27 · 1/2. Формулаи суммаи n аъзои прогрессияи геометрӣ - Алгебра — синфи 9
Асосӣ Курсҳо Алгебра — синфи 9 3. Прогрессияҳо
27 · 1/2. Формулаи суммаи n аъзои прогрессияи геометрӣ 1 соат
Суммаи 1 + 2 + 2 2 + … + 2 63 1 + 2 + 2^2 + \ldots + 2^{63} 1 + 2 + 2 2 + … + 2 63
Суммаро бо S S S 2 2
навбатӣ 27 · 2/2. Татбиқи формулаи сумма 1 соат
2
2 S − S = ( 2 + 2 2 + … + 2 63 + 2 64 ) − ( 1 + 2 + 2 2 + … + 2 63 ) = 2 64 − 1. 2S - S = (2 + 2^2 + \ldots + 2^{63} + 2^{64}) - (1 + 2 + 2^2 + \ldots + 2^{63}) = 2^{64} - 1. 2 S − S = ( 2 + 2 2 + … + 2 63 + 2 64 ) − ( 1 + 2 + 2 2 + … + 2 63 ) = 2 64 − 1. Пас S = 2 64 − 1 = 18 446 744 073 709 551 615. S = 2^{64} - 1 = 18\,446\,744\,073\,709\,551\,615. S = 2 64 − 1 = 18 446 744 073 709 551 615.
Ҳамин ҳилаи «q S − S qS - S qS − S барои прогрессияи геометрии дилхоҳ истифода мебарем.
Бигзор ( b n ) (b_n) ( b n ) q . q. q . n n n
S n = b 1 + b 2 + b 3 + … + b n . ( 1 ) S_n = b_1 + b_2 + b_3 + \ldots + b_n. \qquad (1) S n = b 1 + b 2 + b 3 + … + b n . ( 1 ) Агар q = 1 , q = 1, q = 1 , b 1 b_1 b 1
S n = b 1 + b 1 + … + b 1 = n ⋅ b 1 . S_n = b_1 + b_1 + \ldots + b_1 = n \cdot b_1. S n = b 1 + b 1 + … + b 1 = n ⋅ b 1 . Дар ин ҳолат формулаҳои (3) ва (4)-ро истифода бурдан мумкин нест: маҳраҷи q − 1 q - 1 q − 1
Суммаро қадам ба қадам дида мебароем: прогрессияи 3 ; 6 ; 12 ; … 3;\ 6;\ 12;\ \ldots 3 ; 6 ; 12 ; … (b 1 = 3 , b_1 = 3, b 1 = 3 , q = 2 q = 2 q = 2
Суммаи аъзоҳои прогрессияи 3; 6; 12; … ва формулаи (4)
S₁ = 0 + 3 = 3
S₂ = 3 + 6 = 9
S₃ = 9 + 12 = 21
S₄ = 21 + 24 = 45
S₅ = 45 + 48 = 93
S₆ = 93 + 96 = 189
S₆ = 3 · (2⁶ − 1) / (2 − 1) = 189
Аъзои якум 3, маҳраҷ 2. Суммаро аз нул оғоз мекунем.
Мисоли 1. Суммаи нӯҳ аъзои аввалаи прогрессияи геометриро меёбем, агар b 1 = 2 b_1 = 2 b 1 = 2 q = 1 3 . q = \dfrac{1}{3}. q = 3 1 .
S 9 = 2 [ ( 1 3 ) 9 − 1 ] 1 3 − 1 = 2 ⋅ ( 1 19683 − 1 ) − 2 3 = 3 ⋅ ( 1 − 1 19683 ) = 3 ⋅ 19682 19683 = 19682 6561 = 2 6560 6561 . S_9 = \frac{2\left[\left(\frac{1}{3}\right)^9 - 1\right]}{\frac{1}{3} - 1} = \frac{2 \cdot \left(\frac{1}{19683} - 1\right)}{-\frac{2}{3}} = 3 \cdot \left(1 - \frac{1}{19683}\right) = 3 \cdot \frac{19682}{19683} = \frac{19682}{6561} = 2\frac{6560}{6561}. S 9 = 3 1 − 1 2 [ ( 3 1 ) 9 − 1 ] = − 3 2 2 ⋅ ( 19683 1 − 1 ) 3 ⋅ ( 1 − 19683 1 ) = 3 ⋅ 19683 19682 = 6561 19682 = 2 6561 6560 . Мисоли 2. Агар q = 2 q = 2 q = 2 b 10 = 2560 b_{10} = 2560 b 10 = 2560 b 1 b_1 b 1 b 10 = b 1 q 9 , b_{10} = b_1q^9, b 10 = b 1 q 9 , 2560 = b 1 ⋅ 512 , 2560 = b_1 \cdot 512, 2560 = b 1 ⋅ 512 , b 1 = 5. b_1 = 5. b 1 = 5.
