10 · 1/2. Тарзи графикии ҳалли нобаробариҳои квадратӣ - Алгебра — синфи 9
Асосӣ Курсҳо Алгебра — синфи 9 1. Функсияи квадратӣ
10 · 1/2. Тарзи графикии ҳалли нобаробариҳои квадратӣ 1 соат
Нобаробарии квадратӣ
Нобаробарии квадратӣ (нобаробарии дараҷаи дуюми яктағйирёбанда) нобаробарие аст, ки ба намуди
a x 2 + b x + c > 0 ( ≥ 0 ) ё a x 2 + b x + c < 0 ( ≤ 0 ) , a ≠ 0 ax^2 + bx + c > 0 \quad (\ge 0) \qquad \text{ё} \qquad ax^2 + bx + c < 0 \quad (\le 0), \qquad a \ne 0 a x 2 + b x + c > 0 ( ≥ 0 ) ё a
навбатӣ 10 · 2/2. Соҳаи муайянӣ ва нобаробариҳо бо параметр 1 соат
x
2
+
b x +
c <
0 ( ≤
0 ) , a =
0
Гояи тарзи графикӣ. Ҳал кардани нобаробарӣ — ёфтани ҳамаи x x x y = a x 2 + b x + c y = ax^2 + bx + c y = a x 2 + b x + c a x 2 + b x + c > 0 ax^2 + bx + c > 0 a x 2 + b x + c > 0 x x x болотар аз тири O x Ox O x < 0 < 0 < 0 x x x поёнтар аз тири O x Ox O x
Барои хондани ҷавоб ду чиз кифоя аст: самти шохаҳо ва решаҳо (нуқтаҳои буриш бо O x Ox O x
Мисоли 1. Нобаробарии 2 x 2 + 4 x − 6 > 0 2x^2 + 4x - 6 > 0 2 x 2 + 4 x − 6 > 0
Ҳал. Решаҳои 2 x 2 + 4 x − 6 = 0 2x^2 + 4x - 6 = 0 2 x 2 + 4 x − 6 = 0 x 2 + 2 x − 3 = 0 , x^2 + 2x - 3 = 0, x 2 + 2 x − 3 = 0 , x 1 = − 3 , x_1 = -3, x 1 = − 3 , x 2 = 1. x_2 = 1. x 2 = 1. y = 2 x 2 + 4 x − 6 y = 2x^2 + 4x - 6 y = 2 x 2 + 4 x − 6 O x Ox O x a = 2 > 0 a = 2 > 0 a = 2 > 0 x 0 = − 1 , x_0 = -1, x 0 = − 1 , y 0 = − 8 , y_0 = -8, y 0 = − 8 , ( − 1 ; − 8 ) ; (-1;\ -8); ( − 1 ; − 8 ) ; O y Oy O y ( 0 ; − 6 ) . (0;\ -6). ( 0 ; − 6 ) . O x Ox O x x < − 3 x < -3 x < − 3 x > 1. x > 1. x > 1.
Ҷавоб: ( − ∞ ; − 3 ) ∪ ( 1 ; ∞ ) . (-\infty;\ -3) \cup (1;\ \infty). ( − ∞ ; − 3 ) ∪ ( 1 ; ∞ ) .
Мисоли 2. Нобаробарии x 2 + 3 x + 8 ≥ 0 x^2 + 3x + 8 \ge 0 x 2 + 3 x + 8 ≥ 0
Ҳал. a = 1 > 0 a = 1 > 0 a = 1 > 0 D = 9 − 32 = − 23 < 0 , D = 9 - 32 = -23 < 0, D = 9 − 32 = − 23 < 0 , O x Ox O x ( − 3 2 ; 23 4 ) , \left(-\dfrac{3}{2};\ \dfrac{23}{4}\right), ( − 2 3 ; 4 23 ) , O y Oy O y ( 0 ; 8 ) (0;\ 8) ( 0 ; 8 ) x x x
Ҷавоб: ( − ∞ ; ∞ ) . (-\infty;\ \infty). ( − ∞ ; ∞ ) .
