ва санҷиш: прогрессияи геометрӣ · 3/4. Кори санҷишӣ
1 соат
q
b1
;
∣q∣≥1 | Касри даврӣ | 0,(df)=99df; умуман: (адад то охири давр) − (адад то давр) аз рӯи нӯҳҳо ва нулҳо |
| Прогрессияи арифметикӣ | 2ak=ak−m+ak+m; ak+al=ar+a ҳангоми k+l=r+s |
| Прогрессияи геометрӣ | bk2=bk−mbk+m; bkbl=brbs ҳангоми k+l=r+s |
| Масъалаи омехта | ҳар прогрессияро ба воситаи a1, d, b1, q менависем, система тартиб медиҳем, ҳалҳоро санҷем |
Мисолҳои ҳалшуда
Мисоли 1. Суммаи прогрессияи геометрии беохири камшаванда ба 12 ва аъзои дуюмаш ба 3 баробар аст. Меёбем b1 ва q.
Аз S=1−qb1=12 ҳосил мешавад b1=12(1−q), ва b1q=3. Пас 12q(1−q)=3, 4q2−4q+1=0, (2q−1)2=0, q=21, b1=6. Санҷиш: 6+3+1,5+…=1−21
Мисоли 2. 0,4(5)-ро ба касри одӣ гардонем. Давр — 5 (як рақам), пеш аз давр — рақами 4. Сурат: 45−4=41, маҳраҷ: 90. Пас 0,4(5)=9041.
Мисоли 3. Дар прогрессияи арифметикӣ a5=6 ва a9=14. Меёбем a7 ва a6+a8. Рақами 7 — миёнаи 5 ва 9, пас a7=26+14=10. Азбаски 6+8=7+7, ҳосил мекунем a6+a8=2a7=20.
Кор дар синф
Машқҳо
Машқҳо аз рӯйи мавзӯъ гурӯҳбандӣ шудаанд. Пешниҳод барои синф: 1, 4, 5, 7, 10; барои хона: 2, 3, 6, 8, 9; ★ — 11★.
Прогрессияи беохири камшаванда ва касри даврӣ
1. Дар прогрессияи геометрии беохири камшаванда b2=21 ва S=84. b4-ро ёбед.
2. Аъзои сеюми прогрессияи геометрии беохирро ёбед, агар аъзои дуюмаш ба 72 ва суммаш ба 384 баробар бошад.
3. Касрҳои даврии беохири зеринро дар шакли касри одӣ нависед:
- а) 0,58(3);
- б) 3,2(54);
- в) 1,3(32);
- г) 0,(7);
- ғ) 12,08(3);
- д) 0,2(31).
4. Дар дохили секунҷаи баробартараф бо тарафи a секунҷаи нав кашида шудааст, ки қуллаҳояш дар миёнаҷойи тарафҳои секунҷаи аввала ҷой доранд. Бо ҳамин тарз дар дохили секунҷаи дуюм секунҷаи баробартарафи дигар ҷойгир аст ва ҳоказо. Исбот кунед, ки пайдарпайии масоҳатҳои секунҷаҳо прогрессияи геометриро ташкил медиҳад. Суммаи онро ёбед.
5. Суммаи шаш аъзои аввалаи прогрессияи геометриро ёбед, агар аъзои шашумаш ба 2048 ва маҳраҷаш ба 4 баробар бошад.
6. Суммаи даҳ аъзои аввалаи прогрессияи геометрии 2; 8; 32; 128; …-ро ёбед.
7. Суммаи шаш аъзои аввалаи прогрессияи геометриро ёбед, агар b1=4 ва q=21 бошад.
8. Дар прогрессияи геометрии аъзояш мусбат b1=2 ва b2+b3=1,5. S4-ро ёбед.
Масъалаҳои омехта
9. Чор адади мусбат прогрессияи геометриро ташкил медиҳанд. Ҳосили зарби ададҳои якум ва чорум ба решаи калони муодилаи x2−10000=0 ва суммаи квадратҳои ададҳои дуюму сеюм ба 250 баробар аст. Ин ададҳоро ёбед.
