21 · 2/2. Формулаи рекуррентӣ ва тавсифи пайдарпайӣ - Алгебра — синфи 9
Асосӣ Курсҳо Алгебра — синфи 9 3. Прогрессияҳо
21 · 2/2. Формулаи рекуррентӣ ва тавсифи пайдарпайӣ 1 соат
Ба ғайр аз формулаи аъзои n n n пешоянда ҳисоб мекунанд. Чунин формула рекуррентӣ ном дорад (аз калимаи лотинии recurrere — «баргаштан»).
Мисоли 4. Пайдарпайии ( a n ) (a_n) ( a n ) a 1 = 1 a_1 = 1 a 1 = 1
навбатӣ 22. Прогрессияи арифметикӣ 1 соат
a n = 2 a n − 1 − 1. a_n = 2a_{n-1} - 1. a n = 2 a n − 1 − 1.
a 2 = 2 a 1 − 1 = 2 ⋅ 1 − 1 = 1 , a 3 = 2 a 2 − 1 = 2 ⋅ 1 − 1 = 1. a_2 = 2a_1 - 1 = 2 \cdot 1 - 1 = 1,\qquad a_3 = 2a_2 - 1 = 2 \cdot 1 - 1 = 1. a 2 = 2 a 1 − 1 = 2 ⋅ 1 − 1 = 1 , a 3 = 2 a 2 − 1 = 2 ⋅ 1 − 1 = 1. Ҳамин тавр барои ҳар n n n a n = 1 a_n = 1 a n = 1 1 ; 1 ; 1 ; … 1;\ 1;\ 1;\ \ldots 1 ; 1 ; 1 ; …
Мисоли 5. Аъзоҳои якум ва дуюми пайдарпайӣ ба 1 1 1 a n = a n − 1 + a n − 2 . a_n = a_{n-1} + a_{n-2}. a n = a n − 1 + a n − 2 .
a 3 = a 1 + a 2 = 2 , a 4 = a 2 + a 3 = 3 , a 5 = 5 , a 6 = 8 , a 7 = 13 , a 8 = 21 , … a_3 = a_1 + a_2 = 2,\ \ a_4 = a_2 + a_3 = 3,\ \ a_5 = 5,\ \ a_6 = 8,\ \ a_7 = 13,\ \ a_8 = 21,\ \ldots a 3 = a 1 + a 2 = 2 , a 4 = a 2 + a 3 = 3 , a 5 = 5 , a 6 = 8 , a 7 = 13 , a 8 = 21 , … Пайдарпайии 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21 ; … 1;\ 1;\ 2;\ 3;\ 5;\ 8;\ 13;\ 21;\ \ldots 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21 ; … ададҳои Фибоначчӣ (тахаллуси риёзидони итолиёвӣ Леонардо Пизанский, 1170–1250).
Мисоли 6. Аъзои якум ба 1 1 1 a 1 = 1 , a_1 = 1, a 1 = 1 , a n + 1 = 3 a n 3 . a_{n+1} = 3a_n^3. a n + 1 = 3 a n 3 .
a 2 = 3 ⋅ 1 3 = 3 , a 3 = 3 ⋅ 3 3 = 81 , a 4 = 3 ⋅ 81 3 = 1 594 323. a_2 = 3 \cdot 1^3 = 3,\qquad a_3 = 3 \cdot 3^3 = 81,\qquad a_4 = 3 \cdot 81^3 = 1\,594\,323. a 2 = 3 ⋅ 1 3 = 3 , a 3 = 3 ⋅ 3 3 = 81 , a 4 = 3 ⋅ 8 1 3 = 1 594 323. Пайдарпайӣ: 1 ; 3 ; 81 ; 1 594 323 ; … 1;\ 3;\ 81;\ 1\,594\,323;\ \ldots 1 ; 3 ; 81 ; 1 594 323 ; …
Бе аъзои якум формулаи рекуррентӣ пайдарпайиро муайян намекунад: формулаи a n + 1 = 2 a n + 1 a_{n+1} = 2a_n + 1 a n + 1 = 2 a n + 1 a 1 = 1 a_1 = 1 a 1 = 1 1 ; 3 ; 7 ; … , 1;\ 3;\ 7;\ \ldots, 1 ; 3 ; 7 ; … , a 1 = 0 a_1 = 0 a 1 = 0 0 ; 1 ; 3 ; … 0;\ 1;\ 3;\ \ldots 0 ; 1 ; 3 ; …
Пайдарпайӣ бо тавсиф Баъзан пайдарпайӣ бо суханон дода мешавад — аз рӯйи он формула тартиб медиҳанд.
