6 · 2/2. Ихтисори касрҳо ва ҳисоби қиматҳо - Алгебра — синфи 9
Асосӣ Курсҳо Алгебра — синфи 9 1. Функсияи квадратӣ
6 · 2/2. Ихтисори касрҳо ва ҳисоби қиматҳо 1 соат
Ихтисори касрҳо
Агар сурат ва маҳраҷи каср сеаъзогии квадратӣ бошанд, онҳоро бо решаҳояшон ба зарбкунандаҳо ҷудо мекунем ва зарбкунандаҳои умумиро ихтисор менамоем.
Мисоли 1. Касри 2 x 2 − 7 x + 3 6 x 2 − 11 x + 4 \dfrac{2x^2 - 7x + 3}{6x^2 - 11x + 4} 6 x 2 − 11 x + 4 2 x 2 − 7 x + 3
навбатӣ Такрор ва санҷиш: фаслҳои 1–6 · 1/3. Функсияҳо ва сеаъзогии квадратӣ 1 соат
Ҳал. Сурат ва маҳраҷро ба зарбкунандаҳо ҷудо мекунем. Муодилаи 2 x 2 − 7 x + 3 = 0 2x^2 - 7x + 3 = 0 2 x 2 − 7 x + 3 = 0 x 1 = 1 2 , x_1 = \dfrac{1}{2}, x 1 = 2 1 , x 2 = 3 x_2 = 3 x 2 = 3 6 x 2 − 11 x + 4 = 0 6x^2 - 11x + 4 = 0 6 x 2 − 11 x + 4 = 0 x 1 = 1 2 , x_1 = \dfrac{1}{2}, x 1 = 2 1 , x 2 = 4 3 x_2 = \dfrac{4}{3} x 2 = 3 4
2 x 2 − 7 x + 3 = 2 ( x − 1 2 ) ( x − 3 ) = ( 2 x − 1 ) ( x − 3 ) , 2x^2 - 7x + 3 = 2\left(x - \dfrac{1}{2}\right)(x - 3) = (2x - 1)(x - 3), 2 x 2 − 7 x + 3 = 2 ( x − 2 1 ) ( x − 3 ) = ( 2 x − 1 ) ( x − 3 ) , 6 x 2 − 11 x + 4 = 6 ( x − 1 2 ) ( x − 4 3 ) = ( 2 x − 1 ) ( 3 x − 4 ) . 6x^2 - 11x + 4 = 6\left(x - \dfrac{1}{2}\right)\left(x - \dfrac{4}{3}\right) = (2x - 1)(3x - 4). 6 x 2 − 11 x + 4 = 6 ( x − 2 1 ) ( x − 3 4 ) = ( 2 x − 1 ) ( 3 x − 4 ) . 2 x 2 − 7 x + 3 6 x 2 − 11 x + 4 = ( 2 x − 1 ) ( x − 3 ) ( 2 x − 1 ) ( 3 x − 4 ) = x − 3 3 x − 4 . \dfrac{2x^2 - 7x + 3}{6x^2 - 11x + 4} = \dfrac{(2x - 1)(x - 3)}{(2x - 1)(3x - 4)} = \dfrac{x - 3}{3x - 4}. 6 x 2 − 11 x + 4 2 x 2 − 7 x + 3 = ( 2 x − 1 ) ( 3 x − 4 ) ( 2 x − 1 ) ( x − 3 ) = 3 x − 4 x − 3 . Ҳолатҳои имконпазир: агар ҳангоми ихтисор сурат ва маҳраҷ ҳеҷ зарбкунандаи умумӣ надошта бошанд, каср аллакай ихтисор шудааст. Агар сеаъзогии квадратӣ ба зарбкунандаҳо ҷудо нашавад (D < 0 D < 0 D < 0 он бо ҳамин тарз мемонад.
Қимати каср ҳангоми 0 0 \dfrac{0}{0} 0 0 Агар дар ифодаи каср қимати x x x қимати каср бо роҳи содакунӣ ёфта мешавад: аввал касрро ихтисор мекунем, баъд x x x
Мисоли 2. Қимати 3 x 2 − 3 x − 6 2 x 2 + 2 x − 12 \dfrac{3x^2 - 3x - 6}{2x^2 + 2x - 12} 2 x 2 + 2 x − 12 3 x 2 − 3 x − 6 x = 2 x = 2 x = 2
Ҳал. Агар x = 2 x = 2 x = 2 3 x 2 − 3 x − 6 = 0 3x^2 - 3x - 6 = 0 3 x 2 − 3 x − 6 = 0 2 x 2 + 2 x − 12 = 0 2x^2 + 2x - 12 = 0 2 x 2 + 2 x − 12 = 0 x 1 = − 1 , x_1 = -1, x 1 = − 1 , x 2 = 2 ; x_2 = 2; x 2 = 2 ; x 1 = 2 , x_1 = 2, x 1 = 2 , x 2 = − 3. x_2 = -3. x 2 = − 3.
