28 · 2/2. Касрҳои даврии даҳӣ

Касрҳои даврии даҳӣ

Ҳар як адади ратсионалӣ $\dfrac{m}{n}$ ($m$ — бутун, $n$ — натуралӣ)-ро бо тақсимкунии «кунҷ» ба намуди касри даҳии беохир навиштан мумкин аст. Ин каср даврӣ мешавад: баъд аз як андоза рақамҳои такроршаванда — давр — пайдо мешавад. Масалан, $\dfrac{1}{3} = 0{,}(3),$ $\dfrac{1}{6} = 0{,}1(6),$ $\dfrac{3}{7} = 0{,}(428571).$ Сабаб: ҳангоми тақсимкунӣ бо $n$ танҳо $n$ боқимонда имконпазир аст, пас баъди чанд қадам боқимонда такрор мешавад — ва рақамҳо низ.

Баръакс: ҳар як касри даврии даҳии беохир адади ратсионалӣ аст. Инро бо суммаи прогрессияи геометрии беохири камшаванда нишон медиҳем.

Давр дарҳол баъд аз вергул

Бигзор $B = 0{,}(df)$ — касри даврӣ бо давраи ду рақамӣ $df.$ Онро чун сумма менависем:

$$B = 0{,}df + 0{,}00df + 0{,}0000df + \ldots$$

Ҷамъшавандаҳо прогрессияи геометриро бо $b_1 = 0{,}df$ ва $q = 0{,}01 < 1$ ташкил медиҳанд. Аз формулаи (2):

$$B = \frac{0{,}df}{1 - 0{,}01} = \frac{0{,}df}{0{,}99} = \frac{df}{99}.$$

Ба ҳамин монанд, агар давр аз $k$ рақам иборат бошад, $q = 10^{-k}$ аст ва касри даврӣ ба $\dfrac{\text{давр}}{99\ldots9}$ баробар мешавад нӯҳ).

Пеш аз давр рақамҳо ҳастанд

Бигзор $A = 0{,}abc(df)$ — се рақам пеш аз давр (ва давраи $df$). Азбаски $A = 0{,}abc + 0{,}000(df),$ ва ҳосил мекунем:

$$A = \frac{abc}{1000} + \frac{df}{99\,000} = \frac{99 \cdot abc + df}{99\,000} = \frac{abcdf - abc}{99\,000}.$$

(Охирин баробарӣ аз $abcdf = 100 \cdot abc + df$ меояд.) Ин қоидаест, ки аз синфи 8 маълум аст.

Мисоли 2. $0{,}(81)$-ро ба касри одӣ менависем. Ин адад суммаи $0{,}81 + 0{,}0081 + 0{,}000081 + \ldots$ аст: прогрессияи беохири камшаванда бо $b_1 = 0{,}81$ ва Пас

$$0{,}(81) = \frac{0{,}81}{1 - 0{,}01} = \frac{81}{99} = \frac{9}{11}.$$

Мисоли 3. Бо қоида: $0{,}3(45) = \dfrac{345 - 3}{990} = \dfrac{342}{990} = \dfrac{19}{55}.$ Дар маҳраҷ: давр ду рақам — ду нӯҳ пеш аз давр як рақам — як нул

Масъалаҳо бо суммаи беохир

Мисоли 4. Суммаи прогрессияи беохири камшавандаро меёбем, агар суммаи аъзои якум ва чорум ба $54$ ва суммаи аъзои дуюм ва сеюм ба $36$ баробар бошад.

Аз шарт: $b_1 + b_4 = 54$ ва $b_2 + b_3 = 36.$ Ҳар аъзоро ба воситаи ва менависем:

$$\begin{cases} b_1(1 + q^3) = 54, \\ b_1q(1 + q) = 36. \end{cases}$$

Муодилаи якумро ба дуюм тақсим мекунем. Азбаски $1 + q^3 = (1 + q)(1 - q + q^2),$ ҳосил мешавад:

$$\frac{1 - q + q^2}{q} = \frac{3}{2}, \qquad 2q^2 - 5q + 2 = 0, \qquad q = 2 \ \text{ё} \ q = \frac{1}{2}.$$