S 10 = b 10 q − b 1 q − 1 = 2560 ⋅ 2 − 5 2 − 1 = 5120 − 5 = 5115. S_{10} = \frac{b_{10}q - b_1}{q - 1} = \frac{2560 \cdot 2 - 5}{2 - 1} = 5120 - 5 = 5115. S 10 = q − 1 b 10 q − b 1 = 2 − 1 2560 ⋅ 2 − 5 = 5120 − 5 = 5115. Мисоли 3. Суммаи ҳашт аъзои аввалаи прогрессияи геометриро меёбем, агар b 5 = 3125 b_5 = 3125 b 5 = 3125 b 7 = 78125. b_7 = 78125. b 7 = 78125.
Азбаски b 7 = b 5 ⋅ q 2 , b_7 = b_5 \cdot q^2, b 7 = b 5 ⋅ q 2 , q 2 = 78125 3125 = 25 , q^2 = \dfrac{78125}{3125} = 25, q 2 = 3125 78125 = 25 , q = 5 q = 5 q = 5 q = − 5. q = -5. q = − 5.
Ҳангоми q = 5 q = 5 q = 5 b 1 = b 5 q 4 = 3125 625 = 5 b_1 = \dfrac{b_5}{q^4} = \dfrac{3125}{625} = 5 b 1 = q 4 b 5 = 625 3125 = 5
S 8 = b 8 q − b 1 q − 1 = b 7 q 2 − b 1 q − 1 = 78125 ⋅ 25 − 5 4 = 1953120 4 = 488 280. S_8 = \frac{b_8q - b_1}{q - 1} = \frac{b_7q^2 - b_1}{q - 1} = \frac{78125 \cdot 25 - 5}{4} = \frac{1953120}{4} = 488\,280. S 8 = q − 1 b 8 q − b 1 = q − 1 b 7 q 2 − b 1 = 4 78125 ⋅ 25 − 5 = 4 1953120 = 488 280. Ҳангоми q = − 5 q = -5 q = − 5 b 1 = 3125 625 = 5 , b_1 = \dfrac{3125}{625} = 5, b 1 = 625 3125 = 5 ,
S 8 = 5 [ ( − 5 ) 8 − 1 ] − 5 − 1 = 5 ⋅ 390 624 − 6 = − 325 520. S_8 = \frac{5\left[(-5)^8 - 1\right]}{-5 - 1} = \frac{5 \cdot 390\,624}{-6} = -325\,520. S 8 = − 5 − 1 5 [ ( − 5 ) 8 − 1 ] = − 6 5 ⋅ 390 624 = − 325 520. Ҷавоб: 488 280 488\,280 488 280 − 325 520. -325\,520. − 325 520.
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф 1. Суммаи чор аъзои аввалаи прогрессияи геометриро ёбед:
а) 2,1 ; 2{,}1; 2 , 1 ; − 4,2 ; -4{,}2; − 4 , 2 ; … ; \ldots; … ;
б) 36 ; 36; 36 ; 54 ; 54; 54 ; … ; \ldots; … ;
в) − 1 ; -1; − 1 ; 1 3 ; \dfrac{1}{3}; 3 1 ; … ; \ldots; … ;
г) − 2 ; -2; − 2 ; − 8 ; -8; − 8 ; … ; \ldots; … ;
ғ) − 16 ; -16; − 16 ; − 32 ; -32; − 32 ; … ; \ldots; … ;
д) 1 ; 1; 1 ; 1 2 ; \dfrac{1}{2}; 2 1 ; 1 4 ; \dfrac{1}{4}; 4 1 ;
е) 64 ; 64; 64 ; − 16 ; -16; − 16 ; … ; \ldots; … ;
ё) − 3 ; -3; − 3 ; 3 2 ; 3^2; 3 2 ; … . \ldots. … .
