26 · 1/2. Формулаи аъзои n-уми прогрессияи геометрӣ - Алгебра — синфи 9
Асосӣ Курсҳо Алгебра — синфи 9 3. Прогрессияҳо
26 · 1/2. Формулаи аъзои n-уми прогрессияи геометрӣ 1 соат
Аз b n + 1 = b n ⋅ q b_{n+1} = b_n \cdot q b n + 1 = b n ⋅ q
b 2 = b 1 q , навбатӣ 26 · 2/2. Масъалаҳо: фоизи мураккаб ва аломатҳои аъзоҳо 1 соат
b 3 = b 2 q = b 1 q 2 , b 4 = b 3 q = b 1 q 3 , b 5 = b 4 q = b 1 q 4 . b_2 = b_1 q,\qquad b_3 = b_2 q = b_1 q^2,\qquad b_4 = b_3 q = b_1 q^3,\qquad b_5 = b_4 q = b_1 q^4. b 2 = b 1 q , b 3 = b 2 q = b 1 q 2 , b 4 = b 3 q = b 1 q 3 , b 5 = b 4 q = b 1 q 4 .
Ҳар дафъа дараҷаи q q q b 1 b_1 b 1 b n b_n b n n − 1 n - 1 n − 1 q q q k k k k + 1 k + 1 k + 1 b k = b 1 q k − 1 , b_k = b_1 q^{k-1}, b k = b 1 q k − 1 , b k + 1 = b k ⋅ q = b 1 q k = b 1 q ( k + 1 ) − 1 . b_{k+1} = b_k \cdot q = b_1 q^k = b_1 q^{(k+1)-1}. b k + 1 = b k ⋅ q = b k = 1 k = 1 k = 1 (b 1 = b 1 q 0 b_1 = b_1 q^0 b 1 = b 1 q 0
Мисоли 1. Агар b 1 = 10 11 b_1 = \dfrac{10}{11} b 1 = 11 10 q = 1 2 , q = \dfrac{1}{2}, q = 2 1 , b 6 b_6 b 6
b 6 = b 1 q 5 = 10 11 ⋅ ( 1 2 ) 5 = 10 11 ⋅ 1 32 = 5 176 . b_6 = b_1 q^5 = \dfrac{10}{11} \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^5 = \dfrac{10}{11} \cdot \dfrac{1}{32} = \dfrac{5}{176}. b 6 = b 1 q 5 = 11 10 ⋅ ( 2 1 ) 5 = 11 10 ⋅ 32 1 = 176 5 . Мисоли 2. Дар прогрессияи геометрӣ b 5 = 2304 b_5 = 2304 b 5 = 2304 b 9 = 589 824. b_9 = 589\,824. b 9 = 589 824.
Аз формула: b 5 = b 1 q 4 b_5 = b_1 q^4 b 5 = b 1 q 4 b 9 = b 1 q 8 . b_9 = b_1 q^8. b 9 = b 1 q 8 .
