8. Экстремуми функсияи квадратӣ - Алгебра — синфи 9
Экстремум чист?
Соҳаи муайянии функсияи квадратии y = a x 2 + b x + c y = ax^2 + bx + c y = a x 2 + b x + c R = ( − ∞ ; ∞ ) \mathbb{R} = (-\infty;\ \infty) R = ( − ∞ ; ∞ ) соҳаи қиматҳо ҳамаи ададҳо нест: ҳангоми
навбатӣ 9 · 1/3. Графики функсияҳои y = ax² ва y = ax² + c 1 соат
a > 0
Қимати хурдтаринро минимум (y min y_{\min} y m i n қимати калонтаринро максимум (y max y_{\max} y m a x низ мегӯянд. Мо экстремумро танҳо барои функсияи квадратӣ меёбем.
Ҳолати b = 0 b = 0 b = 0 y = a x 2 + c y = ax^2 + c y = a x 2 + c Дар ин ҷо x 2 ≥ 0 x^2 \ge 0 x 2 ≥ 0 x x x x 2 = 0 x^2 = 0 x 2 = 0 x = 0. x = 0. x = 0.
Ҳолати a > 0 a > 0 a > 0 Пас a x 2 ≥ 0 , ax^2 \ge 0, a x 2 ≥ 0 , y = a x 2 + c ≥ c . y = ax^2 + c \ge c. y = a x 2 + c ≥ c . c c c x = 0 x = 0 x = 0 y min = c , y_{\min} = c, y m i n = c , x min = 0. x_{\min} = 0. x m i n = 0. x x x a x 2 ax^2 a x 2
Ҳолати a < 0 a < 0 a < 0 Пас a x 2 ≤ 0 , ax^2 \le 0, a x 2 ≤ 0 , y ≤ c , y \le c, y ≤ c , y = c y = c y = c x = 0. x = 0. x = 0. y max = c , y_{\max} = c, y m a x = c , x max = 0 , x_{\max} = 0, x m a x = 0 ,
Ин ҳангоми a > 0 a > 0 a > 0 y = a x 2 + c y = ax^2 + c y = a x 2 + c ( − ∞ ; 0 ] (-\infty;\ 0] ( − ∞ ; 0 ] [ 0 ; ∞ ) [0;\ \infty) [ 0 ; ∞ ) a < 0 a < 0 a < 0
Ҳолати умумӣ: y = a x 2 + b x + c y = ax^2 + bx + c y = a x 2 + b x + c Квадрати пурраро ҷудо мекунем (фасли 5):
y = a ( x + b 2 a ) 2 − b 2 − 4 a c 4 a = a ( x + b 2 a ) 2 − D 4 a , D = b 2 − 4 a c . ( 1 ) y = a\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{b^2 - 4ac}{4a} = a\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{D}{4a}, \qquad D = b^2 - 4ac. \qquad (1) y = a ( x + 2 a b ) 2 − 4 a b 2 − 4 a c = a ( x + 2 a b ) 2 − 4 a D , D = b 2 − 4 a c . ( 1 ) Формулаи (1) ба y = a x 2 + c y = ax^2 + c y = a x 2 + c x x x x + b 2 a x + \dfrac{b}{2a} x + 2 a b c c c − D 4 a -\dfrac{D}{4a} − 4 a D
Эзоҳ 1. Нуқтаи экстремалии функсияи квадратӣ — қуллаи парабола аст: ( − b 2 a ; − D 4 a ) . \left(-\dfrac{b}{2a};\ -\dfrac{D}{4a}\right). ( − 2 a b ; − 4 a D ) .
