4 · 2/2. Исботи афзуншавӣ ва камшавии функсия - Алгебра — синфи 9
Асосӣ Курсҳо Алгебра — синфи 9 1. Функсияи квадратӣ
4 · 2/2. Исботи афзуншавӣ ва камшавии функсия 1 соат
Усули исбот: аломати фарқ
Афзуншавӣ ва камшавиро бо аломати фарқи f ( x 2 ) − f ( x 1 ) f(x_2) - f(x_1) f ( x 2 ) − f ( x 1 ) x 1 < x 2 x_1 < x_2 x
навбатӣ 5. Ҷудо кардани квадрати пурра аз сеаъзогии квадратӣ 1 соат
1
<
x 2
агар f ( x 2 ) − f ( x 1 ) > 0 f(x_2) - f(x_1) > 0 f ( x 2 ) − f ( x 1 ) > 0
агар f ( x 2 ) − f ( x 1 ) < 0 f(x_2) - f(x_1) < 0 f ( x 2 ) − f ( x 1 ) < 0
Исботи афзуншавӣ ва камшавии y = k x + b y = kx + b y = k x + b Фарқ: f ( x 2 ) − f ( x 1 ) = ( k x 2 + b ) − ( k x 1 + b ) = k ( x 2 − x 1 ) . f(x_2) - f(x_1) = (kx_2 + b) - (kx_1 + b) = k(x_2 - x_1). f ( x 2 ) − f ( x 1 ) = ( k x 2 + b ) − ( k x 1 + b ) = k ( x 2 − x 1 ) . x 2 − x 1 > 0 , x_2 - x_1 > 0, x 2 − x 1 > 0 , k k k k > 0 k > 0 k > 0 k < 0 k < 0 k < 0
Мисоли 1 Нишон медиҳем, ки функсияи φ ( x ) = x \varphi(x) = \sqrt{x} φ ( x ) = x [ 0 ; ∞ ) [0;\ \infty) [ 0 ; ∞ )
Бигзор 0 ≤ x 1 < x 2 . 0 \le x_1 < x_2. 0 ≤ x 1 < x 2 .
φ ( x 2 ) − φ ( x 1 ) = x 2 − x 1 = x 2 − x 1 x 2 + x 1 . \varphi(x_2) - \varphi(x_1) = \sqrt{x_2} - \sqrt{x_1} = \dfrac{x_2 - x_1}{\sqrt{x_2} + \sqrt{x_1}}. φ ( x 2 ) − φ ( x 1 ) = x 2 − x 1 = x 2 + x 1 Сурат мусбат аст (x 2 > x 1 x_2 > x_1 x 2 > x 1 маҳраҷ низ мусбат аст (x 2 > 0 \sqrt{x_2} > 0 x 2 > 0 Пас фарқ мусбат аст: φ ( x 2 ) > φ ( x 1 ) . \varphi(x_2) > \varphi(x_1). φ ( x 2 ) > φ ( x 1 ) .
Мисоли 2 Бигзор функсияи y = a x 2 + c y = ax^2 + c y = a x 2 + c (a ≠ 0 a \ne 0 a = 0 дар ( − ∞ ; ∞ ) (-\infty;\ \infty) ( − ∞ ; ∞ )
Азбаски функсия ҷуфт аст (y ( − x ) = y ( x ) y(-x) = y(x) y ( − x ) = y ( x ) аввал онро дар [ 0 ; ∞ ) [0;\ \infty) [ 0 ; ∞ ) 0 ≤ x 1 < x 2 . 0 \le x_1 < x_2. 0 ≤ x 1 < x 2 . x 2 + x 1 > 0 x_2 + x_1 > 0 x 2 + x 1 > 0
y 2 − y 1 = ( a x 2 2 + c ) − ( a x 1 2 + c ) = a ( x 2 − x 1 ) ( x 2 + x 1 ) . y_2 - y_1 = (ax_2^2 + c) - (ax_1^2 + c) = a(x_2 - x_1)(x_2 + x_1). y 2 − y 1 = ( a x 2 2 + c ) − ( a x 1 2 + c ) = a ( x 2 − x 1 ) ( x 2 + x 1 ) . Зарбкунандаҳои ( x 2 − x 1 ) (x_2 - x_1) ( x 2 − x 1 ) ( x 2 + x 1 ) (x_2 + x_1) ( x 2 + x 1 ) y 2 − y 1 y_2 - y_1 y 2 − y 1 a a a
Ҳангоми a > 0 a > 0 a > 0 y 2 > y 1 , y_2 > y_1, y 2 > y 1 , [ 0 ; ∞ ) [0;\ \infty) [ 0 ; ∞ ) O y Oy O y ( − ∞ ; 0 ] (-\infty;\ 0] ( − ∞ ; 0 ]
Ҳангоми a < 0 a < 0 a < 0 y 2 < y 1 , y_2 < y_1, y 2 < y 1 , [ 0 ; ∞ ) [0;\ \infty) [
Симметрияро дақиқтар чунин мефаҳманд: агар x 1 < x 2 ≤ 0 , x_1 < x_2 \le 0, x 1 < x 2 ≤ 0 , 0 ≤ − x 2 < − x 1 0 \le -x_2 < -x_1 0 ≤ − x 2 < − x 1 [ 0 ; ∞ ) [0;\ \infty) [ 0 ; ∞ ) a > 0 a > 0 a > 0 y ( − x 2 ) < y ( − x 1 ) , y(-x_2) < y(-x_1), y ( − x 2 ) < y ( − x 1 ) , y ( x 2 ) < y ( x 1 ) . y(x_2) < y(x_1). y ( x 2 ) < y ( x 1 ) .
