27 · 2/2. Татбиқи формулаи сумма - Алгебра — синфи 9
Суммаи 1 + x + x 2 + … + x n − 1 1 + x + x^2 + \ldots + x^{n-1} 1 + x + x 2 + … + x n − 1
Мисоли 4. Суммаи 1 + x + x 2 + … + x n − 1 1 + x + x^2 + \ldots + x^{n-1}
навбатӣ 28 · 1/2. Прогрессияи геометрии беохири камшаванда 1 соат
1 +
x +
x 2 +
… +
x n − 1
Ҷамъшавандаҳо аъзоҳои прогрессияи геометрии 1 ; x ; x 2 ; … ; x n − 1 1;\ x;\ x^2;\ \ldots;\ x^{n-1} 1 ; x ; x 2 ; … ; x n − 1 b 1 = 1 , b_1 = 1, b 1 = 1 , q = x , q = x, q = x , b n = x n − 1 . b_n = x^{n-1}. b n = x n − 1 .
1 + x + x 2 + … + x n − 1 = x n − 1 ⋅ x − 1 x − 1 = x n − 1 x − 1 . 1 + x + x^2 + \ldots + x^{n-1} = \frac{x^{n-1} \cdot x - 1}{x - 1} = \frac{x^n - 1}{x - 1}. 1 + x + x 2 + … + x n − 1 = x − 1 x n − 1 ⋅ x − 1 = x − 1 x n − 1 . Ҳар ду тарафро ба x − 1 x - 1 x − 1
x n − 1 = ( x − 1 ) ( 1 + x + x 2 + … + x n − 1 ) . ( 5 ) x^n - 1 = (x - 1)(1 + x + x^2 + \ldots + x^{n-1}). \qquad (5) x n − 1 = ( x − 1 ) ( 1 + x + x 2 + … + x n − 1 ) . ( 5 ) Ба ҷойи n n n 2 , 2, 2 , 3 , 3, 3 ,
n n n Формула 2 2 2 x 2 − 1 = ( x − 1 ) ( x + 1 ) x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) x 2 − 1 = ( x − 1 ) ( x + 1 ) 3 3 3 x 3 − 1 = ( x − 1 ) ( x 2 + x + 1 ) x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) x 3 − 1 = ( x − 1 ) ( x 2 + 4 4 4 x 4 − 1 = ( x − 1 ) ( x 3 + x 2 + x + 1 ) x^4 - 1 = (x - 1)(x^3 + x^2 + x + 1) x 4 − 1 = ( x − 1 ) ( x 3 + 5 5 5 x 5 − 1 = ( x − 1 ) ( x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 ) x^5 - 1 = (x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) x 5 − 1 = ( x − 1 ) ( x 4 + 6 6 6 x 6 − 1 = ( x − 1 ) ( x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 ) x^6 - 1 = (x - 1)(x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) x 6 − 1 = ( x − 1 ) ( x 5
Формулаҳои n = 2 n = 2 n = 2 n = 3 n = 3 n = 3
Масъалаҳо Мисоли 5. Прогрессияи геометрӣ панҷ аъзо дорад. Суммаи он бе аъзои якум ба 19,5 19{,}5 19 , 5 13 13 13
Менависем: b 2 + b 3 + b 4 + b 5 = 19,5 b_2 + b_3 + b_4 + b_5 = 19{,}5 b 2 + b 3 + b 4 + b 5 = 19 , 5 b 1 + b 2 + b 3 + b 4 = 13. b_1 + b_2 + b_3 + b_4 = 13. b 1 + b 2 + b 3 + b q q q b 2 + b 3 + b 4 + b 5 b_2 + b_3 + b_4 + b_5 b 2 + b 3 + b 4 + b 19,5 19{,}5 19 , 5 13 q = 19,5 , 13q = 19{,}5, 13 q = 19 , 5 , q = 1,5. q = 1{,}5. q = 1 , 5.