Эзоҳ 2. Аз ин ҷо соҳаи қиматҳо маълум мешавад: ҳангоми a > 0 a > 0 a > 0 [ y min ; ∞ ) , [y_{\min};\ \infty), [ y m i n ; ∞ ) , a < 0 a < 0 a < 0 ( − ∞ ; y max ] (-\infty;\ y_{\max}] ( − ∞ ; y m a x ]
Мисоли 1. Экстремуми функсияи y = 2 x 2 + 3 y = 2x^2 + 3 y = 2 x 2 + 3
Ҳал. Дар ин ҷо a = 2 > 0 , a = 2 > 0, a = 2 > 0 , 2 x 2 + 3 ≥ 3 2x^2 + 3 \ge 3 2 x 2 + 3 ≥ 3 x = 0 , x = 0, x = 0 , y min = y ( 0 ) = 3 , x min = 0. y_{\min} = y(0) = 3, \qquad x_{\min} = 0. y m i n = y ( 0 ) = 3 , x m i n = 0.
Мисоли 2. Экстремуми y = − 3 x 2 + 4 y = -3x^2 + 4 y = − 3 x 2 + 4
Ҳал. a = − 3 < 0. a = -3 < 0. a = − 3 < 0. − 3 x 2 ≤ 0 , -3x^2 \le 0, − 3 x 2 ≤ 0 , y ≤ 4 y \le 4 y ≤ 4 y = 4 y = 4 y = 4 x = 0. x = 0. x = 0. y max = y ( 0 ) = 4 , x max = 0. y_{\max} = y(0) = 4, \qquad x_{\max} = 0. y m a x = y ( 0 ) = 4 , x m a x = 0.
Мисоли 3. Экстремуми y = 2 ( x − 3 ) 2 + 5 y = 2(x - 3)^2 + 5 y = 2 ( x − 3 ) 2 + 5
Ҳал. Тарзи якум. Қавсро мекушоем: y = 2 x 2 − 12 x + 23. y = 2x^2 - 12x + 23. y = 2 x 2 − 12 x + 23. a = 2 > 0 , a = 2 > 0, a = 2 > 0 , y min = − b 2 − 4 a c 4 a = − 144 − 184 8 = 5 , x min = − b 2 a = 12 4 = 3. y_{\min} = -\dfrac{b^2 - 4ac}{4a} = -\dfrac{144 - 184}{8} = 5, \qquad x_{\min} = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{12}{4} = 3. y m i n = − 4 a b 2 − 4 a c = − 8
Тарзи дуюм. Аз y = 2 ( x − 3 ) 2 + 5 y = 2(x - 3)^2 + 5 y = 2 ( x − 3 ) 2 + 5 x = 3 x = 3 x = 3 x min = 3 , x_{\min} = 3, x m i n = 3 , y min = 5. y_{\min} = 5. y m i n = 5.
Мисоли 4. Экстремуми y = − 3 x 2 + 12 x − 8 y = -3x^2 + 12x - 8 y = − 3 x 2 + 12 x − 8
Ҳал. a = − 3 < 0 , a = -3 < 0, a = − 3 < 0 , y max = − 12 2 − 4 ⋅ ( − 3 ) ⋅ ( − 8 ) 4 ⋅ ( − 3 ) = − 144 − 96 − 12 = 4 , x max = − 12 2 ⋅ ( − 3 ) = 2. y_{\max} = -\dfrac{12^2 - 4 \cdot (-3) \cdot (-8)}{4 \cdot (-3)} = -\dfrac{144 - 96}{-12} = 4, \qquad x_{\max} = -\dfrac{12}{2 \cdot (-3)} = 2. y m a x = − 4 ⋅ ( − 3 ) 1 2 2 − 4 ⋅ ( − 3 ) ⋅ ( − 8 ) = − − 12 144 − 96 = 4 , x m a x = − 2 ⋅ ( − 3 ) 12 = 2. y = − 3 ( x − 2 ) 2 + 4 y = -3(x - 2)^2 + 4 y = − 3 ( x − 2 ) 2 + 4
Мисоли 5. Ба саволи аввали дарс бармегардем: h = 20 t − 5 t 2 = − 5 t 2 + 20 t . h = 20t - 5t^2 = -5t^2 + 20t. h = 20 t − 5 t 2 = − 5 t 2 + 20 t . a = − 5 < 0 , a = -5 < 0, a = − 5 < 0 , b = 20 , b = 20, b = 20 , c = 0. c = 0. c = 0. t = − 20 2 ⋅ ( − 5 ) = 2 , h max = − 5 ⋅ 2 2 + 20 ⋅ 2 = 20. t = -\dfrac{20}{2 \cdot (-5)} = 2, \qquad h_{\max} = -5 \cdot 2^2 + 20 \cdot 2 = 20. t = − 2 ⋅ ( − 5 ) 20 = 2 , h 2 2 2 20 20 20
Худатон санҷед: ду ҳолат — қимати хурдтарин ва калонтарин. Баъд ҳадафро иҷро кунед.