Мисоли 3. Нобаробарии 5 x 2 + 9 x − 2 < 0 5x^2 + 9x - 2 < 0 5 x 2 + 9 x − 2 < 0
Ҳал. Шохаҳо ба боло. Решаҳо: 5 x 2 + 9 x − 2 = 0 , 5x^2 + 9x - 2 = 0, 5 x 2 + 9 x − 2 = 0 , D = 81 + 40 = 121 , D = 81 + 40 = 121, D = 81 + 40 = 121 , x = − 9 ± 11 10 , x = \dfrac{-9 \pm 11}{10}, x = 10 − 9 ± 11 , x 1 = − 2 , x_1 = -2, x 1 = − 2 , x 2 = 1 5 . x_2 = \dfrac{1}{5}. x 2 = 5 1 . x 0 = − 9 10 , x_0 = -\dfrac{9}{10}, x 0 = − 10 9 , y 0 = − 121 20 ; y_0 = -\dfrac{121}{20}; y 0 = − 20 121 ; O y Oy O y ( 0 ; − 2 ) . (0;\ -2). ( 0 ; − 2 ) . O x Ox O x − 2 < x < 1 5 . -2 < x < \dfrac{1}{5}. − 2 < x < 5 1 .
Ҷавоб: ( − 2 ; 1 5 ) . \left(-2;\ \dfrac{1}{5}\right). ( − 2 ; 5 1 ) .
Мисоли 4. Нобаробарии 2 x 2 − 8 x ≤ 0 2x^2 - 8x \le 0 2 x 2 − 8 x ≤ 0
Ҳал. Шохаҳо ба боло. 2 x ( x − 4 ) = 0 , 2x(x - 4) = 0, 2 x ( x − 4 ) = 0 , x 1 = 0 , x_1 = 0, x 1 = 0 , x 2 = 4 ; x_2 = 4; x 2 = 4 ; ( 2 ; − 8 ) . (2;\ -8). ( 2 ; − 8 ) . (≤ \le ≤ решаҳо ҳам дохил мешаванд (дар онҳо парабола тири O x Ox O x 0 0 0
Ҷавоб: [ 0 ; 4 ] . [0;\ 4]. [ 0 ; 4 ] .
Мисоли 5. Нобаробарии − x 2 + 4 > 0 -x^2 + 4 > 0 − x 2 + 4 > 0
Ҳал. a = − 1 < 0 a = -1 < 0 a = − 1 < 0 ( 0 ; 4 ) . (0;\ 4). ( 0 ; 4 ) . x 2 = 4 , x^2 = 4, x 2 = 4 , x 1 = − 2 , x_1 = -2, x 1 = − 2 , x 2 = 2. x_2 = 2. x 2 = 2. O x Ox O x − 2 < x < 2. -2 < x < 2. − 2 < x < 2. (> > > аст, пас решаҳо дохил нестанд.
Ҷавоб: ( − 2 ; 2 ) . (-2;\ 2). ( − 2 ; 2 ) . − x 2 + 4 ≥ 0 -x^2 + 4 \ge 0 − x 2 + 4 ≥ 0 [ − 2 ; 2 ] [-2;\ 2] [ − 2 ; 2 ]
Мисоли 6. Нобаробарии − 2 x 2 + 6 x − 10 < 0 -2x^2 + 6x - 10 < 0 − 2 x 2 + 6 x − 10 < 0
Ҳал. a = − 2 < 0 a = -2 < 0 a = − 2 < 0 D = 6 2 − 4 ⋅ ( − 2 ) ⋅ ( − 10 ) = 36 − 80 = − 44 < 0 D = 6^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-10) = 36 - 80 = -44 < 0 D = 6 2 − 4 ⋅ ( − 2 ) ⋅ ( − 10 ) = 36 − 80 = − 44 < 0 O x Ox O x O y Oy O y ( 0 ; − 10 ) (0;\ -10) ( 0 ; − 10 ) − 2 x 2 + 6 x − 10 < 0 -2x^2 + 6x - 10 < 0 − 2 x 2 + 6 x − 10 < 0 x x x
Ҷавоб: ( − ∞ ; ∞ ) . (-\infty;\ \infty). ( − ∞ ; ∞ ) .
