Прогрессияҳо · 2/2. Масъалаҳо бо ҳар ду прогрессия - Алгебра — синфи 9
Асосӣ Курсҳо Алгебра — синфи 9 3. Прогрессияҳо
Прогрессияҳо · 2/2. Масъалаҳо бо ҳар ду прогрессия 1 соат
III. Масъалаҳо бо ҳар ду прогрессия
Ҳалли масъалаҳое, ки дар онҳо ҳам прогрессияи арифметикӣ ва ҳам геометрӣ вомехӯранд, тартиби якхела дорад:
Масъалаи 1. Дар прогрессияи арифметикӣ a 2 = 14 a_2 = 14 a 2 = 14 a 3 = 16. a_3 = 16. a 3 = 16.
Ҳал. d = a 3 − a
навбатӣ Такрор ва санҷиш: прогрессияи геометрӣ · 1/4. Таъриф, формулаҳо ва суммаҳо 1 соат
2 = 2 , d = a_3 - a_2 = 2, d = a 3 − a 2 = 2 ,
a 1 = a 2 − d = 12 a_1 = a_2 - d = 12 a 1 = a 2 − d = 12 a 1 + a 2 + a 3 = 12 + 14 + 16 = 42. a_1 + a_2 + a_3 = 12 + 14 + 16 = 42. a 1 + a 2 + a 3 = 12 + 14 + 16 = 42. b 1 + b 1 q + b 1 q 2 = 42 , b 1 ( 1 + 2 + 4 ) = 42 , b 1 = 6. b_1 + b_1q + b_1q^2 = 42, \qquad b_1(1 + 2 + 4) = 42, \qquad b_1 = 6. b 1 + b 1 q + b 1 q 2 = 42 , b 1 ( 1 + 2 + 4 ) = 42 , b 1 = 6. Ҷавоб: 6 ; 12 ; 24 ; … 6;\ 12;\ 24;\ \ldots 6 ; 12 ; 24 ; …
Масъалаи 2. Дар прогрессияи арифметикии ( a n ) (a_n) ( a n ) ( b n ) (b_n) ( b n ) 3 3 3 a 1 = b 1 = 3. a_1 = b_1 = 3. a 1 = b 1 = 3. a 3 = b 3 . a_3 = b_3. a 3 = b 3 . 6 6 6
Ҳал. Прогрессияи геометрӣ: 3 ; 3 q ; 3 q 2 ; … 3;\ 3q;\ 3q^2;\ \ldots 3 ; 3 q ; 3 q 2 ; … a 2 = 3 q + 6. a_2 = 3q + 6. a 2 = 3 q + 6. a 3 − a 2 = a 2 − a 1 , a_3 - a_2 = a_2 - a_1, a 3 − a 2 = a 2 − a
a 3 = 2 a 2 − a 1 = 6 q + 12 − 3 = 6 q + 9. a_3 = 2a_2 - a_1 = 6q + 12 - 3 = 6q + 9. a 3 = 2 a 2 − a 1 = 6 q + 12 − 3 = 6 q + 9. Аъзои сеюми геометрӣ ба 3 q 2 3q^2 3 q 2 a 3 = b 3 a_3 = b_3 a 3 = b 3
6 q + 9 = 3 q 2 , q 2 − 2 q − 3 = 0 , q = 3 ё q = − 1. 6q + 9 = 3q^2, \qquad q^2 - 2q - 3 = 0, \qquad q = 3 \ \text{ё} \ q = -1. 6 q + 9 = 3 q 2 , q 2 − 2 q − 3 = 0 , q = 3 ё q = − 1. Прогрессияи геометрӣ аъзояш мусбат аст, пас q > 0 q > 0 q > 0 q = 3. q = 3. q = 3. a 2 = 3 ⋅ 3 + 6 = 15 , a_2 = 3 \cdot 3 + 6 = 15, a 2 = 3 ⋅ 3 + 6 = 15 , d = 12. d = 12. d = 12.