Озмоишгоҳи парабола санҷида бин! Аз нав
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф 1. Кадоме аз функсияҳои зерин қимати калонтарин ва кадомаш қимати хурдтарин доранд:
а) y = 2 x 2 + 12 x + 13 ; y = 2x^2 + 12x + 13; y = 2 x 2 + 12 x + 13 ;
б) y = − 2 x 2 − 4 x − 5 ; y = -2x^2 - 4x - 5; y = − 2 x 2 − 4 x − 5 ;
в) y = x 2 + x − 6 ; y = x^2 + x - 6; y = x 2 + x − 6 ;
г) y = − 0,5 x 2 + 1,5 x + 2 ; y = -0{,}5x^2 + 1{,}5x + 2; y = − 0 , 5 x 2 + 1 , 5 x + 2 ;
ғ) y = − 2 x 2 + 6 x − 6 ; y = -2x^2 + 6x - 6; y = − 2 x 2 + 6 x − 6 ;
д) y = 3 x 2 − 6 x + 5. y = 3x^2 - 6x + 5. y = 3 x 2 − 6 x + 5.
2. Экстремуми функсияро ёбед:
а) y = x 2 − 2 x − 15 ; y = x^2 - 2x - 15; y = x 2 − 2 x − 15 ;
б) y = − x 2 + 6 x − 7 ; y = -x^2 + 6x - 7; y = − x 2 + 6 x − 7 ;
в) y = x 2 + 2 x + 1 ; y = x^2 + 2x + 1; y = x 2 + 2 x + 1 ;
г) y = − 2 x 2 + 4 x + 1 ; y = -2x^2 + 4x + 1; y = − 2 x 2 + 4 x + 1 ;
ғ) y = 2 x 2 + 2 x ; y = 2x^2 + 2x; y = 2 x 2 + 2 x ;
д) y = − 3 x 2 + 18 x − 26. y = -3x^2 + 18x - 26. y = − 3 x 2 + 18 x − 26.
3. Экстремум ва экстремали функсияро ёбед:
а) y = 3 ( x + 2 ) 2 + 1 ; y = 3(x + 2)^2 + 1; y = 3 ( x + 2 ) 2 + 1 ;
б) y = − 3 ( x + 2 ) 2 − 1 ; y = -3(x + 2)^2 - 1; y = − 3 ( x + 2 ) 2 − 1 ;
в) y = 2 ( x + 3 ) 2 + 1 ; y = 2(x + 3)^2 + 1; y = 2 ( x + 3 ) 2 + 1 ;
г) y = 4 ( x − 2 ) 2 − 1 ; y = 4(x - 2)^2 - 1; y = 4 ( x − 2 ) 2 − 1 ;
ғ) y = 4 ( x − 2 ) 2 + 1 ; y = 4(x - 2)^2 + 1; y = 4 ( x − 2 ) 2 + 1 ;
д) y = 3 x 2 − 18 x + 30. y = 3x^2 - 18x + 30. y = 3 x 2 − 18 x + 30.
Дар хона 4. Экстремали функсияи квадратиро ёбед:
а) y = 2 x 2 + 3 ; y = 2x^2 + 3; y = 2 x 2 + 3 ;
б) y = x 2 − 2 ; y = x^2 - 2; y = x 2 − 2 ;
в) y = − 4 x 2 + 16 x − 13 ; y = -4x^2 + 16x - 13; y = − 4 x 2 + 16 x − 13 ;
г) y = 4 x 2 + 4 ; y = 4x^2 + 4; y = 4 x 2 + 4 ;
ғ) y = − x 2 + 2 x ; y = -x^2 + 2x; y = − x 2 + 2 x ;
д) y = 2 x 2 + 12 x + 10. y = 2x^2 + 12x + 10. y = 2 x 2 + 12 x + 10.