b 9 b 5 = b 1 q 8 b 1 q 4 = q 4 = 589 824 2304 = 256. \dfrac{b_9}{b_5} = \dfrac{b_1 q^8}{b_1 q^4} = q^4 = \dfrac{589\,824}{2304} = 256. b 5 b 9 = b 1 q 4 b 1 q 8 = q 4 = 2304 589 824 = 256. Муодилаи q 4 = 256 q^4 = 256 q 4 = 256 ( q 2 − 16 ) ( q 2 + 16 ) = 0. (q^2 - 16)(q^2 + 16) = 0. ( q 2 − 16 ) ( q 2 + 16 ) = 0. q 2 + 16 > 0 , q^2 + 16 > 0, q 2 + 16 > 0 , q 2 = 16 , q^2 = 16, q 2 = 16 , q = 4 q = 4 q = 4 q = − 4. q = -4. q = − 4. b 1 = b 5 q 4 = 2304 256 = 9. b_1 = \dfrac{b_5}{q^4} = \dfrac{2304}{256} = 9. b 1 = q 4 b 5
Ду прогрессия шарти масъаларо қаноат мекунад:
q = 4 : q = 4: q = 4 : b 12 = 9 ⋅ 4 11 = 9 ⋅ 4 194 304 = 37 748 736 ; b_{12} = 9 \cdot 4^{11} = 9 \cdot 4\,194\,304 = 37\,748\,736; b 12 = 9 ⋅ 4 11 = 9 ⋅ 4 194 304 = 37 748 736 ; q = − 4 : q = -4: q = − 4 : b 12 = 9 ⋅ ( − 4 ) 11 = − 37 748 736. b_{12} = 9 \cdot (-4)^{11} = -37\,748\,736. b 12 = 9 ⋅ ( − 4 ) 11 Ин фарқи муҳим аз прогрессияи арифметикӣ аст: дар ҳолати дараҷаи ҷуфт (q 4 = 256 q^4 = 256 q 4 = 256 ҳарду аломати q q q
Мисоли 3. Пайдарпайии 3 ; b 2 ; b 3 ; 192 3;\ b_2;\ b_3;\ 192 3 ; b 2 ; b 3 ; 192 b 2 b_2 b 2 b 3 b_3 b 3 b 4 = b 1 q 3 b_4 = b_1 q^3 b 4 = b 1 q 3 192 = 3 q 3 , 192 = 3q^3, 192 = 3 q 3 , q 3 = 64 , q^3 = 64, q 3 = 64 , q = 4 q = 4 q = 4 b 2 = 3 ⋅ 4 = 12 , b_2 = 3 \cdot 4 = 12, b 2 = 3 ⋅ 4 = 12 , b 3 = 3 ⋅ 4 2 = 48. b_3 = 3 \cdot 4^2 = 48. b 3 = 3 ⋅ 4 2 = 48.
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф 1. Пайдарпайии ( c n ) (c_n) ( c n ) c 1 c_1 c 1 q q q c 1 c_1 c 1 q q q
а) c 16 ; c_{16}; c 16 ;
б) c 30 ; c_{30}; c 30 ;
в) c 126 ; c_{126}; c 126 ;
г) c k ; c_k; c k ;
ғ) c k + 8 ; c_{k+8}; c k + 8 ;
д) c 2 k ; c_{2k}; c 2 k ;
е) 3 ⋅ c 41 ; 3 \cdot c_{41}; 3 ⋅ c 41 ;
ё) 2 ⋅ c 81 ; 2 \cdot c_{81}; 2 ⋅ c 81 ;
ж) c 5 ⋅ c 17 ; c_5 \cdot c_{17}; c 5 ⋅ c 17 ;
з) c 7 ⋅ c k ; c_7 \cdot c_k; c 7 ⋅ c k ;
и) c 19 : c 12 + c 1 ; c_{19} : c_{12} + c_1; c 19 : c 12 + c 1 ;
к) c 7 + c 21 . c_7 + c_{21}. c 7 + c 21 .
2. Пайдарпайии ( x n ) (x_n) ( x n )
а) x 1 = 160 x_1 = 160 x 1 = 160 q = 1 2 q = \dfrac{1}{2} q = 2 1 x 8 x_8 x 8
б) x 1 = − 810 x_1 = -810 x 1 = − 810 q = 1 9 q = \dfrac{1}{9} q = 9 1 x 4 x_4
в) x 1 = 2 2 x_1 = 2\sqrt{2} x 1 = 2 2 q = − 2 q = -\sqrt{2} q =
г) x 1 = 12 500 x_1 = 12\,500 x 1 = 12 500 q = 0,2 q = 0{,}2 q = 0 , 2 x 8 x_8 x 8
ғ) x 1 = 17 x_1 = 17 x 1 = 17 q = − 2 q = -2 q = − 2 x 9 x_9 x 9
д) x 1 = 10 x_1 = 10 x 1 = 10 q = 5 q = 5 q = 5 x 11 x_{11} x 11
е) x 1 = − 1 10 x_1 = -\dfrac{1}{10} x 1 = − 10 1 q = 10 q = 10 q = 10 x 5 x_5