2. Аз рӯйи додашудаҳо суммаҳои нишондодашудаи прогрессияи геометриро ёбед:
а) b 2 = 8 , b_2 = 8, b 2 = 8 , q = 1 2 , q = \dfrac{1}{2}, q = 2 1 , S 6 ; S_6; S 6 ;
б) b 1 = 500 , b_1 = 500, b 1 = 500 , q = 1 5 , q = \dfrac{1}{5}, q = 5 1 , S 7 ; S_7;
в) c 1 = − 4 , c_1 = -4, c 1 = − 4 , q = − 3 , q = -3, q = − 3 , S 8 ; S_8; S 8
г) c 1 = − 1 , c_1 = -1, c 1 = − 1 , q = 2 , q = 2, q = 2 , S 4 ; S_4; S 4 ;
ғ) c 1 = 4 , c_1 = 4, c 1 = 4 , q = − 3 2 , q = -\dfrac{3}{2}, q = − 2 3 , S 5
д) x 1 = 5,5 , x_1 = 5{,}5, x 1 = 5 , 5 , q = 0,55 , q = 0{,}55, q = 0 , 55 , S 3 . S_3. S 3
3. Суммаи n n n
а) 1 ; 1; 1 ; 3 2 ; 3^2; 3 2 ; 3 4 ; 3^4; 3 4 ; … ; \ldots; … ;
б) 2 2 ; 2^2; 2 2 ; 2 3 ; 2^3; 2 3 ; 2 4 ; 2^4; 2 4 ; … ; \ldots; … ;
в) − 1 ; -1; − 1 ; 1 2 ; \dfrac{1}{2}; 2 1 ; − 1 4 ; -\dfrac{1}{4}; − 4 1 ;
г) 1 ; 1; 1 ; − x ; -x; − x ; x 2 ; x^2; x 2 ; … \ldots … ( x ≠ − 1 ) ; (x \ne -1); ( x
ғ) 1 ; 1; 1 ; x 2 ; x^2; x 2 ; x 4 ; x^4; x 4 ; … \ldots … ( x ≠ ± 1 ) ; (x \ne \pm 1); ( x
д) 1 ; 1; 1 ; x 3 ; x^3; x 3 ; x 6 ; x^6; x 6 ; … \ldots … ( x ≠ 1 ) ; (x \ne 1); ( x
е) x 2 ; x^2; x 2 ; 1 ; 1; 1 ; 1 x 2 ; \dfrac{1}{x^2}; x 2 1 ;
ё) 5 ; 5; 5 ; 5 ; 5; 5 ; 5 ; 5; 5 ; … ; \ldots; … ;
ж) 1 ; 1; 1 ; − 2 ; -2; − 2 ; 4 ; 4; 4 ; … ; \ldots; … ;
з) 1 ; 1; 1 ; 2 x ; 2x; 2 x ; 4 x 2 ; 4x^2; 4 x 2 ; … \ldots … ( x ≠ 1 2 ) ; \left(x \ne \dfrac{1}{2}\right); ( x
и) 1,2 ; 1{,}2; 1 , 2 ; − 3,6 ; -3{,}6; − 3 , 6 ; 10,8 ; 10{,}8; 10 , 8 ; … . \ldots. … .
4. Прогрессияи геометрии ( b n ) (b_n) ( b n )
а) b 5 = 32,4 , b_5 = 32{,}4, b 5 = 32 , 4 , q = 1,5 q = 1{,}5 q = 1 , 5 S 6 S_6 S 6
б) b 7 = 64 81 , b_7 = \dfrac{64}{81}, b 7 = 81 64 , q = 2 3 q = \dfrac{2}{3} q =
в) b 3 = 10 , b_3 = 10, b 3 = 10 , q = 1 3 q = \dfrac{1}{3} q = 3 1 S 4 S_4
г) b 5 = − 364,5 , b_5 = -364{,}5, b 5 = − 364 , 5 , q = − 3 q = -3 q = − 3 S 5 S_5 S 5
Дар хона 5. Нишон диҳед, ки пайдарпайии ( b n ) (b_n) ( b n ) n n n
а) b n = 9,2 ⋅ 3 n ; b_n = 9{,}2 \cdot 3^n; b n = 9 , 2 ⋅ 3 n ;
б) b n = 8 ⋅ 2 n − 1 ; b_n = 8 \cdot 2^{n-1}; b n = 8 ⋅ 2 n − 1 ;
в) b n = 4 n + 1 ; b_n = 4^{n+1}; b n = 4 n + 1 ;
г) b n = 0,1 ⋅ 4 n ; b_n = 0{,}1 \cdot 4^n; b n = 0 , 1 ⋅ 4 n ;
ғ) b n = 4 ⋅ 7 n ; b_n = 4 \cdot 7^n; b n = 4 ⋅ 7 n ;
д) b n = 2 ⋅ 3 n . b_n = 2 \cdot 3^n. b n = 2 ⋅ 3 n .
6. Суммаи n n n
а) a 1 = 2 , a_1 = 2, a 1 = 2 , q = 2 , q = 2, q = 2 , n = 5 ; n = 5; n = 5 ;
б) a 1 = 0,5 , a_1 = 0{,}5, a 1 = 0 , 5 , q = 3 , q = 3, q = 3 , n = 4. n = 4. n = 4.