Такрор
а) ( a a + 1 + 1 ) : ( 1 − 3 a 2 1 − a 2 ) ; \left(\dfrac{a}{a + 1} + 1\right) : \left(1 - \dfrac{3a^2}{1 - a^2}\right); ( a + 1 a + 1 ) : ( 1 − 1 − a 2 3 a 2 ) ;
б) x 2 + 4 x + 3 x − 5 ⋅ x 2 − 5 x x + 3 . \dfrac{x^2 + 4x + 3}{x - 5} \cdot \dfrac{x^2 - 5x}{x + 3}. x − 5 x 2 + 4 x + 3 ⋅
а) x 2 + 12 x − 64 = 0 ; x^2 + 12x - 64 = 0; x 2 + 12 x − 64 = 0 ;
б) x 2 − 4 x = 45. x^2 - 4x = 45. x 2 − 4 x = 45.
7. Самти равиши шохаҳои параболаро муайян кунед:
а) y = − 1 3 x 2 + 4 x + 10 ; y = -\dfrac{1}{3}x^2 + 4x + 10; y = − 3 1 x 2 + 4 x + 10 ;
б) y = 5 x 2 − 1 3 x + 4 5 . y = 5x^2 - \dfrac{1}{3}x + \dfrac{4}{5}. y = 5 x 2 − 3 1 x + 5 4 .
8. Аз 3200 нафар аҳолии деҳа 60%-ро коргарон ташкил медиҳанд. Дар деҳа чанд нафар коргар истиқомат дорад?
Вазифаи хонагӣ
Машқҳои 4–8 аз қисмҳои «Дар хона» ва «Такрор».
Вазифаи онлайн оид ба мавзӯи 8 дар саҳифаи «Супоришҳо» аст, агар омӯзгор онро супорида бошад.
Хулоса
Қимати калонтарин ва хурдтарини функсия — экстремум; нуқтаи он — нуқтаи экстремалӣ.
Функсияи квадратӣ ҳангоми a > 0 a > 0 a > 0 a < 0 a < 0 a < 0
x 0 = − b 2 a , x_0 = -\dfrac{b}{2a}, x 0 = − 2 a b , y 0 = − D 4 a y_0 = -\dfrac{D}{4a} y 0 = − 4 a D [ y 0 ; ∞ ) [y_0;\ \infty) [ y 0 ; ∞ ) ( − ∞ ; y 0 ] . (-\infty;\ y_0]. ( − ∞ ; y 0 ] . Дар ин дарс
Ман медонам , ки экстремум ва нуқтаи экстремалӣ чист ва чаро қимати экстремалии функсияи квадратӣ дар қуллаи парабола аст.Ман метавонам қимати калонтарин ё хурдтарини функсияи квадратиро ёбам.Ман метавонам масъалаи «калонтарин — хурдтарин»-ро бо ёрии экстремум ҳал кунам. Такрор (2 дақиқа)
Аз сеаъзогии x 2 − 6 x + 5 x^2 - 6x + 5 x 2 − 6 x + 5
Қимати x 2 x^2 x 2 x x x
Қуллаи параболаи y = 2 x 2 y = 2x^2 y = 2 x 2
Ҷавобҳо
x 2 − 6 x + 5 = ( x − 3 ) 2 − 4. x^2 - 6x + 5 = (x - 3)^2 - 4. x 2 − 6 x + 5 = ( x − 3 ) 2 − 4. x 2 ≥ 0. x^2 \ge 0. Вазъият барои андешаронӣ Тӯбро ба боло мепартоянд. Баъди t t t h = 20 t − 5 t 2 h = 20t - 5t^2 h = 20 t − 5 t 2
Таъриф Қимати калонтарин ва қимати хурдтарини функсияро қимати экстремалӣ ё экстремум меноманд. Нуқтаҳои x , x, x , нуқтаҳои экстремалӣ (экстремал ) ном доранд.