ё) x 1 = 2 3 x_1 = \dfrac{2}{3} x 1 = 3 2 q = 3 2 q = \dfrac{3}{2} q = 2
ж) x 1 = 9 4 x_1 = \dfrac{9}{4} x 1 = 4 9 q = 2 3 q = \dfrac{2}{3} q = 3
з) x 1 = 1,8 x_1 = 1{,}8 x 1 = 1 , 8 q = 2 3 q = \dfrac{2}{\sqrt{3}} q = 3
3. Прогрессияи геометрии ( b n ) (b_n) ( b n )
а) b 8 = 27 , b_8 = 27, b 8 = 27 , q = 3 ; q = 3; q = 3 ;
б) b 9 = 21 875 32 , b_9 = \dfrac{21\,875}{32}, b 9 = 32 21 875 , q = − 2 1 2 ; q = -2\dfrac{1}{2}; q = − 2 2 1 ;
в) b 7 = 2 , b_7 = 2, b 7 = 2 , q = − 3 ; q = -3; q = − 3 ;
г) b 4 = 1 2 , b_4 = \dfrac{1}{2}, b 4 = 2 1 , q = − 4 ; q = -4; q = − 4 ;
ғ) b 9 = 18 , b_9 = 18, b 9 = 18 , q = 3 ; q = 3; q = 3 ;
д) b 2 = 8 , b_2 = 8, b 2 = 8 , q = − 1 ; q = -1; q = − 1 ;
е) b 6 = 0,32 , b_6 = 0{,}32, b 6 = 0 , 32 , q = 0,2 ; q = 0{,}2; q = 0 , 2 ;
ё) b 5 = 14 641 , b_5 = 14\,641, b 5 = 14 641 , q = 11 q = 11 q = 11
бошад, аъзои якуми прогрессияро ёбед.
4. Прогрессияи геометрии ( c n ) (c_n) ( c n )
а) c 3 = − 2 3 , c_3 = -\dfrac{2}{3}, c 3 = − 3 2 , c 5 = − 6 ; c_5 = -6; c 5 = − 6 ;
б) c 10 = 3,24 , c_{10} = 3{,}24, c 10 = 3 , 24 , c 8 = 9 ; c_8 = 9; c 8 = 9 ;
в) c 3 = 20 , c_3 = 20, c 3 = 20 , c 6 = − 160 ; c_6 = -160; c 6 = − 160 ;
г) c 4 = 192 , c_4 = 192, c 4 = 192 , c 10 = 786 432 c_{10} = 786\,432 c 10 = 786 432
бошад, махраҷи прогрессияро ёбед.
Дар хона 5. Аъзои ҳафтум ва n n n
а) − 2 ; 6 ; − 18 ; 54 ; … -2;\ 6;\ -18;\ 54;\ \ldots − 2 ; 6 ; − 18 ; 54 ; …
б) 80 ; 40 ; 20 ; 10 ; … 80;\ 40;\ 20;\ 10;\ \ldots 80 ; 40 ; 20 ; 10 ; …
в) 0,125 ; 0,25 ; … 0{,}125;\ 0{,}25;\ \ldots 0 , 125 ; 0 , 25 ; …
г) − 12 ; 12 ; − 12 ; 12 ; … -12;\ 12;\ -12;\ 12;\ \ldots − 12 ; 12 ; − 12 ; 12 ; …
ғ) 4 ; − 8 ; 16 ; − 32 ; … 4;\ -8;\ 16;\ -32;\ \ldots 4 ; − 8 ; 16 ; − 32 ; …
д) 5 ; 1 5 ; 1 125 ; … 5;\ \dfrac{1}{5};\ \dfrac{1}{125};\ \ldots 5 ; 5 1 ; 125 1 ; …
е) 1 2 ; − 1 8 ; 1 32 ; … \dfrac{1}{2};\ -\dfrac{1}{8};\ \dfrac{1}{32};\ \ldots 2 1 ; − 8 1 ; 32
ё) a ; 3 a 2 ; 9 a 3 ; … a;\ 3a^2;\ 9a^3;\ \ldots a ; 3 a 2 ; 9 a 3 ; …
6. Пайдарпайии ( b n ) (b_n) ( b n )
а) b 2 = 25 b_2 = 25 b 2 = 25 b 4 = 1 b_4 = 1 b 4 = 1 b 6 b_6 b 6
б) b 1 = − 2 9 b_1 = -\dfrac{2}{9} b 1 = − 9 2 b 5 = − 18 b_5 = -18 b 5 =
в) b 4 = − 1 b_4 = -1 b 4 = − 1 b 6 = − 100 b_6 = -100 b 6 = − 100 b 1 b_1 b
г) b 5 = 324 b_5 = 324 b 5 = 324 b 7 = 2916 b_7 = 2916 b 7 = 2916 b 10 b_{10} b
ғ) b 3 = 0,048 b_3 = 0{,}048 b 3 = 0 , 048 b 5 = 0,00192 b_5 = 0{,}00192 b 5 = 0 , 00192 b 8 b_8 b
Вазифаи хонагӣ
Машқҳои 5 ва 6 аз қисми «Дар хона».
