24 · 1/2. Формулаи суммаи n аъзои прогрессияи арифметикӣ - Алгебра — синфи 93. Прогрессияҳо
24 · 1/2. Формулаи суммаи n аъзои прогрессияи арифметикӣ
1 соат
- Назария
- Дарси 6 аз 24
- Хониш: 11 дақиқа
- Саволҳо: 5
Суммаи прогрессия: ғояи асосӣ
Суммаи ададҳои ҷуфтро аз 2 то 50 ёфтан лозим аст:
S=2+4+6+…+46+48
навбатӣ24 · 2/2. Татбиқи формулаи сумма
1 соат
+
50.
Онро дар ду тартиб менависем — бо тартиби афзуншавӣ ва камшавӣ — ва аъзо ба аъзо ҷамъ мекунем (Расми 1):
2S=(2+50)+(4+48)+(6+46)+…+(48+4)+(50+2). Дар тарафи рост 25 ҷуфт аст ва ҳар кадоме ба 52 баробар. Пас 2S=52⋅25, яъне S=26⋅25=650.
Ин тасодуф нест: дар ҳар прогрессияи арифметикӣ суммаи аъзоҳои аз канорҳо баробардур як хел аст.
Исбот. Аз формулаи аъзои n-ум: ak=a1+(k−1)d ва an−k+1=a1+(n−k)d. Ҷамъ мекунем:
ak+an−k+1=2a1+(k−1+n−k)d=2a1+(n−1)d=a1+(a1+(n−1)d)=a1+an. Акнун Sn=a1+a2+…+an-ро дар ду тартиб менависем:
Sn=a1+a2+a3+…+an−1+an, Sn=an+an−1+an−2+…+a2+a1. Ҷамъ мекунем: дар тарафи рост n қавс аст ва ҳар кадоме ба a1+an баробар аст (хосияти боло):
2Sn=(a1+an)⋅n. Формулаи (1)-ро риёзидони қадимаи юнонӣ Диофант (асри III) медонист. Агар an=a1+(n−1)d-ро ба (1) гузорем, формулаи дуюм ҳосил мешавад:
Sn=22a1+(n−1)d⋅n.(2) Формулаи (2) суммаро аз рӯйи a1, d ва n медиҳад — вақте an маълум нест.
Мисолҳо
Мисоли 1. Суммаи панҷоҳ аъзои аввалаи прогрессияи 5; 9; 13; 17; 21; …-ро меёбем. d=4, a50=5+49⋅4=201. Бо формулаи (1):
S50=25+201⋅50=206⋅25=5150. Мисоли 2. Суммаи чил аъзои аввалаи пайдарпайии an=9n−14-ро меёбем. Ин прогрессия аст (d=9). a1=−5, a40=346.
S40=2−5+346⋅40=341⋅20=6820. Мисоли 3. Суммаи 1+2+3+…+n-ро меёбем. Ин ҷо a1=1, an=n, пас
1+2+…+n=2n(n+1). Масалан, 1+2+…+100=2100⋅101=5050. Ин суммаро риёзидони машҳури олмонӣ Карл Фридрих Гаусс (1777–1855) ҳанӯз дар синфи хурд тақрибан дар як дақиқа ҳисоб карда буд: ҷуфтҳои 1+100, 2+99, … ҳама ба 101 баробаранд ва 50 ҷуфт аст.
Мисоли 4. Суммаи ҳамаи ададҳои натуралии ба 9 каратии аз 500 калоннашударо меёбем. Ин ададҳо an=9n мебошанд (d=9). Аз 9n≤500 ҳосил мешавад n≤55,5, яъне 55 адад: a1=9, a55=495.
S55=29+495⋅55=252⋅55=13860. Суммаи прогрессия: ҷуфтҳосанҷида бин! Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф
1. Суммаи понздаҳ аъзои аввалаи прогрессияи арифметикии (an)-ро ёбед, агар a1=7 ва d=−3 бошад.
2. Пайдарпайии (xn) дода шудааст. Агар
- а) xn=4n+12;
- б) xn=2n+13;
- в) xn=n−8;
- г) xn=−3n+5
бошад, суммаи панҷоҳ, сад ва n аъзои аввалаи онро ёбед.
