23 · 2/2. Масъалаҳо ва шакли хаттии аъзои n-ум - Алгебра — синфи 9
Асосӣ Курсҳо Алгебра — синфи 9 3. Прогрессияҳо
23 · 2/2. Масъалаҳо ва шакли хаттии аъзои n-ум 1 соат
Мисоли 6. Дар прогрессияи арифметикии ( x n ) (x_n) (
навбатӣ 24 · 1/2. Формулаи суммаи n аъзои прогрессияи арифметикӣ 1 соат
x n
)
Ҳал. x n = 8,7 + ( n − 1 ) ( − 0,3 ) = 9 − 0,3 n . x_n = 8{,}7 + (n - 1)(-0{,}3) = 9 - 0{,}3n. x n = 8 , 7 + ( n − 1 ) ( − 0 , 3 ) = 9 − 0 , 3 n . x n ≥ 0 x_n \ge 0 x n ≥ 0 9 − 0,3 n ≥ 0 , 9 - 0{,}3n \ge 0, 9 − 0 , 3 n ≥ 0 , n ≤ 30 n \le 30 n ≤ 30 x n < 0 x_n < 0 x n < 0 n > 30. n > 30. n > 30. 30 30 30 31 31 31
Мисоли 7. Ҷисм дар соати аввали ҳаракаташ 13 13 13 1,5 1{,}5 1 , 5
Ҳал. Масофаҳои соатӣ: s 1 = 13 , s_1 = 13, s 1 = 13 , s 2 = 13 + 1,5 = 14,5 , s_2 = 13 + 1{,}5 = 14{,}5, s 2 = 13 + 1 , 5 = 14 , 5 , s 3 = 16 , s_3 = 16, s 3 = 16 , … \ldots … s 1 = 13 s_1 = 13 s 1 = 13 d = 1,5 d = 1{,}5 d = 1 , 5
s 11 = s 1 + 10 d = 13 + 10 ⋅ 1,5 = 28 (км) . s_{11} = s_1 + 10d = 13 + 10 \cdot 1{,}5 = 28\ \text{(км)}. s 11 = s 1 + 10 d = 13 + 10 ⋅ 1 , 5 = 28 ( км ) . Мисоли 8. Байни ададҳои 4 4 4 40 40 40
Ҳал. Прогрессия шаш аъзо дорад: 4 ; a 2 ; a 3 ; a 4 ; a 5 ; 40. 4;\ a_2;\ a_3;\ a_4;\ a_5;\ 40. 4 ; a 2 ; a 3 ; a 4 ; a 5 ; 40. a 1 = 4 , a_1 = 4, a 1 = 4 , a 6 = 40 , a_6 = 40, a 6 = 40 , a 6 = a 1 + 5 d a_6 = a_1 + 5d a 6 = a 1 + 5 d 5 d = 36 , 5d = 36, 5 d = 36 , d = 7,2. d = 7{,}2. d = 7 , 2.
a 2 = 4 + 7,2 = 11,2 , a 3 = 18,4 , a 4 = 25,6 , a 5 = 32,8. a_2 = 4 + 7{,}2 = 11{,}2,\quad a_3 = 18{,}4,\quad a_4 = 25{,}6,\quad a_5 = 32{,}8. a 2 = 4 + 7 , 2 = 11 , 2 , a 3 = 18 , 4 , a 4 = 25 , 6 , a 5 = 32 , 8. Мисоли 9. Маълум аст, ки 2 a 1 + a 5 = 7 2a_1 + a_5 = 7 2 a 1 + a 5 = 7 a 3 − a 7 = 8. a_3 - a_7 = 8. a 3 − a 7 = 8.
Ҳал. Бо a n = a 1 + ( n − 1 ) d a_n = a_1 + (n - 1)d a n = a 1 + ( n − 1 ) d
{ 2 a 1 + a 1 + 4 d = 7 , a 1 + 2 d − a 1 − 6 d = 8. \begin{cases} 2a_1 + a_1 + 4d = 7, \\ a_1 + 2d - a_1 - 6d = 8. \end{cases} { 2 a 1 + a 1 + 4 d = 7 , a 1 + 2 d − a 1 − 6 d = 8. Сода мекунем: 3 a 1 + 4 d = 7 3a_1 + 4d = 7 3 a 1 + 4 d = 7 − 4 d = 8. -4d = 8. − 4 d = 8.