Вазифаи онлайн оид ба мавзӯи 26 дар саҳифаи «Супоришҳо» аст, агар омӯзгор онро супорида бошад (он дар соати дуюми ин мавзӯъ меояд).
Дар ин дарс
Ман медонам формулаи аъзои n n n Ман метавонам аъзои дилхоҳро аз рӯйи b 1 b_1 b 1 q q q Ман метавонам дарк кунам, ки аз ду аъзо баъзан ду прогрессия ҳосил мешавад (q = ± q = \pm q = ± Такрор (2 дақиқа)
b 1 = 5 , b_1 = 5, b 1 = 5 , q = 2. q = 2. q = 2. b 2 , b_2, b 2 , b 3 , b_3, b 3 , b 4 b_4 b 4 Ҳисоб кунед: 2 5 , 2^5, 2 5 , ( − 2 ) 3 , (-2)^3, ( − 2 ) 3 , ( − 3 ) 4 . (-3)^4. ( − 3 ) 4 .
Муодилаи q 2 = 16 q^2 = 16 q 2 = 16 q 3 = 27 q^3 = 27 q 3 = 27
Ҷавобҳо
10 ; 20 ; 40. 10;\ 20;\ 40. 10 ; 20 ; 40. 32 ; − 8 ; 81. 32;\ -8;\ 81. 32 ; − 8 ; 81. q = ± 4 ; q = \pm 4; q = ± 4 ; q = 3. q = 3. q = Вазъият барои андешаронӣ Дар прогрессияи арифметикӣ a n = a 1 + ( n − 1 ) d a_n = a_1 + (n - 1)d a n = a 1 + ( n − 1 ) d a 1 a_1 a 1 n − 1 n - 1 n − 1 d d d b n + 1 = b n ⋅ q . b_{n+1} = b_n \cdot q. b n + 1 = b n ⋅ q . b n b_n b n
Теорема Аъзои n n n
b n = b 1 ⋅ q n − 1 . ( 1 ) b_n = b_1 \cdot q^{n-1}. \qquad (1) b n = b 1 Дар хотир доред Агар b k b_k b k b n b_n b n b n b k = q n − k . \dfrac{b_n}{b_k} = q^{n-k}.
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам? Чаро дар формулаи b n = b 1 q n − 1 b_n = b_1 q^{n-1} b n = b 1 q n
Дар прогрессияи геометрӣ b 2 = 4 b_2 = 4 b 2 = 4 b 4 = 16. b_4 = 16. b 4 = 16.
Як ҷавобро интихоб кунед A як: q = 4 q = 4 q =
B C D чор 1
q k
=
b 1 q ( k + 1 ) − 1 .
=
256 2304 =
9.
=
− 37 748 736.
x 4
−
x 5
3
2
2
1
;
…
− 18
1
10
8
3.
⋅
q n − 1 . ( 1 )
Умумитар: b n = b k ⋅ q n − k . b_n = b_k \cdot q^{n-k}. b n = b k ⋅ q n − k .
b k
b n
=
q n − k .
−
1
4
ду: q = 2 q = 2 q = 2 q = − 2 q = -2 q = − 2