5. Ҷудо кардани квадрати пурра аз сеаъзогии квадратӣ - Алгебра — синфи 9
Асосӣ Курсҳо Алгебра — синфи 9 1. Функсияи квадратӣ
5. Ҷудо кардани квадрати пурра аз сеаъзогии квадратӣ 1 соат
Сеаъзогии квадратӣ
Дар ҳалли масъалаҳо баъзан сеаъзогии квадратиро ба намуди
a [ ( x + m ) 2 + n ] ( 1 ) a\left[(x + m)^2 + n\right] \qquad (1) a [ ( x + m ) 2 + n ] ( 1 ) менависанд, ки дар он m m m n n n
навбатӣ 6 · 1/2. Теорема дар бораи ба зарбкунандаҳо ҷудо кардани сеаъзогӣ 1 соат
a x 2 + b x + c ax^2 + bx + c a x 2 + b x + c
ҷудо кардани квадрати пурра
Чӣ тавр квадрати пурраро ҷудо кунем Аввал ҳолати хусусӣ: ифодаи x 2 + b x x^2 + bx x 2 + b x x 2 x^2 x 2 x , x, x , b x bx b x b 2 \dfrac{b}{2} 2 b b 2 , \dfrac{b}{2}, 2 b , ( b 2 ) 2 . \left(\dfrac{b}{2}\right)^2. ( 2 b ) 2 .
Квадрати пурра санҷида бин! Аз нав Ҳамин ғояро барои сеаъзогии умумӣ татбиқ мекунем.
Нақшаи умумӣ a x 2 + b x + c = a [ ( x + b 2 a ) 2 − b 2 4 a 2 + c a ] = a [ ( x + b 2 a ) 2 − b 2 − 4 a c 4 a 2 ] . ( 2 ) ax^2 + bx + c = a\left[\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{b^2}{4a^2} + \dfrac{c}{a}\right] = a\left[\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{b^2 - 4ac}{4a^2}\right]. \qquad (2) a x 2 + b x + c = a [ ( x + 2 a b ) 2 − 4 a 2 b 2 = a [ ( x + 2 a b ) 2 − 4 a 2 b Баробарии (2)-ро бо (1) муқоиса карда мебинем, ки
m = b 2 a , n = − b 2 − 4 a c 4 a 2 . m = \dfrac{b}{2a}, \qquad n = -\dfrac{b^2 - 4ac}{4a^2}. m = 2 a b , n = − 4 a 2 b 2 − 4 a c .
Мисолҳо Мисоли 1. Аз сеаъзогии 1 4 x 2 − x + 2 \dfrac{1}{4}x^2 - x + 2 4 1 x 2 − x + 2 1 4 \dfrac{1}{4} 4 1
1 4 x 2 − x + 2 = 1 4 ( x 2 − 4 x + 8 ) = 1 4 [ ( x − 2 ) 2 + 4 ] = 1 4 ( x − 2 ) 2 + 1. \dfrac{1}{4}x^2 - x + 2 = \dfrac{1}{4}\left(x^2 - 4x + 8\right) = \dfrac{1}{4}\left[(x - 2)^2 + 4\right] = \dfrac{1}{4}(x - 2)^2 + 1. 4 1 x 2 − x + 2 = 4 1 ( x 2 − 4 x + 8 ) = 4 1 [ ( x − 2 ) 2 + 4 ] = 4 1 ( x − 2 ) 2 + 1. Мисоли 2. Бо ёрии (2) аз − 2 x 2 − 4 x + 5 -2x^2 - 4x + 5 − 2 x 2 − 4 x + 5
