Прогрессияҳо · 1/2. Хосиятҳои дигари прогрессияҳо - Алгебра — синфи 93. Прогрессияҳо
Прогрессияҳо · 1/2. Хосиятҳои дигари прогрессияҳо
1 соат
- Назария
- Дарси 19 аз 24
- Хониш: 10 дақиқа
- Саволҳо: 5
Бигзор (an) — прогрессияи арифметикӣ бо фарқи d ва (bn) — прогрессияи геометрӣ бо маҳраҷи q. Чанд хосияти навро мебинем.
I. Прогрессияи арифметикӣ
навбатӣПрогрессияҳо · 2/2. Масъалаҳо бо ҳар ду прогрессия
1 соат
Исбот. Мувофиқи таъриф ak+m=a1+(k+m−1)d ва ak−m=a1+(k−m−1)d. Ҷамъ мекунем:
ak+m+ak−m=2a1+(k+m−1+k−m−1)d=2a1+2(k−1)d=2ak. Исбот. ak+al=2a1+(k+l−2)d ва ar+as=2a1+(r Азбаски k+l=r+s, тарафҳои рости ин баробариҳо якхеланд, пас тарафҳои чапашон низ якхелаанд.
Барои прогрессияи охирнок бо n аъзо аз ин хосият бармеояд: суммаи аъзоҳои аз ду канор баробардур якхела аст:
ak+an+1−k=a1+an(k=1,2,…,n), зеро k+(n+1−k)=1+n.
Мисоли 1. Дар прогрессияи арифметикӣ a3=11 ва a9=35. Меёбем a6 ва a4+a8. Рақами 6 — миёнаи рақамҳои 3 ва 9, пас a6=211+35=23. Азбаски 4+8=3+9, ҳосил мекунем a4+a8=a3+a
II. Прогрессияи геометрӣ
Исбот. bk−m=b1qk−m−1 ва bk+m=b1qk+m−1. Ҳосили зарбашон: b12q2(k−1)=(b
Исбот. bk⋅bl=b1qk−1⋅b1ql−1=b12qk+l−2 ва br⋅bs=b12q Ҳангоми k+l=r+s ҳар дуи онҳо якхелаанд.
Барои прогрессияи охирноки b1; b2; …; bn ин хосият медиҳад: bk⋅bn+1−k=b1⋅bn
Мисоли 2. Дар прогрессияи геометрӣ b2=3 ва b6=48. Меёбем b4. Рақами 4 — миёнаи 2 ва 6, пас b42=b2⋅b6=144, яъне b4=12 ё b4=−12. Лекин b4=b2q2 ва q2>0, пас аломати b4 бо аломати b2=3 якхела аст: b4=12.
Баръакси хосиятҳо
Хосиятҳои (1) ва (3) прогрессияро пурра тавсиф мекунанд, агар онҳо барои ҳар n≥2 иҷро шаванд.
Исбот. 1) Аз 2an=an−1+an+1 бармеояд an+1−an=an−an−1 барои ҳар n≥2. Пас фарқи ҳар ду аъзои ҳамсоя якхела аст — прогрессияи арифметикӣ. 2) Аз bn2=bn−1bn+1 ва bn=0 ҳосил мешавад bnbn+1= барои ҳар n≥2. Пас нисбати ҳар ду аъзои ҳамсоя якхела аст — прогрессияи геометрӣ.
Хосиятҳои (2) ва (4) танҳо барои аъзоҳои канорӣ ба прогрессия кифоя нестанд. Масалан, пайдарпайии 1; 2; 6; 7 ҳамаи ҷуфтҳои аз ду канор баробардурро дорад: 1+7=2+6. Лекин он прогрессияи арифметикӣ нест: фарқҳо 1, 4, 1. Ба ҳамин монанд, барои 1; 3; 4; 12 ҳосили зарби аъзоҳои канорӣ 1⋅12=3⋅4, вале маҳраҷҳо 3 ва 34 баробар нестанд.