Мисоли 7. Бигзор ( a n ) (a_n) ( a n ) 7 7 7 3 p 3p 3 p
Ададҳои ба 7 7 7 7 ⋅ 1 , 7 \cdot 1, 7 ⋅ 1 , 7 ⋅ 2 , 7 \cdot 2, 7 ⋅ 2 , 7 ⋅ 3 , 7 \cdot 3, 7 ⋅ 3 , … \ldots … a n = 7 n . a_n = 7n. a n = 7 n .
а) a 1 = 7 , a_1 = 7, a 1 = 7 , a 2 = 14 , a_2 = 14, a 2 = 14 , a 3 = 21 , a_3 = 21, a 3 = 21 , a 4 = 28 ; a_4 = 28; a 4 = 28 ;
б) a 52 = 7 ⋅ 52 = 364 , a_{52} = 7 \cdot 52 = 364, a 52 = 7 ⋅ 52 = 364 , a 3 p = 7 ⋅ 3 p = 21 p . a_{3p} = 7 \cdot 3p = 21p. a 3 p = 7 ⋅ 3 p = 21 p .
Мисоли 8. Формулаи аъзои n n n 2 ; 5 ; 10 ; 17 ; 26 ; … 2;\ 5;\ 10;\ 17;\ 26;\ \ldots 2 ; 5 ; 10 ; 17 ; 26 ; …
a 1 = 2 = 1 2 + 1 , a 2 = 5 = 2 2 + 1 , a 3 = 10 = 3 2 + 1 , a 4 = 17 = 4 2 + 1 , a 5 = 26 = 5 2 + 1. a_1 = 2 = 1^2 + 1,\quad a_2 = 5 = 2^2 + 1,\quad a_3 = 10 = 3^2 + 1,\quad a_4 = 17 = 4^2 + 1,\quad a_5 = 26 = 5^2 + 1. a 1 = 2 = 1 2 + 1 , a 2 = 5 = 2 2 + 1 , a 3 = 10 = 3 2 + 1 , a 4 = 17 = 4 2 + 1 , a 5 = 26 = 5 2 + 1. Дар ҳар сатр ба рақами ҷой квадрати он ва воҳид мувофиқ аст, пас a n = n 2 + 1. a_n = n^2 + 1. a n = n 2 + 1. a 6 = 6 2 + 1 = 37. a_6 = 6^2 + 1 = 37. a 6 = 6 2 + 1 = 37.
Қайд мекунем: формула дар асоси чанд аъзои аввал «пешниҳод» мешавад. Барои боварӣ ҳосил кардан онро бо аъзои навбатӣ месанҷанд.
Формулаи рекуррентӣ санҷида бин! Аз нав
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф 1. Агар шарт чунин бошад, шаш аъзои аввалаи пайдарпайии ( a n ) (a_n) ( a n )
а) a 1 = 19 , a_1 = 19, a 1 = 19 , a n + 1 = a n + 1 ; a_{n+1} = a_n + 1; a n + 1 = a n + 1 ;
б) a 1 = 1000 , a_1 = 1000, a 1 = 1000 , a n + 1 = 0,01 a n ; a_{n+1} = 0{,}01a_n; a n + 1 = 0 , 01 a
в) a 1 = 160 , a_1 = 160, a 1 = 160 , a n + 1 = − 0,5 a n ; a_{n+1} = -0{,}5a_n; a n + 1 = − 0 , 5 a
г) a 1 = 3 , a_1 = 3, a 1 = 3 , a n + 1 = 2 a n + 3 ; a_{n+1} = 2a_n + 3; a n + 1 = 2 a
ғ) a 1 = 3 , a_1 = 3, a 1 = 3 , a n + 1 = 2 a n − 1 ; a_{n+1} = 2a_n^{-1}; a n + 1 = 2 a
д) a 1 = 9 , a_1 = 9, a 1 = 9 , a n + 1 = 3 a n + 7 ; a_{n+1} = 3a_n + 7; a n + 1 = 3 a
е) a 1 = 10 , a_1 = 10, a 1 = 10 , a n + 1 = 3 a n 2 ; a_{n+1} = \dfrac{3}{a_n^2}; a n + 1 =
ё) a 1 = 2 , a_1 = 2, a 1 = 2 , a n + 1 = a n 3 − 1. a_{n+1} = a_n^3 - 1. a n + 1 = a n
2. Агар шарт чунин бошад, панҷ аъзои аввалаи пайдарпайии ( b n ) (b_n) ( b n )
а) b 1 = 15 , b_1 = 15, b 1 = 15 , b n + 1 = b n + 5 ; b_{n+1} = b_n + 5; b n + 1 = b n + 5 ;