− 2 x 2 − 4 x + 5 = − 2 ( x 2 + 2 x − 5 2 ) = − 2 [ ( x 2 + 2 x + 1 ) − 1 − 5 2 ] = − 2 [ ( x + 1 ) 2 − 7 2 ] = − 2 ( x + 1 ) 2 + 7. -2x^2 - 4x + 5 = -2\left(x^2 + 2x - \dfrac{5}{2}\right) = -2\left[(x^2 + 2x + 1) - 1 - \dfrac{5}{2}\right] = -2\left[(x + 1)^2 - \dfrac{7}{2}\right] = -2(x + 1)^2 + 7. − 2 x 2 − 4 x + 5 = − 2 ( x 2 + 2 x − 2 5 ) = − 2 [ ( x 2 + 2 x + 1 ) − 1 − 2 5 ] = − 2 [ ( x + 1 ) 2 − 2 7 ] = − 2 ( x + 1 ) 2 + 7. Мисоли 3. Сеаъзогии x 2 3 − 5 x + 7 \dfrac{x^2}{3} - 5x + 7 3 x 2 − 5 x + 7
x 2 3 − 5 x + 7 = 1 3 ( x 2 − 15 x + 21 ) = 1 3 [ ( x − 15 2 ) 2 − 225 4 + 21 ] = 1 3 [ ( x − 15 2 ) 2 − 141 4 ] . \dfrac{x^2}{3} - 5x + 7 = \dfrac{1}{3}\left(x^2 - 15x + 21\right) = \dfrac{1}{3}\left[\left(x - \dfrac{15}{2}\right)^2 - \dfrac{225}{4} + 21\right] = \dfrac{1}{3}\left[\left(x - \dfrac{15}{2}\right)^2 - \dfrac{141}{4}\right]. 3 x 2 − 5 x + 7 = 3 1 ( x 2 − 15 x + 21 ) = 3 1 [ ( x − 2 15 ) 2 − 4 3 1 [ ( x − 2 15 ) 2 − 4 Мисоли 4. Ба саволи «Вазъият барои андешаронӣ» ҷавоб медиҳем: x 2 + 6 x + 1 = ( x 2 + 6 x + 9 ) − 9 + 1 = ( x + 3 ) 2 − 8. x^2 + 6x + 1 = (x^2 + 6x + 9) - 9 + 1 = (x + 3)^2 - 8. x 2 + 6 x + 1 = ( x 2 + 6 x + 9 ) − 9 + 1 = ( x + 3 ) 2 − 8. ( x + 3 ) 2 ≥ 0 , (x + 3)^2 \ge 0, ( x + 3 ) 2 ≥ 0 , − 8 -8 − 8 x = − 3 x = -3 x = − 3
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф 1. Дар ифодаҳои зерин квадрати пурраро ҷудо кунед:
а) x 2 − 16 x − 16 ; x^2 - 16x - 16; x 2 − 16 x − 16 ;
б) x 2 − 8 x − 65 ; x^2 - 8x - 65; x 2 − 8 x − 65 ;
в) 3 x 2 + 4 x + 3 ; 3x^2 + 4x + 3; 3 x 2 + 4 x + 3 ;
г) x 2 − 6 x + 8. x^2 - 6x + 8. x 2 − 6 x + 8.
2. Дар ифодаҳои зерин квадрати пурраро ҷудо кунед:
а) 1 3 x 2 − 4 x + 16 ; \dfrac{1}{3}x^2 - 4x + 16; 3 1 x 2 − 4 x + 16 ;
б) x 2 + 6 x + 10 ; x^2 + 6x + 10; x 2 + 6 x + 10 ;
в) x 2 − 2 x − 2 ; x^2 - 2x - 2; x 2 − 2 x − 2 ;
г) x 2 − 2 x . x^2 - 2x. x 2 − 2 x .
3. Исбот кунед, ки барои қимати дилхоҳи x x x
а) x 2 − 6 x + 10 x^2 - 6x + 10 x 2 − 6 x + 10
б) 5 x 2 − 10 x + 5 5x^2 - 10x + 5 5 x 2 − 10 x + 5
в) − x 2 + 20 x − 100 -x^2 + 20x - 100 − x 2 + 20 x − 100
г) − 2 x 2 + 16 x − 33 -2x^2 + 16x - 33 − 2 x 2 + 16 x − 33
4. Аз сеаъзогии квадратӣ дуаъзогиро ҷудо кунед:
а) x 2 − 4 x + 1 ; x^2 - 4x + 1; x 2 − 4 x + 1 ;
б) x 2 + 2 x − 1 ; x^2 + 2x - 1; x 2 + 2 x − 1 ;
в) − 2 x 2 − 6 x − 3,5. -2x^2 - 6x - 3{,}5. − 2 x 2 − 6 x − 3 , 5.
