7 · 2/2. Қулла, тири симметрия ва нуқтаҳои буриши парабола - Алгебра — синфи 91. Функсияи квадратӣ
7 · 2/2. Қулла, тири симметрия ва нуқтаҳои буриши парабола
1 соат
- Назария
- Дарси 14 аз 26
- Хониш: 11 дақиқа
- Саволҳо: 5
Қулла ва тири симметрия
Дар дарси 5 дидем, ки
ax2+bx+c=a
навбатӣ8. Экстремуми функсияи квадратӣ
1 соат
[
(x+2ab)2
−
4a2b2−4ac
]
=
a(x+2ab)2−
4ab2−4ac.
Ин ҳамон намуди y=a(x−α)2+β аст, ки дар он
α=−2ab,β=−4ab2−4ac. Аз ин ва хосиятҳои y=ax2 мебарояд: ҳангоми a>0 функсия дар (−∞; −2ab] камшаванда, дар [−2ab; ∞) афзуншаванда аст ва қимати хурдтарини он −4aD аст. Ҳангоми a<0 баръакс; қимати калонтарин −4aD аст.
Нуқтаҳои буриш бо тирҳои координата
Бо тири Oy. Парабола тири Oy-ро дар нуқтаи (0; c) мебурад: ордината ба c баробар аст (ба x=0 мувофиқ). Масалан, параболаи y=x2+4x+3 тири Oy-ро дар нуқтаи (0; 3) мебурад.
Бо тири Ox. Дар нуқтаҳои буриш y=0, яъне абсиссаҳо — решаҳои муодилаи ax2+bx+c=0. Шумораи онҳо аз D=b2−4ac вобаста аст:
- D>0: ду реша x1,2=2a−b±D, парабола тири Ox-ро дар ду нуқта мебурад. Масалан, x2+4x+3: D=16−12=4>0, решаҳо −1 ва −3.
- D=0: як реша x=−2ab ва муодилаи парабола y мешавад. Нуқтаи — парабола бо тири Масалан, — парабола тири дар нуқтаи мерасад.
- D<0: решаи ҳақиқӣ нест, парабола тири Ox-ро намебурад. Масалан, x2+2x+3:
Мисолҳо
Мисоли 1. Қуллаи параболаи y=2x2−4x+5-ро меёбем.
Ҳал. y=2(x2−2x+25)=2[(x−1)2+23]=2(x−1)2+3. Ҷавоб: қулла дар нуқтаи (1; 3) воқеъ аст. (Бо формула: −2ab=1, y(1)=3.)
Мисоли 2. Нуқтаҳои буриши параболаи y=3x2−9x+6-ро бо тирҳои координата меёбем.
Ҳал. Дар y=0: 3x2−9x+6=0, x2−3x+2=0, решаҳо x1=1, x2=2. Пас парабола тири Ox-ро дар нуқтаҳои (1; 0) ва (2; 0) мебурад. Ҳангоми x=0: y=6 — тири Oy-ро дар (0; 6) мебурад.
Мисоли 3. Функсияи квадратии y=2x2−2x+12 дода шудааст. Фосилаҳои афзуншавӣ ва камшавиро меёбем.
Ҳал. Функсияро ба намуди 2x2−2x+12=2(x−0,5)2+11,5 табдил медиҳем. Тири симметрия x=0,5, қулла дар нуқтаи (0,5; 11,5). Азбаски a=2>0, шохаҳои парабола ба боло равонанд. Пас функсия дар фосилаи (0,5; ∞) афзуншаванда ва дар (−∞; 0,5) камшаванда аст.
Озмоиш: озмоишгоҳи парабола
Озмоишгоҳи параболасанҷида бин! Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф
1. Координатаҳои қулла ва муодилаи тири симметрияи функсияро ёбед:
- а) y=3x2+4;
- б) y=−2(x−2)2+3;
- в) y=3x2−12x;
- г) y=−5x2+4x+1;
- ғ) y=2x2−32x+8
- д) y=−7x2+6x+1.
2. Нулҳои функсияро ёбед:
- а) y=3x2−7x+4;
- б) y=5x2−8x+3;
- в) y=3x2−13x+14;
- г) y=2x2−9x+10.
3. Нуқтаи буриши параболаро бо тири ордината ёбед:
- а) y=5x2−7x+1;
- б) y=3x2+x+2;
- в) y=−x2+4;
- г) y=x2−3x+5.
4. Координатаҳои нуқтаи расиши параболаро муайян кунед (агар чунин нуқта бошад):
- а) y=2x2−12x+18;
- б) y=−x2+x−0,25;
- в) y=x2−2x+1;
- г) y=x2−4x−1.
5. Фосилаҳои афзуншавӣ ва камшавии функсияро ёбед:
- а) y=−x2+x;
- б) y=3x2−7x+4;
- в) y=−2x2+12x−19;
- г) y=41x2+x+1;
- ғ) y=3(x+1)2;
- д) y=−2x2+4x+4.