Прогрессияи беохири камшаванда $|q| < 1$-ро талаб мекунад, пас $q = \dfrac{1}{2}.$ Аз муодилаи якум: $b_1 \cdot \dfrac{9}{8} = 54,$ Суммаи матлуб:

$$S = \frac{48}{1 - \frac{1}{2}} = 96.$$

Мисоли 5. Суммаи прогрессияи беохири $25;\ -5;\ 1;\ -\dfrac{1}{5};\ \dfrac{1}{25};\ -\dfrac{1}{125};\ \ldots$⁠-ро меёбем. Маҳраҷ пас прогрессия камшаванда аст ва

$$S = \frac{25}{1 - \left(-\frac{1}{5}\right)} = \frac{25}{\frac{6}{5}} = \frac{125}{6} = 20\frac{5}{6}.$$

Кор дар синф

Машқҳо

Дар синф

1. Суммаи аъзоҳои прогрессияи геометрии беохири камшаванда ба $56$ ва суммаи квадратҳои ҳамон аъзоҳо ба $448$ баробар аст. Аъзои якум ва маҳраҷи прогрессияро ёбед.

2. Прогрессияи геометрии беохири $(b_n)$-ро бо маҳраҷи $|q| < 1$ ёбед, агар аъзои дуюмаш ба $6$ ва суммааш ба ҳаштяки суммаи квадратҳои аъзоҳояш баробар бошад. Дар ҷавоб (агар прогрессия мавҷуд бошад) се аъзои аввалашро нависед.

3. Аъзои панҷуми прогрессияи геометрии беохири камшавандаро ёбед, агар маҳраҷаш ба $\dfrac{1}{8}$ ва суммааш ба $3\dfrac{3}{7}$ баробар бошад.

4. Суммаи прогрессияи геометрии камшавандаи беохир ба $25$ ва суммаи ду аъзои аввалааш ба $9$ баробар аст. Прогрессияро ёбед.

Дар хона

5. Маҳраҷи прогрессияи геометрии беохири камшавандаро ёбед, агар аъзои якумаш ба $2$ ва сечандаи суммааш ба $10$ баробар бошад.

6. Ададҳоро ба намуди касри одӣ нависед:

• а) $0{,}(8);$
• б) $0{,}(3);$
• в) $0{,}(26);$
• г) $2{,}(71);$
• ғ) $0{,}2(3);$

Такрор

7. Амалҳоро иҷро кунед:

• а) $\dfrac{2y^3 + 2y^2}{y^4 + y^3 + y^2} \cdot \dfrac{y^3 + y^2 + y}{4y^4 + 4y^3};$

8. Исбот кунед, ки барои $a > 0$ ва $b > 0$ нобаробарии $\dfrac{a}{b^2} + \dfrac{b}{a^2} \ge \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}$ ҷой дорад.

9. Маҳраҷро аз радикал озод намоед:

• а) $\dfrac{4}{3 - \sqrt{3}};$
• б) $\dfrac{5}{3 + \sqrt{3}};$

10. Ҷуфт ва тоқ будани функсияҳоро муайян кунед:

• а) $f(x) = x^3 - 3x;$
• б) $f(x) = x^4 - 8x^2;$

11. Периметри росткунҷа ба $8$ см баробар аст. Масоҳати росткунҷаро чун функсияи тарафи он ифода кунед.

12. Суръати ҳаракати катер ба муқобили ҷараёни оби дарё $20{,}1$ км/соат ва суръати оби дарё $1{,}5$ км/соат аст. Суръати катерро дар оби ором ва дар самти ҷараёни дарё ҳисоб кунед.

13. Графики функсияҳои $y = 2x^2 - 5$ ва $y = 2x^2 + 3x - 5$-ро дар як ҳамвории координатавӣ созед.

14. Нобаробариро ҳал кунед:

• а) $3x^2 - 7x + 4 < 0;$
• б) $-3x^2 + 27 \ge 0.$

Вазифаи хонагӣ

• Машқҳои 5–14 аз қисмҳои «Дар хона» ва «Такрор».
• Вазифаи онлайн оид ба мавзӯи 28 дар саҳифаи «Супоришҳо» аст, агар омӯзгор онро супорида бошад.

Хулоса

• Агар $|q| < 1,$ прогрессия беохир камшаванда аст ва суммаи он $S = \dfrac{b_1}{1 - q}$ аст; агар суммаи беохир вуҷуд надорад.