Исботи формулаҳои экстремум
Квадрат ғайриманфӣ аст: ( x + b 2 a ) 2 ≥ 0 , \left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 \ge 0, ( x + 2 a b ) 2 ≥ 0 , x = − b 2 a x = -\dfrac{b}{2a}
Теорема Функсияи квадратии y = a x 2 + b x + c y = ax^2 + bx + c y = a x 2 + b x + c
ҳангоми a > 0 a > 0 a > 0 y min = −
Нуқтаи экстремалӣ — қуллаи парабола: ҳангоми a > 0 хурдтарин, ҳангоми a < 0 калонтарин. Дар хотир доред a > 0 a > 0 a > 0 a < 0 a < 0 a < 0 x 0 = − b 2 a , x_0 = -\dfrac{b}{2a}, x 0 = −
Калимаҳои калидӣ экстремум нуқтаи экстремалӣ қимати калонтарин қимати хурдтарин қуллаи парабола
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам? Чаро функсияи квадратӣ ҳамеша як қимати экстремалӣ дорад, на ду? Чӣ тавр аз формула дарҳол фаҳмидан мумкин аст, ки қимати калонтарин ҳаст ё хурдтарин?
Худро арзёбӣ кунед (✓ ё ✗):
Ман таърифи экстремумро медонам.
Ман экстремуми функсияи квадратиро бо формулаҳо ё бо квадрати пурра меёбам.
Ман масъалаи «калонтарин — хурдтарин»-ро ҳал карда метавонам.
Кадоме аз функсияҳо қимати калонтарин дорад, вале хурдтарин надорад?
Як ҷавобро интихоб кунед A y = 3 x 2 − 1 y = 3x^2 - 1 y = 3 x 2 − 1
B y = 0,5 x 2 + 2 y = 0{,}5x^2 + 2 y = 0 , 5 x 2 + 2
C
D
144 − 184
=
5 , x m i n =
− 2 a b =
4 12 =
3.
m
a
x
=
− 5 ⋅
2 2 +
20 ⋅
2 =
20.
x
+
3
x 2 − 5 x
.
x 2 ≥ 0.
x = − 2 a b
Агар a > 0 , a > 0, a > 0 , a ( x + b 2 a ) 2 ≥ 0 a\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 \ge 0 a ( x + 2 a b ) 2 ≥ 0 y ≥ − D 4 a . y \ge -\dfrac{D}{4a}. y ≥ − 4 a D . Баробарӣ ҳангоми x = − b 2 a x = -\dfrac{b}{2a} x = − 2 a b − D 4 a -\dfrac{D}{4a} − 4 a D Агар a < 0 , a < 0, a < 0 , a ( x + b 2 a ) 2 ≤ 0 a\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 \le 0 a ( x + 2 a b ) 2 ≤ 0 y ≤ − D 4 a ; y \le -\dfrac{D}{4a}; y ≤ − 4 a D ; x = − b 2 a x = -\dfrac{b}{2a} x = − 2 a b b 2 − 4 a c 4 a , y_{\min} = -\dfrac{b^2 - 4ac}{4a}, y m i n = − 4 a b 2 − 4 a c ,
x min = − b 2 a ; x_{\min} = -\dfrac{b}{2a}; x m i n = − 2 a b ; ҳангоми a < 0 a < 0 a < 0 y max = − b 2 − 4 a c 4 a , y_{\max} = -\dfrac{b^2 - 4ac}{4a}, y m a x = − 4 a b 2 − 4 a c , x max = − b 2 a ; x_{\max} = -\dfrac{b}{2a}; x m a x = − 2 a b ;
2 a b
,
y 0 = y ( x 0 ) . y_0 = y(x_0). y 0 = y ( x 0 ) . y = − 2 x 2 + 5
y = x 2 + 4 x y = x^2 + 4x y = x 2 + 4 x
