28 · 1/2. Прогрессияи геометрии беохири камшаванда - Алгебра — синфи 93. Прогрессияҳо
28 · 1/2. Прогрессияи геометрии беохири камшаванда
1 соат
- Назария
- Дарси 17 аз 24
- Хониш: 9 дақиқа
- Саволҳо: 5
Прогрессияи геометрии беохири камшаванда
Дар соатҳои гузашта мо аъзо ва суммаи n аъзои прогрессияи геометриро меёфтем. Акнун мепурсем: агар маҳраҷ ба 0 наздик бошад (аъзоҳо тез хурд мешаванд), суммаи ҳамаи аъзоҳо чӣ мешавад?
Масалан, 1; 71; — прогрессияи геометрии беохири камшаванда, зеро Пайдарпайии низ чунин аст: Аъзоҳои ин прогрессияҳо аз рӯйи қимати мутлақ хурд мешаванд ва ба нул наздик мешаванд, ҳатто агар аломаташон иваз шавад (ба мисли
навбатӣ28 · 2/2. Касрҳои даврии даҳӣ
1 соат
721
;
731
;
…
q=71<1. −1; 61; −621; 631; … q=−61, ∣q∣=61<1. q=−61). Мисол бо порча
Порчаи AB=1 дода шудааст. B1 — миёнаҷои AB, B2 — миёнаҷои B1B, B3 — миёнаҷои B2B ва ҳамин тавр давом медиҳем.
Дарозии порчаҳои AB1, B1B2, B2B3, … прогрессияи геометрии беохирро бо b1=21 ва q=21 ташкил медиҳанд:
21; 41; 81; 161; 321; …(1) Суммаи n аъзои аввалаи он аз формулаи (4) ҳосил мешавад:
Sn=21−121[(21)n−1]=1−2n1. Ҳангоми зиёд шудани n касри 2n1 хеле хурд мешавад:
- n=5: 251=321≈0,03;
- n=10: 2101=1024
- n=20: 2201=
Пас Sn=1−2n1 ба 1 наздик мешавад ва аз 1 ҳеҷ гоҳ зиёд намешавад. Адади 1-ро суммаи прогрессияи беохири (1) меноманд ва менависанд:
21+41+81+161+…=1. Маънои геометрии ин: суммаи дарозии порчаҳои AB1, B1B2, B2B3, … ба дарозии AB баробар аст.
Барои прогрессияи дилхоҳ бо ∣q∣<1 суммаи n аъзо:
Sn=q−1b1(qn−1)=1−qb1−b1qn=1−qb1−1−qb1⋅qn. Агар ∣q∣<1, дараҷаи qn ҳангоми зиёд шудани n ба нул наздик мешавад. Масалан, барои q=0,9:
| n | 10 | 50 | 100 |
|---|
| 0,9n | ≈0,35 | ≈0,005 | ≈0,00003 |
Дар ин ҷо мо инро бо мисолҳои ададӣ нишон медиҳем (исботи пурраи он дар курси олӣ меояд). Пас ҳосили зарби 1−qb1⋅qn низ ба нул наздик мешавад ва Sn ба адади 1−qb1 наздик мешавад.
Худатон санҷед: аъзоҳоро яке-яке илова кунед ва бубинед, ки суммаҳои қисмӣ ба S наздик мешаванд.
Суммаҳои қисмӣ ба S наздик мешавандсанҷида бин! Мисоли 1. Квадрати тарафаш a см дода шудааст. Миёнаҷои тарафҳои он қуллаҳои квадрати дуюм, миёнаҷои тарафҳои квадрати дуюм қуллаҳои квадрати сеюм мебошанд ва ҳамин тавр давом медиҳем. Суммаи масоҳати ҳамаи квадратҳоро меёбем.
Ҳал. Масоҳати квадрати навбатӣ нисфи масоҳати квадрати пешоянд аст: чор секунҷаи росткунҷаи баробарпаҳлӯ бурида мешавад ва нисфи квадрат мемонад. Масоҳатҳо прогрессияи геометриро бо b1=a2 ва q=21<1 ташкил медиҳанд. Суммаи онҳо:
S=1−21a2=a2:21=2a2 (см2). Мисоли 2. Суммаи 24−12+6−3+…-ро меёбем. Дар ин ҷо b1=24, q=−21, ∣q∣<1:
S=1−(−21)24=2324=16. Суммаҳои қисмӣ 24, 12, 18, 15, … дар ду тарафи 16 «меларзанд» ва ба он наздик мешаванд.