Вазифаи хонагӣ
Машқҳои 5–6.
Вазифаи онлайн оид ба мавзӯи 27 дар саҳифаи «Супоришҳо» аст, агар омӯзгор онро супорида бошад; он ба соати дуюми мавзӯъ — 27 · 2/2 — мансуб аст.
Дар ин дарс
Ман медонам формулаҳои суммаи n n n Ман метавонам суммаро аз аъзои якум, маҳраҷ ва шумораи аъзоҳо ҳисоб кунам.Ман метавонам ҳолати q = 1 q = 1 q = 1 q ≠ 1 q \ne 1 q = 1 Такрор (2 дақиқа)
Маҳраҷи прогрессияи 5 ; 15 ; 45 ; … 5;\ 15;\ 45;\ \ldots 5 ; 15 ; 45 ; …
Агар b 1 = 2 b_1 = 2 b 1 = 2 q = 3 , q = 3, q = 3 , b 5 b_5 b 5
2 10 2^{10} 2 10 Ҷавобҳо
q = 15 : 5 = 3. q = 15 : 5 = 3. q = 15 : 5 = 3. b 5 = b 1 q 4 = 2 ⋅ 81 = 162. b_5 = b_1 q^4 = 2 \cdot 81 = 162. b 5 = b 1 Вазъият барои андешаронӣ Қиссаи кӯҳна: ихтироъкори шоҳмот барои мукофот аз шоҳ дона гандум пурсид — барои хонаи якуми тахта 1 дона, барои дуюм 2 дона, барои сеюм 4 дона ва ҳамин тавр, ҳар дафъа ду баробар зиёд. Тахтаи шоҳмот 64 хона дорад. Оё шоҳ ин хоҳишро иҷро карда метавонад? Чӣ тавр суммаи 1 + 2 + 4 + 8 + … 1 + 2 + 4 + 8 + \ldots 1 + 2 + 4 + 8 + …
Формуларо ба даст меорем
Ҳар ду тарафи (1)-ро ба q q q b 1 q = b 2 , b_1q = b_2, b 1 q = b 2 , b 2 q = b 3 , b_2q = b_3,
Қоида Суммаи n n n q ≠ 1 q \ne 1 q = 1
S n = b n q − b 1 q − 1 , ( 3 ) S_n = \frac{b_nq - b_1}{q - 1}, \qquad (3) S Қимати суммаи 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243
Як ҷавобро интихоб кунед A 365 B 729 C 728 D 364
=
… ; \ldots; … ;
S 7 ;
;
; S_5; S 5 ;
.
… ;
=
− 1 ) ;
=
± 1 ) ;
=
1 ) ;
… , \ldots, … ,
x ≠ ± 1 ) ; x \ne \pm 1); x = ± 1 ) ;
=
2 1
)
;
3
2
S 4
q 4
=
2 ⋅
81 =
162.
2 10 = 1024. 2^{10} = 1024. 2 10 = 1024. b
2
q
=
b 3 ,
b n − 1 q = b n , b_{n-1}q = b_n, b n − 1 q = b n , q S n = b 2 + b 3 + … + b n + b n q . ( 2 ) qS_n = b_2 + b_3 + \ldots + b_n + b_nq. \qquad (2) q S n = b 2 + b 3 + … + b n + b n q . ( 2 ) Аз (2) баробарии (1)-ро тарҳ мекунем: ҷамъшавандаҳои b 2 , b_2, b 2 , b 3 , b_3, b 3 , b n b_n b n q S n − S n = b n q − b 1 . qS_n - S_n = b_nq - b_1. q S n − S n = b n q − b 1 Дар тарафи чап S n S_n S n S n ( q − 1 ) = b n q − b 1 . S_n(q - 1) = b_nq - b_1. S n ( q − 1 ) = b n q − b 1 . Агар q ≠ 1 , q \ne 1, q = 1 , q − 1 q - 1 q − 1 n
=
q − 1 b n q − b 1 , ( 3 )
S n = b 1 ( q n − 1 ) q − 1 . ( 4 ) S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}. \qquad (4) S n = q − 1 b 1 ( q n − 1 ) . ( 4 ) Формулаи (4) аз (3) баъди ивази b n = b 1 q n − 1 b_n = b_1q^{n-1} b n = b 1 q n − 1 b n q = b 1 q n . b_nq = b_1q^n. b n q = b 1 q n . b n b_n b n b 1 , b_1, b 1 , q q q n n n
.