- а) суммаи ҳамаи ададҳои натуралиеро, ки аз 250 калон нестанд;
- б) суммаи ҳамаи ададҳои натуралиро аз 80 то 180;
- в) суммаи ҳамаи ададҳои натуралии ба 3 каратиро, ки аз 800 калоннабошанд;
- г) суммаи ҳамаи ададҳои натуралии ба 6 каратиро, ки аз 180 калоннабошанд;
- ғ) суммаи ҳамаи ададҳои натуралии ба 9 каратиро, ки аз 210 калоннабошанд;
- д) суммаи ҳамаи ададҳои дурақамаро, ки ба 4 тақсим мешаванд ва бақияашон 1 аст;
- е) суммаи a11+a12+…+a44-ро, ки аъзояш аст.
4. Прогрессияи арифметикиеро ёбед, ки дар он чӣ қадар аъзоҳояшро нагирем, ҳамеша суммаашон ба сечанди квадрати шумораи ин аъзоҳо баробар аст.
Дар хона
- а) 2+4+6+…+(2n−2)+2n+(2n+2);
- б) 1+3+5+…+(2n−3)+(2n−1)+
6. Прогрессияи арифметикии (an) дода шудааст. Агар
- а) a2=13 ва d=3 бошад, a15+a16+…+a30-ро ёбед;
- б) a1=21 ва a2=20,5 бошад, -ро ёбед;
- в) a8=14 ва a19=−35,5 бошад, S-ро ёбед;
- г) a1=4,2 ва a12=18,5 бошад, -ро ёбед.
Вазифаи хонагӣ
- Машқҳои 5 ва 6 аз қисми «Дар хона».
- Вазифаи онлайн оид ба мавзӯи 24 дар саҳифаи «Супоришҳо» аст, агар омӯзгор онро супорида бошад (он дар соати дуюми ин мавзӯъ меояд).
Дар ин дарс
- Ман медонам ду формулаи суммаи n аъзои аввалаи прогрессияи арифметикӣ ва исботи онҳоро.
- Ман метавонам суммаро аз рӯйи a1, an ва n ё аз рӯйи a1, d ва n ҳисоб кунам.
- Ман метавонам суммаи ададҳои натуралии ба k каратиро бо формула ёбам.
Такрор (2 дақиқа)
- Ҳисоб кунед: 1+9, 2+8, 3+7. Чӣ мебинед?
- Дар прогрессия a1=4, d=3. Аъзои a10-ро ёбед.
- Ададҳои ба 5 каратии аз 50 калоннашударо нависед. Онҳо чандто мешаванд?
Ҷавобҳо
- Ҳар сумма 10 аст. 2) a10=4+27=31. 3) 5; 10; … — даҳто.
Вазъият барои андешаронӣЧӣ тавр суммаи 1+2+3+…+100-ро зуд ҳисоб кардан мумкин аст? Ададҳоро ҷуфт-ҷуфт гурӯҳбандӣ кунед: аввалин бо охиринаш, дуюм бо охирини пешоянда.
Расми 1. Сумма аз аввал ва аз охир: ҳар як сутун ба 52 баробар аст.ХосиятДар прогрессияи арифметикии a1, a2, …, a барои ҳар :
ТеоремаСуммаи n аъзои аввалаи прогрессияи арифметикӣ:
Sn=2a Дар хотир доредАгар an маълум бошад (ё ёфтан осон бошад) — формулаи (1); агар an маълум набошад, лекин a1 ва маълуманд — формулаи (2). Шумораи аъзоҳоро аз меёбем.
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам?Чаро дар суммаи Sn ҳамаи n ҷуфт якхела суммаи a1-ро медиҳанд? Кай формулаи (1)-ро ва кай (2)-ро интихоб мекунед?
Формулаи дурусти суммаи n аъзои аввалаи прогрессияи арифметикӣ аз рӯйи a1, d, n кадом аст?
Як ҷавобро интихоб кунед an=7n
(
2
n
+
1).
a
6
+
a7+
…+
a25
20
S
15
;
50
n
k=1, 2, …, n ak+an−k+1=a1+an.
1
+
an
⋅
n.(1)
Яъне суммаи прогрессияи охирнок ба ҳосили зарби нимсуммаи аъзоҳои канорӣ бар шумораи аъзоҳо баробар аст.
an=a1+(n−1)d
+
an
10
.
n
=
(a1+
an)⋅
n
Sn=22a1+(n−1)d⋅n
Sn=22a1+nd⋅n
Sn=2a1+(n−1)d⋅n