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф
1. Иҷрои шарти ∣q∣<1-ро барои прогрессияи геометрии зерин санҷида, суммаашро ёбед:
- а) 27; 9; 3; 1; …;
- б) −8; 2; −21; 81; …;
- в) 4; 54; 254;
- г) −3; 3; −1;
- ғ) 42; 2;
- д) 15; 35; 3;
- е) 2−12
- ё) 3(3−
- ж) 32; −322;
- з) 16; 4; 1; 41; …
- и) −6; −2; −32; …;
- к) 5; −1; 51; −
2. Суммаи прогрессияи геометрии беохирро ёбед:
- а) −24; 6; −23; 83; …;
- б) −1; 32; −94;
- в) a1; 1; a; a2;
- г) −a1; 1; −a; a2
3. Суммаи прогрессияи геометрии беохири камшавандаи аъзояш мусбатро ёбед, агар аъзои якумаш ба 4 ва фарқи байни аъзои сеюм ва панҷумаш ба 8132 баробар бошад.
4. Дар дохили давраи радиусаш ба R см баробар секунҷаи мунтазам чунон кашида шудааст, ки қуллаҳояш дар давра мехобанд. Дар дохили секунҷаи мунтазам давраи дарункашидашудаи секунҷа сохта шудааст. Дар дохили давраи дарункашидашуда боз секунҷаи нави мунтазами қуллаҳояш дар давра воқеъгардида кашида шудааст ва ин амал беохир давом мекунад. Суммаи дарозии давраҳо ва суммаи масоҳати доираҳоро ёбед.
Дар хона
- а) 1+(32)2+(32)4+(32)6+…;
- б) −a21+a−a4+a
- в) 1−43+169−
- г) 5+1+51+251+
- ғ) 12+8+316+932+
- д) 1−111+1211−
6. Дар дохили квадрат доираи дарункашидашуда сохта шудааст. Дар дохили ин доира квадрати нав чунон кашида шудааст, ки қуллаҳояш дар давраи доира мехобанд. Дар дохили квадрати дуюм боз доираи дарункашидашуда сохта мешавад ва ҳамин тавр беохир давом мекунад. Агар тарафи квадрати якум ба b см баробар бошад, суммаи масоҳати ҳамаи доираҳо ба чанд баробар мешавад?
Вазифаи хонагӣ
- Машқҳои 5–6.
- Вазифаи онлайн оид ба мавзӯи 28 дар саҳифаи «Супоришҳо» аст, агар омӯзгор онро супорида бошад; он ба соати дуюми мавзӯъ — 28 · 2/2 — мансуб аст.
Дар ин дарс
- Ман медонам таърифи прогрессияи геометрии беохири камшаванда (∣q∣<1).
- Ман метавонам суммаи онро бо формулаи S=1−qb1 ёбам.
- Ман медонам, ки барои ∣q∣≥1 суммаи беохир вуҷуд надорад.
Такрор (2 дақиқа)
- Маҳраҷи прогрессияи 8; 4; 2; …-ро ёбед.
- Маҳраҷи прогрессияи 9; −3; 1; …-ро ёбед.
- Кадом адад калонтар аст: (21)3 ё (21)10?
Ҷавобҳо
- q=4:8=21. 2) q=− 3) калонтар аст: ҳар қадар дараҷа калон бошад, адад хурдтар мешавад.
Вазъият барои андешаронӣПорчаи AB-ро ду баробар мекунем ва нисфи якумро гирифта мемонем. Баъд нисфи боқимондаро боз ду баробар мекунем ва ҳамин тавр беохир давом медиҳем. Агар ҳамаи порчаҳои гирифташударо ҷамъ кунем, суммаашон чанд мешавад? Оё он метавонад аз дарозии AB зиёд шавад?
ТаърифПрогрессияи геометрии b1; b2; b3; …; bn; …, ки маҳраҷаш шарти ∣q∣<1-ро қонеъ мекунад, прогрессияи геометрии беохири камшаванда номида мешавад.
Порчаи AB-ро пай дар пай ду баробар мекунем: AB₁ = 1/2, B₁B₂ = 1/4, B₂B₃ = 1/8, …ҚоидаСуммаи прогрессияи геометрии беохири камшаванда (∣q∣<1):
S=1−qb 
Масоҳати ҳар квадрати навбатӣ нисфи масоҳати квадрати пешоянд: a², a²/2, a²/4, …Прогрессияи геометрии 1; 2; 4; 8; … суммаи беохир дорад ва он ба 1−21=−1 баробар аст.
Кадоме аз прогрессияҳои геометрии зерин беохир камшаванда аст?
Як ҷавобро интихоб кунед
1
≈
0,001;
1
048
576
1
≈
0,000001.
1254;
;
2
1
;
;
+
1
;
2−21; 2
)
;
33−23; 33−2; 332;
−342; ;
5
2
1
;
278;
…
;
7
−
a10+
…
6427
+
…;
…
;
…
;
13311
+
….
3
:
9=
−31.
(21)3=81
1
.
(
2
)
Ин суммаро ҳамчун b1+b1q+b1q2+…=1−qb1 менависанд.
Агар ∣q∣≥1, суммаҳои қисмӣ ба ягон адад наздик намешаванд: прогрессия суммаи беохир надорад.
2
;
…
5; 5; 5; 5; …
7; −7; 7; −7; …