Дар хона 5. Сеаъзогиҳои квадратии x 2 − 6 x + 11 x^2 - 6x + 11 x 2 − 6 x + 11 − x 2 + 20 x − 110 -x^2 + 20x - 110 − x 2 + 20 x − 110 x x x
6. Муодилаҳои квадратиро ҳал кунед:
а) 2 x 2 − 5 x − 3 = 0 ; 2x^2 - 5x - 3 = 0; 2 x 2 − 5 x − 3 = 0 ;
б) 3 x 2 − 8 x + 5 = 0 ; 3x^2 - 8x + 5 = 0; 3 x 2 − 8 x + 5 = 0 ;
в) 36 x 2 − 12 x + 1 = 0. 36x^2 - 12x + 1 = 0. 36 x 2 − 12 x + 1 = 0.
7. Қаиқ дар кӯл 12 12 12 11 11 11 1 1 1 2 2 2
8. Соҳаи муайянии функсияро ёбед:
а) y = 5 x − 7 ; y = \dfrac{5}{x - 7}; y = x − 7 5 ;
б) y = 19 2 x + 72 . y = \dfrac{19}{2x + 72}. y = 2 x + 72 19 .
Вазифаи хонагӣ
Машқҳои 5–8 аз қисмҳои «Дар хона» ва «Такрор».
Вазифаи онлайн оид ба мавзӯи 5 дар саҳифаи «Супоришҳо» аст, агар омӯзгор онро супорида бошад.
Хулоса
Сеаъзогии квадратӣ — a x 2 + b x + c , ax^2 + bx + c, a x 2 + b x + c , a ≠ 0. a \ne 0. a = 0.
Ҷудо кардани квадрати пурра: a x 2 + b x + c = a [ ( x + b 2 a ) 2 − b 2 − 4 a c 4 a 2 ] . ax^2 + bx + c = a\left[\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{b^2 - 4ac}{4a^2}\right]. a x 2 + b x + c = a [ ( x + 2 a b ) 2 −
Барои ҳисоб: a a a ( b 2 a ) 2 \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2 ( 2 a b ) 2
Аз намуди a ( x + m ) 2 + n a(x + m)^2 + n a ( x + m ) 2 + n a > 0 a > 0 a > 0 a < 0 a < 0 a < 0
Дар ин дарс
Ман медонам , ки сеаъзогии квадратӣ чист ва ҷудо кардани квадрати пурра чӣ маъно дорад.Ман метавонам сеаъзогии a x 2 + b x + c ax^2 + bx + c a x 2 + b x + c a ( x + m ) 2 + n a(x + m)^2 + n a ( x + m ) 2 + n Ман метавонам бо ёрии квадрати пурра қимати хурдтарин ё калонтарини сеаъзогиро ёбам. Такрор (2 дақиқа)
Қавсро кушоед: ( x + 3 ) 2 (x + 3)^2 ( x + 3 ) 2 ( x − 5 ) 2 . (x - 5)^2. ( x − 5 ) 2 .
Ба ифода чӣ илова кунем, ки квадрати пурра шавад: x 2 + 10 x + … x^2 + 10x + \dots x 2 + 10 x + …
Аз адади − 2 ( x + 1 ) 2 + 7 -2(x + 1)^2 + 7 − 2 ( x + 1 ) 2 + 7 x = − 1 x = -1 x = − 1 x = 0 x = 0 x = 0
Ҷавобҳо
x 2 + 6 x + 9 x^2 + 6x + 9 x 2 + 6 x + 9 x 2 − 10 x + 25. x^2 - 10x + 25. x 2 − 10 x + 25. 25 , 25, Вазъият барои андешаронӣ Ифодаи x 2 + 6 x + 1 x^2 + 6x + 1 x 2 + 6 x + 1 x = 0 x = 0 x = 0 1 1 1 x = − 3 x = -3 x = − 3 − 8. -8. − 8. − 8 -8 − 8 x x x
Таъриф Ифодаи намуди a x 2 + b x + c , ax^2 + bx + c, a x 2 + b x + c , a , a, a , b b b c c c a ≠ 0 a \ne 0 a = 0 сеаъзогии квадратӣ номида мешавад.