Дар баробарии b 1 + b 2 + b 3 + b 4 = 13 b_1 + b_2 + b_3 + b_4 = 13 b 1 + b 2 + b 3 + b 4 = 13 (n = 4 n = 4 n = 4 истифода мебарем:
b 1 ( 1,5 4 − 1 ) 1,5 − 1 = 13 , b 1 ⋅ 4,0625 = 6,5 , b 1 = 1,6. \frac{b_1(1{,}5^4 - 1)}{1{,}5 - 1} = 13, \qquad b_1 \cdot 4{,}0625 = 6{,}5, \qquad b_1 = 1{,}6. 1 , 5 − 1 b 1 ( 1 , 5 4 − 1 ) = 13 , b 1 ⋅ 4 , 0625 = 6 , 5 , b 1 = 1 , 6. Баъд b 5 = b 1 q 4 = 1,6 ⋅ 5,0625 = 8,1. b_5 = b_1q^4 = 1{,}6 \cdot 5{,}0625 = 8{,}1. b 5 = b 1 q 4 = 1 , 6 ⋅ 5 , 0625 = 8 , 1. b 1 = 1,6 , b_1 = 1{,}6, b 1 = 1 , 6 , b 5 = 8,1. b_5 = 8{,}1. b 5 = 8 , 1.
Мисоли 6. Суммаи ду адад ба 30 30 30 144 144 144 q > 1 q > 1 q > 1
Аз шарт b 1 + b 2 = 30 b_1 + b_2 = 30 b 1 + b 2 = 30 b 1 b 2 = 144. b_1b_2 = 144. b 1 b 2 = 144. b 2 = 30 − b 1 , b_2 = 30 - b_1, b 2 = 30 − b 1 , b 1 ( 30 − b 1 ) = 144 , b_1(30 - b_1) = 144, b 1 ( 30 − b 1 ) = 144 , b 1 2 − 30 b 1 + 144 = 0 , b_1^2 - 30b_1 + 144 = 0, b 1 2 − 30 b 1 + 144 = 0 , b 1 = 6 b_1 = 6 b 1 = 6 b 1 = 24. b_1 = 24. b 1 = 24.
6 ; 24 ; 96 ; 384 ; … ( q = 4 ) ва 24 ; 6 ; 3 2 ; 3 8 ; … ( q = 1 4 ) . 6;\ 24;\ 96;\ 384;\ \ldots \quad (q = 4) \qquad \text{ва} \qquad 24;\ 6;\ \tfrac{3}{2};\ \tfrac{3}{8};\ \ldots \quad (q = \tfrac{1}{4}). 6 ; 24 ; 96 ; 384 ; … ( q = 4 ) ва 24 ; 6 ; 2 3 ; 8 3 ; … ( q = 4 1 ) . Шарти q > 1 q > 1 q > 1 b 7 = 6 ⋅ 4 6 = 24 576 b_7 = 6 \cdot 4^6 = 24\,576 b 7 = 6 ⋅ 4 6 = 24 576
S 7 = 24 576 ⋅ 4 − 6 4 − 1 = 98 298 3 = 32 766. S_7 = \frac{24\,576 \cdot 4 - 6}{4 - 1} = \frac{98\,298}{3} = 32\,766. S 7 = 4 − 1 24 576 ⋅ 4 − 6 = 3 98 298 = 32 766. Ҷавоб: 32 766. 32\,766. 32 766.
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф 1. Маҳраҷ ва суммаи n n n
а) a 1 = 2 , a_1 = 2, a 1 = 2 , n = 7 , n = 7, n = 7 , a n = 1458 ; a_n = 1458; a n = 1458 ;
б) a 1 = 76 4 5 , a_1 = 76\dfrac{4}{5}, a 1 = 76 5 4 , n = 6 , n = 6, n = 6 , a n = −
2. Аъзои якум ва суммаи n n n
а) q = 1 1 2 , q = 1\dfrac{1}{2}, q = 1 2 1 , n = 6 , n = 6, n = 6 , a n = 2 17 32 ; a_n = 2\dfrac{17}{32}; a n = 2 32 17 ;
б) q = 4 , q = 4, q = 4 , n = 8 , n = 8, n = 8 , a n = 49 152. a_n = 49\,152. a n = 49 152.
3. Дар прогрессияи геометрии аъзояш мусбат ( b n ) (b_n) ( b n ) b 3 = 18 b_3 = 18 b 3 = 18 b 7 = 1458. b_7 = 1458. b 7 = 1458.