Аз муодилаи дуюм d = − 2 , d = -2, d = − 2 , 3 a 1 = 7 + 8 = 15 , 3a_1 = 7 + 8 = 15, 3 a 1 = 7 + 8 = 15 , a 1 = 5. a_1 = 5. a 1 = 5. 5 ; 3 ; 1 ; − 1 ; − 3 ; − 5 ; … 5;\ 3;\ 1;\ -1;\ -3;\ -5;\ \ldots 5 ; 3 ; 1 ; − 1 ; − 3 ; − 5 ; …
Шакли хаттии аъзои n n n Формулаи a n = a 1 + ( n − 1 ) d a_n = a_1 + (n - 1)d a n = a 1 + ( n − 1 ) d
a n = a 1 + n d − d = d n + ( a 1 − d ) = d n + m , m = a 1 − d . a_n = a_1 + nd - d = dn + (a_1 - d) = dn + m,\qquad m = a_1 - d. a n = a 1 + n d − d = d n + ( a 1 − d ) = d n + m , m = a 1 − d . Ин шакли «хаттӣ»-и формулаи аъзои n n n a n = d n + m . a_n = dn + m. a n = d n + m . y = k x + b y = kx + b y = k x + b y = d x + m y = dx + m y = d x + m O x Ox O x n n n ( n ; a n ) (n;\ a_n) ( n ; a n ) ҷудо аз ҳам меистанд, вале ҳамаашон дар як хати рости y = d x + m y = dx + m y = d x + m
Баръакс: ҳар пайдарпайии a n = d n + m a_n = dn + m a n = d n + m
a n + 1 − a n = ( d ( n + 1 ) + m ) − ( d n + m ) = d . a_{n+1} - a_n = \bigl(d(n + 1) + m\bigr) - (dn + m) = d. a n + 1 − a n = ( d ( n + 1 ) + m ) − ( d n + m ) = d . Масалан, пайдарпайии a n = 2 n + 1 a_n = 2n + 1 a n = 2 n + 1 d = 2 d = 2 d = 2 a 1 = d + m = 3 a_1 = d + m = 3 a 1 = d + m = 3
Нуқтаҳои прогрессия дар хати рост санҷида бин! Аз нав
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф 1. Дар байни ададҳои 15 15 15 4,5 4{,}5 4 , 5
2. Дар байни ададҳои 2 2 2 − 28 -28 − 28
3. Аъзои a l a_l a l ( a n ) (a_n) ( a n )
а) a s = 17 , a_s = 17, a s = 17 , a k = 45 , a_k = 45, a k = 45 , s = 3 , s = 3, s = 3 , k = 7 , k = 7, k = 7 , l = 11 ; l = 11; l = 11 ;
б) a s = − 7 , a_s = -7, a s = − 7 , a k = − 34 , a_k = -34, a k = − 34 , s = 4 , s = 4, s
4. Оё дар прогрессияи арифметикии 12 ; 19 ; … 12;\ 19;\ \ldots 12 ; 19 ; …
а) 320 ; 320; 320 ;
б) 365 365 365
5. Прогрессияи арифметикии ( a n ) (a_n) ( a n )
а) { a 2 + 3 a 4 = 82 , 2 a 3 − a 6 = − 4 ; \begin{cases} a_2 + 3a_4 = 82, \\ 2a_3 - a_6 = -4; \end{cases} { a 2 + 3 a 4 = 82 , 2 a 3 − a 6 = − 4 ;
б) { 2 a 4 − a 1 = 26 , a 5 + 4 a 2 = 64. \begin{cases} 2a_4 - a_1 = 26, \\ a_5 + 4a_2 = 64. \end{cases} { 2 a 4 − a 1 = 26 , a
6. Пайдарпайии ( a n ) (a_n) ( a n )
а) a n = 8 n + 3 ; a_n = 8n + 3; a n = 8 n + 3 ;
б) a n = 2 n 2 − 5 ; a_n = 2n^2 - 5; a n = 2 n 2 − 5 ;
в) a n = n + 14 ; a_n = n + 14; a n = n + 14 ;
г) a n = 31 n + 4 ; a_n = 31n + 4; a n = 31 n + 4 ;
ғ) a n = − 2,5 n + 1,5 ; a_n = -2{,}5n + 1{,}5; a n = − 2 , 5 n + 1 , 5 ;
д) a n = − 9 n ; a_n = -9n; a n = − 9 n ;
е) a n = − 14 n + 7 ; a_n = -14n + 7; a n = − 14 n + 7 ;
ё) a n = 2 n 2 + n − 4 ; a_n = 2n^2 + n - 4; a n = 2 n 2 + n − 4 ;
ж) a n = 5 n − 3 ; a_n = 5n - 3; a n = 5 n − 3 ;
з) a n = 11 n + 4 ; a_n = 11n + 4; a n = 11 n + 4 ;
и) a n = 2 n ; a_n = \dfrac{2}{n}; a n = n 2 ;
к) a n = 8. a_n = 8. a n = 8.