10. Чор адади прогрессияи геометрӣ ташкилкунандаро ёбед, ки дар он суммаи аъзоҳои канорӣ ба 27 ва ҳосили зарби аъзои мобайнӣ ба 72 баробар бошад.
11★. Прогрессияи геометриеро бо маҳраҷи манфӣ ёбед, ки аъзои сеюмаш ба −1, суммаи се аъзои аввалааш ба −73 баробар ва b1, b2, b4, b5 вобастагии b4+b5=b1-ро қаноат намоянд.
Вазифаи хонагӣ
Хулоса
- Ҳангоми ∣q∣<1: S=1−qb1; ҳангоми ∣q∣≥1 суммаи беохир нест.
- Касри даврии даҳӣ ба каср мегардад: сурат — (то охири давр) − (то давр), маҳраҷ — нӯҳҳо ва нулҳо.
- Хосиятҳои аъзоҳои баробардур дар AP ва GP; масъалаи омехта — системаи муодилаҳо.
Дар ин дарс
- Ман метавонам суммаи прогрессияи беохири камшавандаро ёбам ва касри даврӣро ба касри одӣ гардонам.
- Ман метавонам хосиятҳои аъзоҳои баробардурро ва масъалаҳои омехтаро бо ду прогрессия истифода барам.
- Ман медонам, ки прогрессияҳо чӣ тавр дар таърих пайдо шудаанд.
Такрор (2 дақиқа)
- Формулаи S=1−qb1 барои кадом q дуруст аст?
- 0,(5)-ро ба касри одӣ гардонед.
- Хосияти аъзои миёнаи прогрессияи арифметикиро нависед.
Ҷавобҳо
- Барои ∣q∣<1. 2) 95. 3) 2a
Оё медонед?
- Прогрессияҳо хеле қадим маълуманд: дар сабтҳои тақрибан 2000 сол пеш аз милод (папируси мисрии Аҳмес, лавҳаҳои бобулӣ) масъалаҳо оид ба онҳо вомехӯранд; дар папирус суммаи 1+2+…+29=1023 ёфта шудааст.
Калимаҳои калидӣпрогрессияи беохири камшавандакасри даврӣмиёнаи арифметикӣмиёнаи геометрӣмасъалаи омехта
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам?Чаро барои ∣q∣≥1 суммаи беохир нест? Кадом хосият дар масъалаҳои омехта аз ҳама кумак кард?
Худро арзёбӣ кунед (✓ ё ✗):
- Ман суммаи беохирро ёфта метавонам.
- Ман касри даврии даҳиро ба каср мегардонам.
- Ман масъалаҳои омехтаро бо система ҳал карда метавонам.
Формулаи S=1−qb1 барои суммаи беохир кай дуруст аст?
Як ҷавобро интихоб кунед s
6
=
12.
1
+
b21
k
=
ak−m+
ak+m.
Қиссаи ҳиндии ихтироъкори шоҳмот, ки барои 64 хона 1, 2, 4, 8, … дона гандум пурсид, ба 264−1=18446744073709551615 меорад; ин масъаларо Абурайҳони Берунӣ низ дар корҳояш овардааст. Юнониёни қадим (асри V пеш аз милод) суммаи 1+2+…+n=2n(n+1)-ро медонистанд. Архимед суммаи 12+22+…+n2=6n(n+1)(2n-ро ҳосил кард ва аз прогрессияи беохири геометрӣ истифода бурд. Истилоҳи «прогрессия»-ро Боэтсий (асри VI) ба илм ворид кард. Ариабхатта (асри V, Ҳинд) формулаҳои прогрессияи арифметикиро медонист; Леонардо Пизанӣ (Фибоначчӣ, соли 1202) қоидаи суммаи онро овард; суммаи прогрессияи беохири камшавандаро Н. Шюке (соли 1484) ва П. Ферма (1601–1665) истифода бурданд. 7
ҳангоми ∣q∣<1
+
1
)