4. Суммаи аъзоҳои прогрессияи геометрии 1 ; 1; 1 ; b 2 ; b_2; b 2 ; b 3 ; b_3; b 3 ; b 4 ; b_4; b 4 ; b 5 ; b_5; b 5 ; b 6 ; b_6; b 6 ; 4096 4096 4096
5. Суммаи се аъзои аввалаи прогрессияи геометрӣ ба 28 28 28 b 4 , b_4, b 4 , b 5 b_5 b 5 b 6 b_6 b 6 3,5 3{,}5 3 , 5
6. Суммаи прогрессияи геометриро ёбед, ки аз ҳафт аъзо иборат аст, суммаи се аъзои аввалааш ба 26 26 26 2106 2106 2106
Дар хона 7. Аъзои аввала ва охирини прогрессияи геометриро ёбед, агар:
а) n = 9 , n = 9, n = 9 , q = 2 , q = 2, q = 2 , S n = 1533 ; S_n = 1533; S n = 1533 ;
б) n = 12 , n = 12, n = 12 , q = 2 , q = 2, q = 2 , S n = 4095. S_n = 4095. S n = 4095.
8. Чор ададеро ёбед, ки прогрессияи геометриро бо маҳраҷи q > 1 q > 1 q > 1 35 35 35 30 30 30
9. Фарқи байни аъзои дуюм ва якуми прогрессияи геометрӣ ( b n > 0 ) (b_n > 0) ( b n > 0 ) 20 20 20 140 140 140
Такрор 10. Се бригадаи коргарон дар як баст 104 детал тайёр карданд. Деталҳои бригадаи якум назар ба дуюм 12-то камтар аст. Деталҳои тайёркардаи бригадаи сеюм бошад, 5 8 \dfrac{5}{8} 8 5
11. Дар шакли бисёраъзогии стандартӣ нависед:
а) 2 x ⋅ ( x 2 − 7 x − 3 ) + 7 ; 2x \cdot (x^2 - 7x - 3) + 7; 2 x ⋅ ( x 2 − 7 x − 3 ) + 7 ;
б) 4 b 2 ⋅ ( 5 b 2 − 3 b + 2 ) + 2 ; 4b^2 \cdot (5b^2 - 3b + 2) + 2; 4 b 2 ⋅ ( 5 b 2 − 3 b + 2 ) + 2 ;
в) ( y 2 − 1,4 y + 6 ) ⋅ 1,5 y − 3 ; (y^2 - 1{,}4y + 6) \cdot 1{,}5y - 3; ( y 2 − 1 , 4 y + 6 ) ⋅ 1 , 5 y − 3 ;
г) 3 y 2 − 2 y ⋅ ( 5 + 1,5 y ) + 5 ; 3y^2 - 2y \cdot (5 + 1{,}5y) + 5; 3 y 2 − 2 y ⋅ ( 5 + 1 , 5 y ) + 5 ;
ғ) 6 x 2 − 3 x ( 2 x − 2 3 ) + 1 ; 6x^2 - 3x\left(2x - \dfrac{2}{3}\right) + 1; 6 x 2 − 3 x ( 2 x − 3 2 ) + 1 ;
д) 7 b ⋅ ( 4 c − b ) + 4 c ⋅ ( c − 7 b ) . 7b \cdot (4c - b) + 4c \cdot (c - 7b). 7 b ⋅ ( 4 c − b ) + 4 c ⋅ ( c − 7 b ) .
12. Бо ёрии формулаҳои ( a ± b ) 2 = a 2 ± 2 a b + b 2 (a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 ( a ± b ) 2 = a 2 ± 2 ab + b 2
а) 61 2 ; 61^2; 6 1 2 ;
б) 999 2 ; 999^2; 99 9 2 ;
в) 9,9 2 ; 9{,}9^2; 9 , 9 2 ;
г) 199 2 ; 199^2; 19 9 2 ;
ғ) 702 2 ; 702^2; 70 2 2 ;
д) 10,2 2 . 10{,}2^2. 10 , 2 2 .