Дар хона 7. Прогрессияи арифметикии ( c n ) (c_n) ( c n )
а) c 8 = 31,5 , c_8 = 31{,}5, c 8 = 31 , 5 , c 29 = 63 ; c_{29} = 63; c 29 = 63 ;
б) c 20 = 0 , c_{20} = 0, c 20 = 0 , c 66 = − 92 ; c_{66} = -92; c 66 = − 92 ;
в) c 10 = − 44,2 , c_{10} = -44{,}2, c 10 = − 44 , 2 , c 66 = 117 ; c_{66} = 117; c 66 = 117 ;
г) c 3 = 15 , c_3 = 15, c 3 = 15 , c 17 = 85 ; c_{17} = 85; c 17 = 85 ;
ғ) c 5 = 12 , c_5 = 12, c 5 = 12 , c 29 = 60 ; c_{29} = 60; c 29 = 60 ;
д) c 7 = − 93 , c_7 = -93, c 7 = − 93 , c 11 = − 153 c_{11} = -153 c 11 = − 153
бошад, аъзои якум ва фарқи прогрессияро ёбед.
8. Дар прогрессияи арифметикии − 20,8 ; − 19,2 ; … -20{,}8;\ -19{,}2;\ \ldots − 20 , 8 ; − 19 , 2 ; …
9. Суммаи рақамҳои адади дурақама ба 7 7 7 2 2 2 3 3 3
10. Номаълуми x x x
а) 4,25 : 0,5 = 2 1 3 : x ; 4{,}25 : 0{,}5 = 2\dfrac{1}{3} : x; 4 , 25 : 0 , 5 = 2 3 1 : x ;
б) ( m + 2 ) : ( m − 2 ) = ( m 2 − 4 ) : m 2 x . (m + 2) : (m - 2) = (m^2 - 4) : m^2x. ( m + 2 ) : ( m − 2 ) = ( m 2 − 4 ) : m 2 x .
11. Нобаробариро ҳал кунед:
а) 4 ( 2 x − 3 ) − 5 x < x + 4 ; 4(2x - 3) - 5x < x + 4; 4 ( 2 x − 3 ) − 5 x < x + 4 ;
б) 2 x 3 < 7 ; \dfrac{2x}{3} < 7; 3 2 x < 7 ;
в) − 3 ( x 2 − 1 ) ≥ 0 ; -3(x^2 - 1) \ge 0; − 3 ( x 2 − 1 ) ≥ 0 ;
г) 5 ≤ 2 3 ( x − 3 ) . 5 \le \dfrac{2}{3}(x - 3). 5 ≤ 3 2 ( x − 3 ) .
12. Муодиларо бо тарзи графикӣ ҳал кунед:
а) x = x ; \sqrt{x} = x; x = x ;
б) x = x − 2. \sqrt{x} = x - 2. x = x − 2.
13. Касрро ихтисор кунед:
а) a 2 − 16 a x + 4 x ; \dfrac{a^2 - 16}{ax + 4x}; a x + 4 x a 2 − 16 ;
б) 3 x 2 + 15 x y x + 5 y ; \dfrac{3x^2 + 15xy}{x + 5y}; x + 5 y 3 x 2 + 15 x y ;
в) 3 ( x − 2 ) 7 ( 2 − x ) . \dfrac{3(x - 2)}{7(2 - x)}. 7 ( 2 − x ) 3 ( x − 2 ) .
x 3 + y 3 x + y : ( x 2 − y 2 ) + 2 y x + y − x y x 2 − y 2 . \dfrac{x^3 + y^3}{x + y} : (x^2 - y^2) + \dfrac{2y}{x + y} - \dfrac{xy}{x^2 - y^2}. x + y x 3 + y 3 : ( x 2 − y 2 ) + x + y 2 y − x 2 − y 2 x y . 15. Муодилаҳои дуномаълумаи
а) ( x − 1 ) 2 + ( y + 3 ) 2 = 36 (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 36 ( x − 1 ) 2 + ( y + 3 ) 2 = 36
б) 2 x + 3 y = 6 2x + 3y = 6 2 x + 3 y = 6
дар ҳамвории координатӣ кадом хатҳоро тасвир мекунанд?