( a n ) : 3 ; 15 ; 27 ; 39 ; 51 ; … ; ( b n ) : 3 ; 9 ; 27 ; 81 ; 243 ; … (a_n):\ 3;\ 15;\ 27;\ 39;\ 51;\ \ldots; \qquad (b_n):\ 3;\ 9;\ 27;\ 81;\ 243;\ \ldots ( a n ) : 3 ; 15 ; 27 ; 39 ; 51 ; … ; ( b n ) : 3 ; 9 ; 27 ; 81 ; 243 ; …
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф 1. Суммаи се аъзои аввалаи прогрессияи геометрии афзуншаванда ба 91 91 91 25 , 25, 25 , 27 27 27 1 1 1
2. Се адади x , x, x , y y y z z z x ; x; x ; 2 y ; 2y; 2 y ; 3 z 3z 3 z
3. Прогрессияҳои арифметикӣ ва геометриро ёбед, агар:
суммаи се аъзои аввалаашон, мувофиқан, ба 15 15 15 35 35 35
аъзои якуми прогрессияи арифметикӣ аз аъзои якуми прогрессияи геометрӣ 2 2 2
4. Чор адад прогрессияи геометриро ташкил медиҳанд. Агар аз онҳо, мувофиқан, ададҳои 2 ; 2; 2 ; 3 ; 3; 3 ; 7 7 7 17 17 17
Дар хона 5. Се адади аз нул фарқкунанда прогрессияи арифметикиро ва квадратҳояшон бо ҳамон тартиб прогрессияи геометриро ташкил медиҳанд. Маҳраҷи прогрессияи геометриро ёбед.
6. Аз як варақи тунукаи квадратшакл қитъаи бараш 20 20 20 1000 1000 1000
7. Суммаи квадратҳои ду адади пайдарпайи бутун аз дучанди хурдтараш 51 51 51
8. Исбот кунед, ки барои n n n 7 n + 3 n − 1 7^n + 3n - 1 7 n + 3 n − 1 9 9 9
9. Касрҳоро ихтисор кунед:
а) a 2 − 3 a + 2 a 2 + 5 a − 6 ; \dfrac{a^2 - 3a + 2}{a^2 + 5a - 6}; a 2 + 5 a − 6 a 2 − 3 a + 2 ;
б) a 4 − 2 a 2 + 2 2 a 6 + 8 ; \dfrac{a^4 - 2a^2 + 2^2}{a^6 + 8}; a 6 + 8 a 4 − 2 a 2 + 2 2 ;
в) x 6 + x 4 + x 2 + 1 x 3 + x 2 + x + 1 ; \dfrac{x^6 + x^4 + x^2 + 1}{x^3 + x^2 + x + 1}; x 3 + x 2 + x + 1 x 6 +
г) x 6 − 1 x 4 + x 2 + 1 . \dfrac{x^6 - 1}{x^4 + x^2 + 1}. x 4 + x 2 + 1 x 6 − 1 .
10. Бо методи фосилаҳо нобаробариҳоро ҳал кунед:
а) x + 1 2 x − 4 ≥ 0 ; \dfrac{x + 1}{2x - 4} \ge 0; 2 x − 4 x + 1 ≥ 0 ;
б) ( x 2 − 1 ) ( x − 3 ) < 0. (x^2 - 1)(x - 3) < 0. ( x 2 − 1 ) ( x − 3 ) < 0.
а) f ( x ) = 2 x − 8 x 2 ; f(x) = \dfrac{2x - 8}{x^2}; f ( x ) = x 2 2 x − 8 ;
б) f ( x ) = 2 x 2 − 11 x + 9 ; f(x) = 2x^2 - 11x + 9; f ( x ) = 2 x 2 − 11 x + 9 ;
в) f ( x ) = 2 x − 3 . f(x) = \dfrac{2}{x - 3}. f ( x ) = x − 3 2 .
★ Барои ҳавасмандон 12★. Се адад прогрессияи геометриро ташкил медиҳанд. Агар аъзои дуюмро ба 8 8 8 64 64 64
13★. Ду насос якҷоя об кашида, ҳавзро дар 12 12 12 10 10 10
Вазифаи хонагӣ
Машқҳои 5–11 аз қисми «Дар хона» (★ — ихтиёрӣ).
Вазифаи онлайн оид ба мавзӯи «Прогрессияҳо» дар саҳифаи «Супоришҳо» аст, агар омӯзгор онро супорида бошад.
Хулоса
Дар прогрессияи арифметикӣ: 2 a k = a k − m + a k + m , 2a_k = a_{k-m} + a_{k+m}, 2 a k = a k − m + a k + m , a k + a l = a r + a s a_k + a_l = a_r + a_s a k + a l = a r + a k + l = r + s . k + l = r + s. k + l = r + s .
Дар прогрессияи геометрӣ: b k 2 = b k − m b k + m , b_k^2 = b_{k-m}b_{k+m}, b k 2 = b k − m b k + m ,
Баръакс: агар 2 a n = a n − 1 + a n + 1 2a_n = a_{n-1} + a_{n+1} 2 a n = a n − 1 + a n + 1
Масъалаҳои омехта: ду прогрессияро ба воситаи a 1 , a_1, a 1 , d , d, d , b 1 , b_1, b 1 , q q q
Дар ин дарс
Ман метавонам масъалаҳоеро ҳал кунам, ки дар онҳо ҳам прогрессияи арифметикӣ ва ҳам геометрӣ вомехӯранд.Ман метавонам ҳар ду прогрессияро ба воситаи a 1 , a_1, a 1 , d , d, d , b 1 , b_1, b 1 , q q q Ман метавонам решаҳоро ба шартҳои масъала (мусбат, афзуншаванда) санҷам. Такрор (2 дақиқа)
Хосияти аъзои миёнаи прогрессияи арифметикиро нависед: 2 a k = ? 2a_k = \ ? 2 a k = ?