Ҳалли нобаробарии квадратиро ба ҷадвал ҷамъбаст мекунем (a > 0 a > 0 a > 0 x 1 < x 2 x_1 < x_2 x 1 < x 2
Ҳолат a x 2 + b x + c > 0 ax^2 + bx + c > 0 a x 2 + b x + c > 0 a x 2 + b x + c < 0 ax^2 + bx + c < 0 a x 2 + b x + c < 0 D > 0 D > 0 D > 0 ( − ∞ ; x 1 ) ∪ ( x 2 ; ∞ ) (-\infty;\ x_1) \cup (x_2;\ \infty) ( − ∞ ; x 1 ) ∪ ( x
Барои ≥ 0 \ge 0 ≥ 0 ≤ 0 \le 0 ≤ 0 D = 0 D = 0 D = 0 ≤ 0 \le 0 ≤ 0 x = x 0 . x = x_0. x = x 0 .
Саволи аввал. − 5 t 2 + 20 t > 15 , -5t^2 + 20t > 15, − 5 t 2 + 20 t > 15 , t 2 − 4 t + 3 < 0 , t^2 - 4t + 3 < 0, t 2 − 4 t + 3 < 0 , t = 1 t = 1 t = 1 t = 3. t = 3. t = 3. 1 < t < 3 1 < t < 3 1 < t < 3 15 15 15
Худатон санҷед: нобаробариро бо график бинед.
Озмоишгоҳи парабола санҷида бин! Аз нав
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф 1. Нобаробариро ҳал кунед:
а) x 2 − 5 x + 4 > 0 ; x^2 - 5x + 4 > 0; x 2 − 5 x + 4 > 0 ;
б) x 2 + 4 x < 0 ; x^2 + 4x < 0; x 2 + 4 x < 0 ;
в) 2 x 2 − 7 x − 15 ≥ 0. 2x^2 - 7x - 15 \ge 0. 2 x 2 − 7 x − 15 ≥ 0.
2. Нобаробариро ҳал кунед:
а) 12 x 2 − 17 x − 105 < 0 ; 12x^2 - 17x - 105 < 0; 12 x 2 − 17 x − 105 < 0 ;
б) x 2 − 4 x > 0 ; x^2 - 4x > 0; x 2 − 4 x > 0 ;
в) x 2 + 6 x + 9 ≤ 0. x^2 + 6x + 9 \le 0. x 2 + 6 x + 9 ≤ 0.
3. Нобаробариро ҳал кунед:
а) x 4 + 4 x 2 + 4 ≤ 0 ; x^4 + 4x^2 + 4 \le 0; x 4 + 4 x 2 + 4 ≤ 0 ;
б) − 2 + 2 x − 3 x 2 < 0 ; -2 + 2x - 3x^2 < 0; − 2 + 2 x − 3 x 2 < 0 ;
в) − 5 + 4 x − 3 x 2 < 0. -5 + 4x - 3x^2 < 0. − 5 + 4 x − 3 x 2 < 0.
4. Нобаробариро ҳал кунед:
а) x 2 − 3 x > 10 ; x^2 - 3x > 10; x 2 − 3 x > 10 ;
б) 4 x 2 + 9 > 12 x ; 4x^2 + 9 > 12x; 4 x 2 + 9 > 12 x ;
в) 4 x − x 2 < 5. 4x - x^2 < 5. 4 x − x 2 < 5.
Дар хона 5. Нобаробариро ҳал кунед:
а) 12 x 2 − 4 x + 3 < 0 ; 12x^2 - 4x + 3 < 0; 12 x 2 − 4 x + 3 < 0 ;
б) 3 x 2 + 2 x + 1 > 0 ; 3x^2 + 2x + 1 > 0; 3 x 2 + 2 x + 1 > 0 ;
в) x 2 + 13 x + 36 ≤ 0. x^2 + 13x + 36 \le 0. x 2 + 13 x + 36 ≤ 0.