Мисоли 3 Функсияи y = x 4 y = x^4 y = x 4 ( − ∞ ; ∞ ) (-\infty;\ \infty) ( − ∞ ; ∞ ) [ 0 ; ∞ ) [0;\ \infty) [ 0 ; ∞ ) 0 ≤ x 1 < x 2 . 0 \le x_1 < x_2. 0 ≤ x 1 < x 2 .
x 2 4 − x 1 4 = ( x 2 2 − x 1 2 ) ( x 2 2 + x 1 2 ) = ( x 2 − x 1 ) ( x 2 + x 1 ) ( x 2 2 + x 1 2 ) , x_2^4 - x_1^4 = (x_2^2 - x_1^2)(x_2^2 + x_1^2) = (x_2 - x_1)(x_2 + x_1)(x_2^2 + x_1^2), x 2 4 − x 1 4 = ( x 2 2 − x 1 2 ) ( x 2 2 + x 1 2 ) = ( x 2 − x 1 ) ( x 2 + x 1 ) ( x 2 2 + x 1 2 ) , ва ҳар се зарбкунанда мусбатанд, фарқ мусбат аст. Пас функсия дар [ 0 ; ∞ ) [0;\ \infty) [ 0 ; ∞ ) O y Oy O y ( − ∞ ; 0 ] (-\infty;\ 0] ( − ∞ ; 0 ]
Нул ва аломатҳои функсияи хаттӣ Функсияи f ( x ) = k x + b f(x) = kx + b f ( x ) = k x + b (k ≠ 0 k \ne 0 k = 0 як нул дорад: k x + b = 0 , kx + b = 0, k x + b = 0 , x 0 = − b k . x_0 = -\dfrac{b}{k}. x 0 = − k b .
ҳангоми k > 0 k > 0 k > 0 f ( x ) < 0 f(x) < 0 f ( x ) < 0 x < x 0 x < x_0 x < x 0 f ( x ) > 0 f(x) > 0 f ( x ) > 0 x > x 0 ; x > x_0; x > x 0 ;
ҳангоми k < 0 k < 0 k < 0 f ( x ) > 0 f(x) > 0 f ( x ) > 0 x < x 0 x < x_0 x < x 0 f ( x ) < 0 f(x) < 0
Мисол. Функсияи f ( x ) = 2 x − 6 f(x) = 2x - 6 f ( x ) = 2 x − 6 x 0 = 3 ; x_0 = 3; x 0 = 3 ; k = 2 > 0 , k = 2 > 0, k = 2 > 0 , f ( x ) > 0 f(x) > 0 f ( x ) > 0 x > 3 x > 3 x > 3 f ( x ) < 0 f(x) < 0 f ( x ) < 0 x < 3. x < 3. x < 3.
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф 1. Барои кадом қиматҳои x x x y = f ( x ) y = f(x) y = f ( x )
а) f ( x ) = − 2 x + 6 ; f(x) = -2x + 6; f ( x ) = − 2 x + 6 ;
б) f ( x ) = 20 x + 10 f(x) = 20x + 10 f ( x ) = 20 x + 10
Графики ин функсияҳоро созед.
2. Кадоме аз функсияҳои хаттии: а) y = 8 x − 5 ; y = 8x - 5; y = 8 x − 5 ; y = − 3 x + 1 ; y = -3x + 1; y = − 3 x + 1 ; y = − 49 x − 100 ; y = -49x - 100; y = − 49 x − 100 ; y = x + 1 ; y = x + 1; y = x + 1 ; y = 1 − x y = 1 - x y = 1 − x
3. Функсия бо формулаи f ( x ) = − 13 x − 78 f(x) = -13x - 78 f ( x ) = − 13 x − 78 x x x f ( x ) = 0 ; f(x) = 0; f ( x ) = 0 ; f ( x ) > 0 ; f(x) > 0; f ( x ) > 0 ; f ( x ) < 0 f(x) < 0 f ( x ) < 0
4. Графики функсияҳоро созед ва хосиятҳояшонро номбар кунед:
а) y = 4 x ; y = \dfrac{4}{x}; y = x 4 ;
б) y = − 5 x . y = -\dfrac{5}{x}. y = − x 5 .