13. Нишон диҳед, ки баробар аст:
а) 3 6 − 3 + 4 7 + 3 \dfrac{3}{\sqrt{6} - \sqrt{3}} + \dfrac{4}{\sqrt{7} + \sqrt{3}} 6 − 3 3 + 7 + 3 4 7 + 6 ; \sqrt{7} + \sqrt{6}; 7 + 6 ;
б) 3 5 − 2 + 5 7 + 2 \dfrac{3}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} + \dfrac{5}{\sqrt{7} + \sqrt{2}} 5 − 2
14. Ҳамаи қиматҳои a a a b b b
{ ( 1 + a ) ⋅ x + ( a + b ) ⋅ y = b − a , ( 5 + a ) ⋅ x + 2 ( a + b ) ⋅ y = b − 1 \begin{cases} (1 + a) \cdot x + (a + b) \cdot y = b - a, \\ (5 + a) \cdot x + 2(a + b) \cdot y = b - 1 \end{cases} { ( 1 + a ) ⋅ x + ( a + b ) ⋅ y = b − a , ( 5 + a ) ⋅ x + 2 ( a + b ) ⋅ y = b − 1 15. Нобаробарии 2 x + 2 7 − 4 x − 3 2 < 2 + 13 x 14 − 1 \dfrac{2x + 2}{7} - \dfrac{4x - 3}{2} < \dfrac{2 + 13x}{14} - 1 7 2 x + 2 − 2 4 x − 3 < 14 2 + 13 x − 1
16. Ифодаро ба намуди ҳосили зарб нависед:
а) 2 n + 4 − 2 n ; 2^{n+4} - 2^n; 2 n + 4 − 2 n ;
б) 4 n + 1 − 4 n − 1 ; 4^{n+1} - 4^{n-1}; 4 n + 1 − 4 n − 1 ;
в) 5 2 n + 5 n . 5^{2n} + 5^n. 5 2 n + 5 n .
17. Фосилаҳои афзуншавӣ ва камшавии функсияро ёбед:
а) y = − 2 x 2 + x ; y = -2x^2 + x; y = − 2 x 2 + x ;
б) y = 3 x 2 + 6 x − 15. y = 3x^2 + 6x - 15. y = 3 x 2 + 6 x − 15.
18. Экстремуми функсияи y = − 2 x 2 + 4 x − 6 y = -2x^2 + 4x - 6 y = − 2 x 2 + 4 x − 6
19. Қатораи тезгард бо сабабҳои техникӣ 16 дақиқа боздошта шуд. Бо мақсади сари вақт ба нуқтаи зарурӣ расидан, қатора 80 км-ро бо суръати нисбат ба аввала 10 км/соат зиёдтар тай кард. Суръати аввалаи қатораро ёбед.
Вазифаи хонагӣ
Машқҳои 7–19 аз қисмҳои «Дар хона» ва «Такрор».
Вазифаи онлайн оид ба мавзӯи 27 дар саҳифаи «Супоришҳо» аст, агар омӯзгор онро супорида бошад.
Хулоса
Агар q ≠ 1 , q \ne 1, q = 1 , S n = b n q − b 1 q − 1 = b 1 ( q n − 1 ) q − 1 ; S_n = \dfrac{b_nq - b_1}{q - 1} = \dfrac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}; S n = q − 1 b n q − b 1 = q − 1 b 1 ( q n − 1 ) ; q = 1 , q = 1, q = 1 , S n = n b 1 . S_n = nb_1. S n = n b 1 .
Формулаи (4) ҳангоми маълум будани b 1 , b_1, b 1 , q , q, q , n , n, n , b n b_n b n
1 + x + x 2 + … + x n − 1 = x n − 1 x − 1 , 1 + x + x^2 + \ldots + x^{n-1} = \dfrac{x^n - 1}{x - 1}, 1 + x + x 2 + … + x n − 1 = Масъаларо бо системаи муодилаҳо барои b 1 b_1 b 1 q q q
Дар ин дарс
Ман метавонам суммаи 1 + x + x 2 + … + x n − 1 1 + x + x^2 + \ldots + x^{n-1} 1 + x + x 2 + … + x n − 1 Ман метавонам масъалаҳоро бо суммаи прогрессияи геометрӣ ҳал кунам: аъзо, маҳраҷ ва шумораи аъзоҳоро аз рӯйи сумма ёбам.Ман метавонам системаро барои b 1 b_1 b 1 q q q Такрор (2 дақиқа)
Суммаи n n n S n = ? S_n = \ ? S n = ?