16. Аз рӯйи формулаи a n = n 3 − 1 a_n = n^3 - 1 a n = n 3 − 1
Вазифаи хонагӣ
Машқҳои 7–16 аз қисмҳои «Дар хона» ва «Такрор».
Вазифаи онлайн оид ба мавзӯи 23 дар саҳифаи «Супоришҳо» аст, агар омӯзгор онро супорида бошад.
Хулоса
a n = a 1 + ( n − 1 ) d a_n = a_1 + (n - 1)d a n = a 1 + ( n − 1 ) d a n = a k + ( n − k ) d . a_n = a_k + (n - k)d. a n = a k + ( n − k ) d . Агар ду аъзо маълум бошад, системаро ҳал мекунем ё d = a n − a k n − k d = \dfrac{a_n - a_k}{n - k} d = n − k a n − a k
Адад аъзо аст, агар муодилаи a n = x a_n = x a n = x
a n = d n + m a_n = dn + m a n = d n + m ( n ; a n ) (n;\ a_n) ( n ; a n ) y = d x + Дар ин дарс
Ман метавонам масъалаҳои матниро бо прогрессияи арифметикӣ ҳал кунам.Ман метавонам ададҳоро байни ду адади додашуда ҷойгир кунам, то прогрессия ҳосил шавад.Ман медонам , ки a n = d n + m a_n = dn + m a n = d n + m ( n ; a n ) (n;\ a_n) ( n ; a n ) Такрор (2 дақиқа)
Формулаи a n a_n a n a 1 = 4 , a_1 = 4, a 1 = 4 , d = 5 d = 5 d = 5 a 10 a_{10} a 10
Агар a 3 = 11 a_3 = 11 a 3 = 11 d = 2 , d = 2, d = 2 , a 7 a_7 a 7
Нобаробарии 9 − 0,3 n ≥ 0 9 - 0{,}3n \ge 0 9 − 0 , 3 n ≥ 0
Ҷавобҳо
a n = a 1 + ( n − 1 ) d ; a_n = a_1 + (n - 1)d; a n = a 1 + ( n − 1 ) d ; a 10 = 4 + 45 = 49. a_{10} = 4 + 45 = 49. Вазъият барои андешаронӣ Байни ададҳои 4 4 4 40 40 40 4 4 4 40 40 40
Дар хотир доред Агар байни A A A B B B k k k k + 2 k + 2 k + 2 d = B − A k + 1 .
Расми 1. Нуқтаҳои (n; aₙ) барои aₙ = 2n + 1 дар хати рости y = 2x + 1 меистанд. Нуқтаи (0; 1) аъзо нест. Хосият Пайдарпайии ( a n ) (a_n) ( a n ) a n = d n + m . a_n = dn + m. a n = d n + m .
Калимаҳои калидӣ формулаи аъзои n-ум шакли хаттии аъзои n-ум гузоштани ададҳо байни ду адад нуқтаҳои (n; aₙ)
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам? Чаро нуқтаҳои ( n ; a n ) (n;\ a_n) ( n ; a n ) A A A B B B
Худро арзёбӣ кунед (✓ ё ✗):
Ман аъзои дилхоҳро аз рӯйи ду аъзои додашуда меёбам.
Ҳар як нуқтаи хати рости y = 2 x + 1 y = 2x + 1 y = 2 x + 1 ( n ; a n ) (n;\ a_n) ( n ; a n ) a n = 2 n + 1. a_n = 2n + 1. a
Кадом формула прогрессияи арифметикиро медиҳад?
Як ҷавобро интихоб кунед A a n = 5 n a_n = \dfrac{5}{n} a n = n 5
B a n = 3 n − 7 a_n = 3n - 7 a n
C D
=
4 ,
5
+
4
a 2
=
64.
m y = dx + m y = d x + m
a n = d n + m a_n = dn + m a n = d n + m a 10
=
4 +
45 =
49.
a 7 = a 3 + 4 d = 19. a_7 = a_3 + 4d = 19. a 7 = a 3 + 4 d = 19. d = \dfrac{B - A}{k + 1}. d = k + 1 B − A .
d d d
m = a 1 − d . m = a_1 - d. m = a 1 − d .
Ман муайян мекунам, ки адад аъзои прогрессия аст ё не.
Ман ададҳоро байни ду адад чунон мегузорам, ки прогрессия ҳосил шавад. Ман аз рӯйи формулаи a n = d n + m a_n = dn + m a n = d n + m n
=
2 n +
1.
=
3 n −
7
a n = n 2 + 1 a_n = n^2 + 1 a n = n 2 + 1