Дар хона 5. Графики функсияҳоро созед ва хосиятҳояшонро номбар кунед:
а) y = 1,5 x − 3 ; y = 1{,}5x - 3; y = 1 , 5 x − 3 ;
б) y = 0,6 x + 5 ; y = 0{,}6x + 5; y = 0 , 6 x + 5 ;
в) y = − 4 − x ; y = -4 - x; y = − 4 − x ;
г) y = 0,5 ( 1 − 3 x ) ; y = 0{,}5(1 - 3x); y = 0 , 5 ( 1 − 3 x ) ;
ғ) y = 2 x − 2. y = 2x - 2. y = 2 x − 2.
6. Муодилаҳоро ҳал кунед:
а) x 2 + 2 x 3 = 14 ; \dfrac{x}{2} + \dfrac{2x}{3} = 14; 2 x + 3 2 x = 14 ;
б) 5 ( x − 2 ) x + 2 − 2 ( x − 3 ) x + 3 = 3. \dfrac{5(x - 2)}{x + 2} - \dfrac{2(x - 3)}{x + 3} = 3. x + 2 5 ( x − 2 ) − x + 3 2 ( x − 3 ) = 3.
7. Бигзор f ( x ) = 2 + 3 x 2 − 3 x . f(x) = \dfrac{2 + 3x}{2 - 3x}. f ( x ) = 2 − 3 x 2 + 3 x . f ( 0 ) f(0) f ( 0 ) f ( 1 ) . f(1). f ( 1 ) .
а) [ 6 − 4 ⋅ ( 5 16 ) 0 ] − 2 ; \left[6 - 4 \cdot \left(\dfrac{5}{16}\right)^0\right]^{-2}; [ 6 − 4 ⋅ ( 16 5 ) 0 ] − 2 ;
б) 1 11 + 2 30 + 1 11 − 2 30 . \dfrac{1}{11 + 2\sqrt{30}} + \dfrac{1}{11 - 2\sqrt{30}}. 11 + 2 30 1 +
а) ( 2 a − 3 a b ) 2 − ( 3 a − 2 a b ) 2 ; (2a - 3ab)^2 - (3a - 2ab)^2; ( 2 a − 3 ab ) 2 − ( 3 a − 2 ab ) 2 ;
б) ( 2 a − 3 ) ⋅ ( 2 a + 3 ) 2 − 8 a 3 + 27. (2a - 3) \cdot (2a + 3)^2 - 8a^3 + 27. ( 2 a − 3 ) ⋅ ( 2 a + 3 ) 2 − 8 a 3 + 27.
10. Аз фурудгоҳ дар як вақт ба ҷойи муқарраршуда, ки масофааш 1600 1600 1600 80 80 80
Вазифаи хонагӣ
Машқҳои 5–10 аз қисмҳои «Дар хона» ва «Такрор».
Вазифаи онлайн оид ба мавзӯи 4 дар саҳифаи «Супоришҳо» аст, агар омӯзгор онро супорида бошад.
Хулоса
Функсия афзуншаванда аст, агар ба x 2 > x 1 x_2 > x_1 x 2 > x 1 f ( x 2 ) > f ( x 1 ) f(x_2) > f(x_1) f ( x 2 ) > f ( x 1 ) f ( x 2 ) < f ( x 1 ) . f(x_2) < f(x_1). f ( x 2 ) < f ( x 1 ) .
Барои исбот: фарқи f ( x 2 ) − f ( x 1 ) f(x_2) - f(x_1) f ( x 2 ) − f ( x 1 )
y = k x + b y = kx + b y = k x + b k > 0 , k > 0, k > 0 , k < 0. k < 0. k < 0. y = k x y = \dfrac{k}{x} y y = x y = \sqrt{x} y = x [ 0 ; ∞ ) [0;\ \infty) [ 0 ; ∞ ) y = a x 2 + c y = ax^2 + c Дар ин дарс
Ман метавонам афзуншавӣ ва камшавии функсияро бо аломати фарқи f ( x 2 ) − f ( x 1 ) f(x_2) - f(x_1) f ( x 2 ) − f ( x 1 ) Ман медонам афзуншавӣ ва камшавии y = x , y = \sqrt{x}, y = x , y = a x 2 + c y = ax^2 + c y = a x Ман метавонам нул ва аломатҳои функсияи хаттиро ёбам. Такрор (2 дақиқа)
Таърифи функсияи афзуншавандаро баён кунед.