Хосияти аъзои миёнаи прогрессияи геометриро нависед: b k 2 = ? b_k^2 = \ ? b k 2 = ?
Агар b 1 = 2 b_1 = 2 b 1 = 2 q = 3 , q = 3, q = 3 , b 3 b_3 b 3
Ҷавобҳо
2 a k = a k − m + a k + m . 2a_k = a_{k-m} + a_{k+m}. 2 a k = a k − m + a k + m Вазъият барои андешаронӣ Дар як масъала ду прогрессия вомехӯрад: арифметикӣ 2 ; 5 ; 8 ; … 2;\ 5;\ 8;\ \ldots 2 ; 5 ; 8 ; … 2 ; 6 ; 18 ; … 2;\ 6;\ 18;\ \ldots 2 ; 6 ; 18 ; … a 1 , a_1, a 1 , d d d b 1 , b_1, b 1 , q q q
Нақшаи ҳал
Прогрессияи арифметикиро ба воситаи a 1 a_1 a 1 d , d, d , b 1 b_1 b 1 q q q
Ҳар шарти масъаларо ба муодила мегардонем. Агар аъзоҳои якум баробар бошанд, як номаълум кам мешавад.
Системаро ҳал мекунем (одатан ба муодилаи квадратӣ меояд).
Ҳар як ҳалро ба шартҳои иловагӣ санҷем: «мусбат», «афзуншаванда», «бутун».
Дар хотир доред Агар аз муодилаи квадратӣ ду қимат ҳосил шавад, шарти «аъзояш мусбат» q = − 1 q = -1 q = − 1 q = − 1. q = -1. q = − 1.
Калимаҳои калидӣ миёнаи арифметикӣ миёнаи геометрӣ аъзоҳои канорӣ аъзои миёна системаи муодилаҳо
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам? Чаро шарти k + l = r + s k + l = r + s k + l = r + s
Худро арзёбӣ кунед (✓ ё ✗):
Ман хосиятҳои аъзои миёнаро барои ҳар ду прогрессия медонам.
Ман метавонам ададро ба воситаи миёнаи арифметикӣ ё геометрӣ ёбам.
Ман метавонам масъалаи омехтаро ба система гардонам.
Ман ҳалҳоро ба шартҳои масъала санҷида метавонам.
Агар се адади аз нул фарқкунанда ҳам прогрессияи арифметикӣ ва ҳам прогрессияи геометрӣ бошанд, онҳо ба ҳамдигар баробаранд.
Дар прогрессияи арифметикӣ ва прогрессияи геометрӣ a 1 = b 1 = 2 , a_1 = b_1 = 2, a 1 = b 1 = 2 , a 3 = b 3 a_3 = b_3 a 3
Як ҷавобро интихоб кунед A B C D
1
,
x 4
+
x 2
+
1
;
s
b k b l = b r b s b_k b_l = b_r b_s b k b l = b r b s
k + l = r + s . k + l = r + s. k + l = r + s . n ≥ 2 n \ge 2 n ≥ 2
b n 2 = b n − 1 b n + 1 b_n^2 = b_{n-1}b_{n+1} b n 2 = b n − 1 b n + 1
.
b k 2 = b k − m ⋅ b k + m . b_k^2 = b_{k-m} \cdot b_{k+m}. b k 2 = b k − m ⋅ b k + m . b 3 = 2 ⋅ 3 2 = 18. b_3 = 2 \cdot 3^2 = 18. b 3 = 2 ⋅ 3 2 = 18. 1
=
a 1 ,
3
=
b 3
a 2 = b 2 + 3. a_2 = b_2 + 3. a 2 = b 2 + 3. q 2 − 2 q − 2 = 0 q^2 - 2q - 2 = 0 q 2 − 2 q − 2 = 0
q 2 − 2 q − 3 = 0 q^2 - 2q - 3 = 0 q 2 − 2 q − 3 = 0
q 2 − 4 q − 4 = 0 q^2 - 4q - 4 = 0 q 2 − 4 q − 4 = 0
q 2 − 2 q + 2 = 0 q^2 - 2q + 2 = 0 q 2 − 2 q + 2 = 0