Суммаи 2 + 4 + 8 + 16 2 + 4 + 8 + 16 2 + 4 + 8 + 16
Муодилаи q 2 = 16 q^2 = 16 q 2 = 16
Ҷавобҳо
S n = b 1 ( q n − 1 ) q − 1 . S_n = \dfrac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}. S n = q − 1 b 1 ( q Формулаҳои мавзӯъ Барои q ≠ 1 q \ne 1 q = 1
S n = b n q − b 1 q − 1 , ( 3 ) S_n = \frac{b_nq - b_1}{q - 1}, \qquad (3) S n = q − 1 b n q − b 1 , ( 3 ) S n = b 1 ( q n − 1 ) q − 1 . ( 4 ) S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}. \qquad (4) S n = q − 1 b 1 ( q Барои q = 1 q = 1 q = 1 S n = n b 1 . S_n = nb_1. S n = n b 1 .
Дар хотир доред Агар b 1 , b_1, b 1 , q , q, q , n n n S n S_n S n
Дар хотир доред Агар аз шарт ду қимат барои q q q b 1 b_1 b 1 q > 1 , q > 1, q > 1 , b n > 0 b_n > 0 b
Калимаҳои калидӣ сумма Sₙ маҳраҷи прогрессия аъзои якум ва охирин формулаи зарби кӯтоҳ
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам? Дар кадом ҳолат формулаи (3) аз (4) қулайтар аст? Чаро барои q = 1 q = 1 q = 1
Худро арзёбӣ кунед (✓ ё ✗):
Ман метавонам формулаи суммаи n n n
Ман метавонам суммаро ҳисоб кунам ва n n n b 1 b_1 b
Кадом баробарӣ тавре дуруст аст, ки барои ҳамаи қиматҳои x x x
Як ҷавобро интихоб кунед A x 3 − 1 = ( x + 1 ) ( x 2 + x + 1 ) x^3 - 1 = (x + 1)(x^2 + x + 1) x 3 − 1 = ( x + 1 ) ( x 2 + x
B C D x
+
1 )
x 2
+
x +
1 )
x 3 +
x 2 +
x +
1 )
+
x 4 +
x 3 +
x 2 +
x +
1 )
4
=
13.
5
12 5 . a_n = -\dfrac{12}{5}. a n = − 5 12 .
3
+
7 + 5 . \sqrt{7} + \sqrt{5}. 7 + 5 . x − 1 x n − 1
,
x 2 − 1 = ( x − 1 ) ( x + 1 ) , x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1), x 2 − 1 = ( x − 1 ) ( x + 1 ) , x 3 − 1 = ( x − 1 ) ( x 2 + x + 1 ) x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) x 3 − 1 = ( x − 1 ) ( x 2 + x + 1 ) n
−
1
)
.
2 ⋅ 2 4 − 1 2 − 1 = 30. 2 \cdot \dfrac{2^4 - 1}{2 - 1} = 30. 2 ⋅ 2 − 1 2 4 − 1 = 30. n
−
1
)
.
(
4
)
n
>
0
1
Ман медонам, ки барои q = 1 q = 1 q = 1 S n = n b 1 S_n = nb_1 S n = n b 1 Ман метавонам аз ду қимати q q q b 1 b_1 b 1 n
+
1 )
x 3 − 1 = ( x − 1 ) ( x 2 − x + 1 ) x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 - x + 1) x 3 − 1 = ( x − 1 ) ( x 2 − x + 1 )
x 3 − 1 = ( x − 1 ) ( x 2 + 2 x + 1 ) x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + 2x + 1) x 3 − 1 = ( x − 1 ) ( x 2 + 2 x + 1 )
x 3 − 1 = ( x − 1 ) ( x 2 + x + 1 ) x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) x 3 − 1 = ( x − 1 ) ( x 2 + x + 1 )