б) b 1 = 25 , b_1 = 25, b 1 = 25 , b n + 1 = 5 b n − 3 ; b_{n+1} = 5b_n - 3; b n + 1 = 5 b
в) b 1 = 4 , b_1 = 4, b 1 = 4 , b n + 1 = 2 b n − 3 ; b_{n+1} = 2b_n - 3; b n + 1 = 2 b
г) b 1 = 6 , b_1 = 6, b 1 = 6 , b n + 1 = 2 b n − 1 . b_{n+1} = 2b_n^{-1}. b n + 1 = 2 b
3. Бигзор y 1 = 1 , y_1 = 1, y 1 = 1 , y n + 1 = 0,5 y n y_{n+1} = 0{,}5y_n y n + 1 = 0 , 5 y n ( y n ) (y_n) ( y n )
4. Панҷ аъзои аввалаи пайдарпайии ( a n ) (a_n) ( a n ) a n = ( − 1 ) n ⋅ 7 a_n = (-1)^n \cdot 7 a n = ( − 1 ) n ⋅ 7
Дар хона 5. Аъзои якуми пайдарпайии ( x n ) (x_n) ( x n ) 3 3 3 (x 1 = 3 , x_1 = 3, x 1 = 3 , x n + 1 = x n 3 x_{n+1} = x_n^3 x n + 1 = x n 3
6. Ифодаҳои зеринро сода кунед:
а) 7 + 4 3 ; \sqrt{7 + 4\sqrt{3}}; 7 + 4 3 ;
б) 3 − 2 2 ; \sqrt{3 - 2\sqrt{2}}; 3 − 2 2 ;
в) 4 2 + 2 6 ; \sqrt{4\sqrt{2} + 2\sqrt{6}}; 4 2 + 2 6
г) 17 − 4 9 + 4 5 . \sqrt{17 - 4\sqrt{9 + 4\sqrt{5}}}. 17 − 4 9 + 4 5
а) ( 2 2 ) 3 ; (2^2)^3; ( 2 2 ) 3 ;
б) ( − 2 ) 5 ⋅ 3 ; (-2)^5 \cdot 3; ( − 2 ) 5 ⋅ 3 ;
в) − ( − 2 2 ) 3 ; -(-2^2)^3; − ( − 2 2 ) 3 ;
г) ( 4 2 − 5 2 ) 2 ; (4^2 - 5^2)^2; ( 4 2 − 5 2 ) 2 ;
ғ) ( 4 2 − 3 2 ) 3 ; (4^2 - 3^2)^3; ( 4 2 − 3 2 ) 3 ;
д) ( 3 3 − 2 3 ) 2 . (3^3 - 2^3)^2. ( 3 3 − 2 3 ) 2 .
8. Муодилаи x 2 − 5 x + 6 = 0 x^2 - 5x + 6 = 0 x 2 − 5 x + 6 = 0 (x 1 , x_1, x 1 , x 2 x_2 x 2
а) x 1 + x 2 ; x_1 + x_2; x 1 + x 2 ;
б) x 1 ⋅ x 2 ; x_1 \cdot x_2; x 1 ⋅ x 2 ;
в) x 1 2 ⋅ x 2 + x 1 ⋅ x 2 2 . x_1^2 \cdot x_2 + x_1 \cdot x_2^2. x 1 2 ⋅ x 2 + x 1 ⋅
а) 4 x + 3 + 1 = 1 x − 3 + 5 3 − x ; \dfrac{4}{x + 3} + 1 = \dfrac{1}{x - 3} + \dfrac{5}{3 - x}; x + 3 4 + 1 = x − 3 1 + 3 − x 5 ;
б) 3 x + 1 − 4 1 − x = 5 − x x 2 − 1 . \dfrac{3}{x + 1} - \dfrac{4}{1 - x} = \dfrac{5 - x}{x^2 - 1}. x + 1 3 − 1 − x 4 =
10. Қаиқи мотордор дар 4 4 4 44 44 44 56 56 56 3 3 3
а) { 3 x + y = 3 , 7 x − y = − 23 ; \begin{cases} 3x + y = 3, \\ 7x - y = -23; \end{cases} { 3 x + y = 3 , 7 x − y = − 23 ;
б) { 2,1 x + 1,3 y = 6 , y − x = 2. \begin{cases} 2{,}1x + 1{,}3y = 6, \\ y - x = 2. \end{cases} { 2 , 1 x + 1 , 3 y = 6 , y − x = 2.
12. Функсия бо формулаи f ( x ) = x 2 − 7 x + 1 f(x) = \dfrac{x^2 - 7}{x + 1} f ( x ) = x + 1 x 2 − 7
а) f ( 1 ) ; f(1); f ( 1 ) ;
б) f ( − 1 ) ; f(-1); f ( − 1 ) ;
в) f ( 0 ) ; f(0); f ( 0 ) ;
г) f ( 1,1 ) ; f(1{,}1); f ( 1 , 1 ) ;
ғ) f ( − 0,5 ) . f(-0{,}5). f ( − 0 , 5 ) .