Вазифаи хонагӣ
Машқи 5.
Якчанд нобаробариро аз машқҳои 1–4, ки дар синф ҳал нашудаанд, дар дафтар ҳал кунед.
Дар ин дарс
Ман медонам , ки нобаробарии квадратӣ чист ва чаро онро ба намуди a x 2 + b x + c > 0 ax^2 + bx + c > 0 a x 2 + b x + c > 0 a > 0 a > 0 a > 0 Ман метавонам нобаробарии квадратиро бо тарзи графикӣ ҳал кунам (аз рӯйи решаҳо ва самти шохаҳои парабола).Ман метавонам ҷавобро ҳамчун фосила ё иттиҳоди фосилаҳо нависам. Такрор (2 дақиқа)
Муодилаи x 2 − 4 x − 5 = 0 x^2 - 4x - 5 = 0 x 2 − 4 x − 5 = 0
Параболаи y = x 2 − 4 x − 5 y = x^2 - 4x - 5 y = x 2 − 4 x − 5 O x Ox O x
Нобаробарии − 3 x > 6 -3x > 6 − 3 x > 6
Ҷавобҳо
D = 16 + 20 = 36 , D = 16 + 20 = 36, D = 16 + 20 = 36 , x = 4 ± 6 2 , x = \dfrac{4 \pm 6}{2}, x = 2 4 ± 6 , Вазъият барои андешаронӣ Тӯб баландии h = − 5 t 2 + 20 t h = -5t^2 + 20t h = − 5 t 2 + 20 t t t t 15 15 15
Нобаробарии ax² + bx + c > 0 ҳангоми a > 0: ҳалли он — қисмҳои тири Ox, ки парабола аз болояшон мегузарад (хати сурх). Нобаробарии x 2 + 1 > 0 x^2 + 1 > 0 x 2 + 1 > 0
Нобаробарии x 2 − x − 6 < 0 x^2 - x - 6 < 0 x 2 − x − 6 < 0
Як ҷавобро интихоб кунед A [ − 2 ; 3 ] [-2;\ 3] [ − 2 ; 3 ]
B ( − 3 ; 2 ) (-3;\ 2) ( −
C D Кадом қиматҳои x x x 2 x 2 ≥ 8 2x^2 \ge 8 2 x 2 ≥ 8
Ҳамаи мувофиқро интихоб кунед A x = 0 x = 0 x = 0
B x = − 1 x = -1 x = − 1
C
D Нобаробарии − x 2 + 9 ≥ 0 -x^2 + 9 \ge 0 − x 2 + 9 ≥ 0
Як ҷавобро интихоб кунед A [ − 3 ; 3 ] [-3;\ 3] [ − 3 ; 3 ]
B ( − 3 ; 3 ) (-3;\ 3) ( − 3 ; 3 )
C
D 2
;
∞
)
( x 1 ; x 2 ) (x_1;\ x_2) ( x 1 ; x 2 )
D = 0 D = 0 D = 0 ҳамаи x ≠ x 0 x \ne x_0 x = x 0 ҳал надорад
D < 0 D < 0 D < 0 ҳамаи x x x ҳал надорад
3
;
2
)
( − ∞ ; − 2 ) ∪ ( 3 ; ∞ ) (-\infty;\ -2) \cup (3;\ \infty) ( − ∞ ; − 2 ) ∪ ( 3 ; ∞ )
x = − 3
( − ∞ ; − 3 ) ∪ ( 3 ; ∞ ) (-\infty;\ -3) \cup (3;\ \infty) ( − ∞ ; − 3 ) ∪ ( 3 ; ∞ )
( − ∞ ; − 3 ] ∪ [ 3 ; ∞ ) (-\infty;\ -3] \cup [3;\ \infty) ( − ∞ ; − 3 ] ∪ [ 3 ; ∞ )