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф
1. Дар прогрессияи арифметикӣ бо фарқи бутуни d=0 ёздаҳ аъзо ҳаст. Аъзои якум ба 24 баробар аст. Аъзои якум, панҷум ва ёздаҳум прогрессияи геометриро ташкил медиҳанд. Ҳамаи аъзои прогрессияи арифметикиро ёфта, дар ҷавоб суммаашонро нависед.
2. Суммаи се адад ба 114 баробар аст. Ин ададҳоро ҳамчун се аъзои аввалаи прогрессияи геометрӣ ё ҳамчун аъзои якум, чорум ва биступанҷуми прогрессияи арифметикӣ бо фарқи ғайринулӣ дида баромадан мумкин аст. Ин ададҳоро ёбед.
3. Нишон диҳед, ки пайдарпайии 1; 3; 4; 12, ки хосияти дуюми иловагии прогрессияи геометриро (барои аъзоҳои канорӣ) қаноат мекунад, прогрессияи геометрӣ шуда наметавонад.
Дар хона
4. Нишон диҳед, ки пайдарпайии 1; 2; 6; 7, ки хосияти иловагии прогрессияи арифметикиро (барои аъзоҳои канорӣ) қаноат мекунад, прогрессияи арифметикӣ нест.
Вазифаи хонагӣ
- Машқи 4.
- Вазифаи онлайн оид ба мавзӯи «Прогрессияҳо» дар саҳифаи «Супоришҳо» аст, агар омӯзгор онро супорида бошад; он ба соати дуюми мавзӯъ — Прогрессияҳо · 2/2 — мансуб аст.
Дар ин дарс
- Ман медонам хосиятҳои аъзоҳои баробардур аз ҳам дар прогрессияи арифметикӣ ва геометрӣ.
- Ман метавонам онҳоро исбот кунам ва ҳангоми ҳисоб истифода барам.
- Ман медонам, ки баръакси хосият дар кадом шакл дуруст аст.
Такрор (2 дақиқа)
- Формулаи аъзои n-уми прогрессияи арифметикиро нависед.
- Формулаи аъзои n-уми прогрессияи геометриро нависед.
- Миёнаи арифметикии 6 ва 14 чанд аст?
Ҷавобҳо
- an=a1+(n−1)d. 2) bn=b1qn−1. 3) 26+14=10.
Вазъият барои андешаронӣДар прогрессияи арифметикӣ a4=7 ва a10=25 маълуманд. Чӣ тавр a7-ро бе ёфтани a1 ва d ёфтан мумкин аст? Рақами 7 нисбат ба рақамҳои 4 ва 10 чӣ гуна ҷой дорад?
Хосият 1Ҳар як аъзо ба миёнаи арифметикии ду аъзои аз он баробардур ҷойгирбуда баробар аст:
2ak=ak Хосият 2Агар k+l=r+s бошад, он гоҳ
ak+ Хосият 3Квадрати ҳар як аъзо ба ҳосили зарби ду аъзои аз он баробардур ҷойгирбуда баробар аст:
bk2=bk−m⋅ Хосият 4Агар k+l=r+s бошад, он гоҳ
bk⋅ Теорема
- Агар пайдарпайии (an) барои ҳар n≥2 шарти a-ро қонеъ кунад, он прогрессияи арифметикӣ аст.
Пайдарпайии 1; 2; 6; 7 прогрессияи арифметикӣ аст, зеро 1+7=2+6.
Миёнаи геометрии ададҳои мусбати 2 ва 18-ро ёбед.
Як ҷавобро интихоб кунед
+
s−
2)d.
9
=
46.
1
qk−1
)
2
=
bk2.
r+s−2
.
.
bn−1
bn
+
m
+
ak−m(k>
m).(1)
al
=
ar+
as.(2)
bk+m(k>
m).(3)
Агар аъзоҳо мусбат бошанд, bk=bk−m⋅bk+m — миёнаи геометрии онҳо.
bl
=
br⋅
bs.(4)
n
=
2an−1+an+1
Агар пайдарпайии (bn) аз аъзоҳои аз нул фарқкунанда барои ҳар n≥2 шарти bn2=bn−1⋅bn+1-ро қонеъ кунад, он прогрессияи геометрӣ аст.