13. Масъалаи Магнитскийро ҳал кунед (аз китоби «Арифметика»-и ӯ): агар квадрати адади матлубро ба 108 108 108 24 24 24
Вазифаи хонагӣ
Машқҳои 5–13 аз қисмҳои «Дар хона» ва «Такрор».
Вазифаи онлайн оид ба мавзӯи 21 дар саҳифаи «Супоришҳо» аст, агар омӯзгор онро супорида бошад.
Хулоса
Пайдарпайии ададӣ — функсия дар маҷмуи ададҳои натуралӣ; a n a_n a n n n n ( a n ) (a_n) ( a n )
Тарзҳои додан: формулаи аъзои n n n a n = f ( n ) , a_n = f(n), a n = f ( n ) ,
Пайдарпайиҳои махсус: статсионарӣ a n = c , a_n = c, a n = c , a n = ( − 1 ) n k . a_n = (-1)^n k. a n = ( − 1 )
Пайдарпайӣ охирнок ё беохир мешавад — аз рӯйи шумораи аъзоҳояш.
Дар ин дарс
Ман медонам , ки формулаи рекуррентӣ чист ва чаро аъзои якум лозим аст.Ман метавонам аъзоҳои пайдарпайиро аз рӯйи формулаи рекуррентӣ ҳисоб кунам.Ман метавонам пайдарпайиро аз рӯйи тавсифи шартӣ ё аз рӯйи якчанд аъзояш бо формула нависам. Такрор (2 дақиқа)
Пайдарпайӣ бо формулаи a n = 3 n − 1 a_n = 3n - 1 a n = 3 n − 1 a 1 , a_1, a 1 , a 2 , a_2, a 2 , a 3 a_3 a 3
Формулаи аъзои n n n 5 ; 10 ; 15 ; 20 ; … 5;\ 10;\ 15;\ 20;\ \ldots 5 ; 10 ; 15 ; 20 ; …
c ; c ; c ; … c;\ c;\ c;\ \ldots c ; c ; c ; … Ҷавобҳо
2 ; 5 ; 8. 2;\ 5;\ 8. 2 ; 5 ; 8. a n = 5 n . a_n = 5n. a n = 5 n . Вазъият барои андешаронӣ Нодир рӯзи аввал 5 5 5 2 2 2 a n a_n a n
Таъриф Формулае, ки аъзои дилхоҳи пайдарпайиро аз рӯйи як ё якчанд аъзои пешоянда ифода мекунад, формулаи рекуррентӣ ном дорад. Барои муайян кардани пайдарпайӣ аъзои якум (ё якчанд аъзои аввал) низ бояд дода шавад.
Дар хотир доред Се тарзи додани пайдарпайӣ: бо формулаи аъзои n n n (a n = f ( n ) a_n = f(n) a n = f ( n ) бо формулаи рекуррентӣ (аъзои якум + чӣ тавр аъзои навбатӣ ҳосил мешавад), бо тавсиф (бо суханон; аз он формула тартиб медиҳанд).
Калимаҳои калидӣ пайдарпайии ададӣ аъзои n-ум формулаи аъзои n-ум формулаи рекуррентӣ пайдарпайии статсионарӣ пайдарпайии охирнок ва беохир
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам? Кадом тарзи додани пайдарпайӣ барои ёфтани аъзои садум қулайтар аст — формулаи n n n
Худро арзёбӣ кунед (✓ ё ✗):
Ман пайдарпайии ададиро таъриф дода метавонам.
Ман аъзои дилхоҳро аз рӯйи формулаи a n = f ( n ) a_n = f(n) a n = f ( n )
Ман аъзоҳоро аз рӯйи формулаи рекуррентӣ ҳисоб мекунам.
Ман аз рӯйи тавсиф ё якчанд аъзо формула тартиб дода метавонам.
Ман пайдарпайии статсионарӣ ва рекуррентиро бо мисол нишон дода метавонам.
Формулаи a n + 1 = 2 a n + 1 a_{n+1} = 2a_n + 1 a n + 1 = 2 a n + 1
Формулаи аъзои n n n 0 ; 3 ; 8 ; 15 ; 24 ; … 0;\ 3;\ 8;\ 15;\ 24;\ \ldots 0 ; 3 ; 8 ; 15 ; 24 ; …
Як ҷавобро интихоб кунед A a n = n 2 + 1 a_n = n^2 + 1 a n =
B C D
n
;
n
;
n
+
3 ;
n
− 1
;
n
+
7 ;
a n 2
3
;
3
−
1.
n
−
3 ;
n
−
3 ;
n
− 1
.
;
.
x 2 2
.
x 2 − 1 5 − x .
n
k
.
n 2 +
1
a n = 3 n − 3 a_n = 3n - 3 a n = 3 n − 3
a n = n 2 − n a_n = n^2 - n a n = n 2 − n
a n = n 2 − 1 a_n = n^2 - 1 a n = n 2 − 1