Фарқи x 2 2 − x 1 2 x_2^2 - x_1^2 x 2 2 − x 1 2
Аломати ҳосили зарби ( x 2 − x 1 ) ( x 2 + x 1 ) (x_2 - x_1)(x_2 + x_1) ( x 2 − x 1 ) ( x 2 + x 1 ) 0 < x 1 < x 2 0 < x_1 < x_2 0 < x 1 < x 2
Ҷавобҳо
Ҳангоми x 2 > x 1 x_2 > x_1 x 2 > x 1 f ( x 2 ) > f ( x 1 ) . f(x_2) > f(x_1). f ( x 2 )
Вазъият барои андешаронӣ Аз график дидан мумкин аст, ки y = x 2 y = x^2 y = x 2 [ 0 ; ∞ ) [0;\ \infty) [ 0 ; ∞ ) x 2 > x 1 ≥ 0 x_2 > x_1 \ge 0 x 2 > x 1 ≥ 0 x 2 2 > x 1 2 x_2^2 > x_1^2 x 2 2 > x 1 2
Калимаҳои калидӣ функсияи афзуншаванда функсияи камшаванда монотонӣ аломати фарқ нули функсия
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам? Барои чӣ барои исбот танҳо аломати фарқ кифоя аст? Чӣ тавр симметрияи функсияи ҷуфт кори исботро нисф мекунад?
Худро арзёбӣ кунед (✓ ё ✗):
Ман таърифи функсияи афзуншаванда ва камшавандаро медонам.
Ман афзуншавии функсияро бо аломати фарқ исбот карда метавонам.
Ман нули функсияи хаттӣ ва аломатҳои онро ёфта метавонам.
Ман фарқи монотонӣ дар як фосила ва дар иттиҳоди фосилаҳоро мефаҳмам.
Функсияи y = x 2 y = x^2 y = x 2 ( − ∞ ; 0 ] (-\infty;\ 0] ( − ∞ ; 0 ]
Қадамҳои исботи афзуншавии функсияи y = 3 x − 1 y = 3x - 1 y = 3 x − 1
Унсурҳоро бо тартиби дуруст ҷойгир кунед 1 Хулоса: f ( x 2 ) > f ( x 1 ) f(x_2) > f(x_1) f ( x 2 ) > f ( x
2
3
4
5
Бигзор 0 < x 1 < x 2 . 0 < x_1 < x_2. 0 < x 1 < x 2 . x 2 2 − x 1 2 x_2^2 - x_1^2 x 2
Як ҷавобро интихоб кунед A нул B манфӣ C D мусбат
Барои кадом x x x f ( x ) = − 7 x + 21 f(x) = -7x + 21 f ( x ) = − 7 x + 21
Як ҷавобро интихоб кунед A x < 3 x < 3 x < 3
B x < − 3 x < -3 x <
C D
x 2 − x 1
.
0
;
∞
)
( − ∞ ; 0 ] (-\infty;\ 0] ( − ∞ ; 0 ] f ( x ) < 0
.
=
x k
( − ∞ ; 0 ) (-\infty;\ 0) ( − ∞ ; 0 ) y
=
a x 2 +
c
2
+
c
>
f ( x 1 ) .
( x 2 − x 1 ) ( x 2 + x 1 ) . (x_2 - x_1)(x_2 + x_1). ( x 2 − x 1 ) ( x 2 + x 1 ) . 1
)
Соддакунӣ: f ( x 2 ) − f ( x 1 ) = 3 x 2 − 3 x 1 = 3 ( x 2 − x 1 ) . f(x_2) - f(x_1) = 3x_2 - 3x_1 = 3(x_2 - x_1). f ( x 2 ) − f ( x 1 ) = 3 x 2 − 3 x 1 = 3 ( x 2 − x 1 ) .
Азбаски x 2 − x 1 > 0 x_2 - x_1 > 0 x 2 − x 1 > 0 3 > 0 , 3 > 0, 3 > 0 ,
Ду қимати дилхоҳи x 1 < x 2 x_1 < x_2 x 1 < x 2
Фарқро менависем: f ( x 2 ) − f ( x 1 ) = ( 3 x 2 − 1 ) − ( 3 x 1 − 1 ) . f(x_2) - f(x_1) = (3x_2 - 1) - (3x_1 - 1). f ( x 2 ) − f ( x 1 ) = ( 3 x 2 − 1 ) − ( 3 x 1 − 1 ) .
2
−
x 1 2
аз x 1 x_1 x 1 x 2 x_2 x 2
−
3