Зарбкунандаи a a a a x 2 + b x + c = a ( x 2 + b a x + c a ) . ax^2 + bx + c = a\left(x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a}\right). a x 2 + b x + c = a ( x
Дар хотир доред Ифодаи b 2 − 4 a c b^2 - 4ac b 2 − 4 a c D . D. D . a x 2 + b x + c = 0 ax^2 + bx + c = 0 a x 2 +
Барои чӣ ин лозим аст Аз намуди a ( x + m ) 2 + n a(x + m)^2 + n a ( x + m ) 2 + n a > 0 a > 0 a > 0 n n n x =
Калимаҳои калидӣ сеаъзогии квадратӣ ҷудо кардани квадрати пурра квадрати дуаъзогӣ дискриминант
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам? Барои чӣ дар қадами 3 ҳам ҷамъ ва ҳам тарҳ мекунем? Кадом хатогиро аксар вақт ҳангоми a ≠ 1 a \ne 1 a = 1
Худро арзёбӣ кунед (✓ ё ✗):
Ман таърифи сеаъзогии квадратиро медонам.
Ман квадрати пурраро аз x 2 + b x + c x^2 + bx + c x 2 +
Барои ҳар як x x x x 2 + 2 x + 3 > 0 x^2 + 2x + 3 > 0 x 2 + 2 x + 3 > 0
Квадрати пурраро аз 2 x 2 − 8 x + 3 2x^2 - 8x + 3 2 x 2 − 8 x + 3
Як ҷавобро интихоб кунед A 2 ( x − 2 ) 2 + 3 2(x - 2)^2 + 3 2 ( x − 2 ) 2 + 3
B
C D Дар 3 x 2 + 12 x + 5 = 3 ( x + m ) 2 + n 3x^2 + 12x + 5 = 3(x + m)^2 + n 3 x 2 + 12 x + 5 = 3 ( x + m ) 2 + n m m
Як ҷавобро интихоб кунед A B C D
+
a c
]
2
−
4
a
c
]
.
(
2
)
225
+
21
]
=
141
]
.
4 a 2 b 2 − 4 a c
]
.
25 ,
x 2 + 2 ⋅ 5 x + 5 2 = ( x + 5 ) 2 . x^2 + 2 \cdot 5x + 5^2 = (x + 5)^2. x 2 + 2 ⋅ 5 x + 5 2 = ( x + 5 ) 2 . 2
+
a b
x
+
a c
)
.
Ифодаи b a x \dfrac{b}{a}x a b x 2 ⋅ b 2 a ⋅ x 2 \cdot \dfrac{b}{2a} \cdot x 2 ⋅ 2 a b ⋅ x Ба ифодаи дохили қавс ( b 2 a ) 2 \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2 ( 2 a b ) 2 Се аъзои аввалро ҳамчун квадрати дуаъзогӣ мефишорем: x 2 + 2 ⋅ b 2 a x + b 2 4 a 2 = ( x + b 2 a ) 2 . x^2 + 2 \cdot \dfrac{b}{2a}x + \dfrac{b^2}{4a^2} = \left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2. x 2 + 2 ⋅ 2 a b x + 4 a 2 b 2 = ( x + 2 a b ) 2 . b
x
+
c =
0
( x + m ) 2 = D 4 a 2 (x + m)^2 = \dfrac{D}{4a^2} ( x + m ) 2 = 4 a 2 D x 1,2 = − b ± b 2 − 4 a c 2 a . x_{1{,}2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}. x 1 , 2 = 2 a − b ± b 2 − 4 a c . − m x = -m x = − m
x 2 + 2 x + 3 = ( x + 1 ) 2 + 2 ≥ 2 > 0 x^2 + 2x + 3 = (x + 1)^2 + 2 \ge 2 > 0 x 2 + 2 x + 3 = ( x + 1 ) 2 + 2 ≥ 2 > 0 b
x
+
c
Ман ҳангоми a ≠ 1 a \ne 1 a = 1 a a a
Ман бо квадрати пурра қимати хурдтарин ё калонтарини сеаъзогиро меёбам. 2 ( x − 2 ) 2 − 5
( 2 x − 2 ) 2 − 5 (2x - 2)^2 - 5 ( 2 x − 2 ) 2 − 5
2 ( x − 4 ) 2 − 13 2(x - 4)^2 - 13 2 ( x − 4 ) 2 − 13
m
m = 4 , m = 4, m = 4 , n = − 11 n = -11 n = − 11
m = 2 , m = 2, m = 2 , n = 5 n = 5 n = 5
m = 2 , m = 2, m = 2 , n = − 7 n = -7 n = − 7
m = 6 , m = 6, m = 6 , n = − 31 n = -31 n = − 31