Дар хона
6. Магар парабола тири абсиссаро мебурад? Агар бурад, координатаҳои нуқтаҳои буришро ёбед:
- а) y=2x2−5x−3;
- б) y=3x2−2x+1;
- в) y=5x2+9x+4;
- г) y=36x2−12x+1.
7. Касрҳоро ихтисор кунед:
- а) a2−b2(a−b)2;
- б) (x+y)2y2−x2;
- в) (n−m)2m−n.
8. Муодилаҳоро ҳал кунед:
- а) 2x+12x−1=2x−12x+1+1−4x28;
- б) 1−9x212=1+3
9. Парвиз ва Фирдавс якҷоя 100 саҳифа китоб хонданд. Агар маълум бошад, ки Парвиз аз Фирдавс 4 саҳифа камтар китоб хондааст, пас Парвиз ва Фирдавс чандсаҳифагӣ китоб хонданд?
10. Сеаъзогии квадратиро ба зарбкунандаҳо ҷудо кунед:
- а) −y2+6y−5;
- б) −x2−5x+6;
- в) 2x2−5x+3;
- г) 5y2+2y−3.
Вазифаи хонагӣ
- Машқҳои 6–10 аз қисмҳои «Дар хона» ва «Такрор».
- Вазифаи онлайн оид ба мавзӯи 7 дар саҳифаи «Супоришҳо» аст, агар омӯзгор онро супорида бошад.
Хулоса
- Функсияи квадратӣ — y=ax2+bx+c, a=0; графикаш парабола аст.
- Қулла: (−2ab; −4aD), тири симметрия: x=−2ab; шохаҳо ба боло ҳангоми a>0 ва ба поён ҳангоми a<0.
- Бо Oy парабола дар (0; c) мебурад; бо Ox — ду нуқта (D>0), як нуқтаи расиш (D=) ё ҳеҷ нуқта
- Ҳангоми a>0 функсия то қулла камшаванда ва аз қулла афзуншаванда аст; ҳангоми a<0 баръакс.
Дар ин дарс
- Ман метавонам қулла ва тири симметрияи параболаи y=ax2+bx+c-ро бо формула ёбам.
- Ман метавонам нуқтаҳои буриши параболаро бо тирҳои координата ёбам ва шумораи онҳоро аз рӯйи D муайян кунам.
- Ман метавонам фосилаҳои афзуншавӣ ва камшавии функсияи квадратиро ёбам.
Такрор (2 дақиқа)
- Квадрати пурраро ҷудо кунед: x2−4x+7.
- Дискриминанти x2+4x+3-ро ёбед ва муодилаи x2+4x+3=0-ро ҳал кунед.
- Қулла ва тири симметрияи параболаи y=2(x−1)2+3-ро нависед.
Ҷавобҳо
- (x−2)2+3. 2) D=16−12=4; 3) Қулла тири симметрия
Вазъият барои андешаронӣДар дарси гузашта парабола бо қуллаи (β; γ) ва формулаи a(x−β)2+γ дида шуд. Агар формула дар намуди ax2+bx+c бошад, кулларо чӣ тавр ёфтан мумкин? Оё бо ҷудо кардани квадрати пурра аз сеаъзогӣ ин имконпазир аст?
ХулосаГрафики функсияи y=ax2+bx+c — парабола аст. Қуллаи он нуқтаи
Параболаи y = x² − 2x − 3: қулла (1; −4), тири симметрия x = 1, нуқтаҳои буриш бо тирҳо.Калимаҳои калидӣфунксияи квадратӣпараболашохаҳои параболақуллатири симметриянуқтаи расиш
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам?Аз кадом қисмҳои формула шумораи нуқтаҳои буриш бо Ox ва самти шохаҳо маълум мешаванд? Барои чӣ дар D=0 қулла дар тири Ox мехобад?
Худро арзёбӣ кунед (✓ ё ✗):
- Ман қулла ва тири симметрияро бо формула ёфта метавонам.
- Ман нуқтаҳои буриши параболаро бо O ва ёфта метавонам.
Параболаи y=2x2−3x+5 тири Ox-ро дар чанд нуқта мебурад?
Як ҷавобро интихоб кунед
Агар дискриминанти ax2+bx+c ба нул баробар бошад, парабола тири Ox-ро мерасад (як нуқтаи умумӣ дорад).
Ба ҳар як функсия қулла ва самти шохаҳоро мувофиқ гузоред.
Ҳар як унсури чапро бо яке аз рост мувофиқ кунедy=x2−4x+7
→y=−x2
→→
=
a(x+2ab)2
(−2ab; 0) нуқтаи расиши
x2−2x+1: D
=
−8<
0.
1
;
x
1−3x
+
3x−11+3x.
0
x1=−3,
(−2ab; −4ab2−4ac),
яъне (−2ab; −4aD). Тири симметрия — хати рости x=−2ab. Шохаҳои парабола ба боло равонанд, агар a>0, ва ба поён, агар a<0.
x
Ман аз рӯйи D шумораи нуқтаҳои буришро муайян карда метавонам. Ман фосилаҳои афзуншавӣ ва камшавиро ёфта метавонам.
+
2x+
3
y=x2+2x−3