3 x 2 − 3 x − 6 2 x 2 + 2 x − 12 = 3 ( x − 2 ) ( x + 1 ) 2 ( x − 2 ) ( x + 3 ) = 3 ( x + 1 ) 2 ( x + 3 ) . \dfrac{3x^2 - 3x - 6}{2x^2 + 2x - 12} = \dfrac{3(x - 2)(x + 1)}{2(x - 2)(x + 3)} = \dfrac{3(x + 1)}{2(x + 3)}. 2 x 2 + 2 x − 12 3 x 2 − 3 x − 6 = 2 ( x − 2 ) ( x + 3 ) 3 ( x − 2 ) ( x + 1 ) = 2 ( x + 3 ) 3 ( x + 1 ) . Ҳангоми x = 2 x = 2 x = 2 3 ⋅ 3 2 ⋅ 5 = 9 10 \dfrac{3 \cdot 3}{2 \cdot 5} = \dfrac{9}{10} 2 ⋅ 5 3 ⋅ 3 = 10 9
Мисоли 3. Қимати 5 x 2 − 5 6 x 2 + 6 x − 12 \dfrac{5x^2 - 5}{6x^2 + 6x - 12} 6 x 2 + 6 x − 12 5 x 2 − 5 x = 1 x = 1 x = 1
Ҳал. Ҳангоми x = 1 x = 1 x = 1 5 x 2 − 5 = 0 , 5x^2 - 5 = 0, 5 x 2 − 5 = 0 , x 1 = − 1 , x_1 = -1, x 1 = − 1 , x 2 = 1 ; x_2 = 1; x 2 = 1 ; 6 x 2 + 6 x − 12 = 0 , 6x^2 + 6x - 12 = 0, 6 x 2 + 6 x − 12 = 0 , x 2 + x − 2 = 0 , x^2 + x - 2 = 0, x 2 + x − 2 = 0 , x 1 = − 2 , x_1 = -2, x 1 = − 2 , x 2 = 1. x_2 = 1. x 2 = 1.
5 x 2 − 5 6 x 2 + 6 x − 12 = 5 ( x − 1 ) ( x + 1 ) 6 ( x − 1 ) ( x + 2 ) = 5 ( x + 1 ) 6 ( x + 2 ) , x = 1 : 5 ⋅ 2 6 ⋅ 3 = 10 18 = 5 9 . \dfrac{5x^2 - 5}{6x^2 + 6x - 12} = \dfrac{5(x - 1)(x + 1)}{6(x - 1)(x + 2)} = \dfrac{5(x + 1)}{6(x + 2)}, \qquad x = 1: \ \dfrac{5 \cdot 2}{6 \cdot 3} = \dfrac{10}{18} = \dfrac{5}{9}. 6 x 2 + 6 x − 12 5 x 2 − 5 = 6 ( x − 1 ) ( x + 2 ) 5 ( x − 1 ) ( x + 1 ) = 6 ( x + 2 ) 5 ( x + 1 ) , x = 1 : 6 ⋅ 3 5 ⋅ 2 = 18 10 = 9 5 .
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф 1. Касрҳоро ихтисор кунед:
а) 3 x − 12 x 2 + x − 20 ; \dfrac{3x - 12}{x^2 + x - 20}; x 2 + x − 20 3 x − 12 ;
б) 2 x 2 + 7 x + 3 x 2 + 3 x ; \dfrac{2x^2 + 7x + 3}{x^2 + 3x}; x 2 + 3 x 2 x 2 + 7 x + 3 ;
в) 2 m 2 − 5 m − 3 2 m 2 − 3 m − 2 . \dfrac{2m^2 - 5m - 3}{2m^2 - 3m - 2}. 2 m 2 − 3 m − 2 2 m 2 − 5 m − 3 .
2. Касрҳоро ихтисор кунед:
а) 5 a + 10 2 a 2 + 13 a + 18 ; \dfrac{5a + 10}{2a^2 + 13a + 18}; 2 a 2 + 13 a + 18 5 a + 10 ;
б) b 2 − 8 b + 15 b 2 − 25 ; \dfrac{b^2 - 8b + 15}{b^2 - 25}; b 2 − 25 b 2 − 8 b + 15 ;
в) y 2 − 5 y − 36 81 − y 2 . \dfrac{y^2 - 5y - 36}{81 - y^2}. 81 − y 2 y 2 − 5 y − 36 .
3. Касрҳоро ихтисор кунед:
а) 4 x + 4 3 x 2 + 2 x − 1 ; \dfrac{4x + 4}{3x^2 + 2x - 1}; 3 x 2 + 2 x − 1 4 x + 4 ;
б) p 2 − 11 p + 10 20 + 8 p − p 2 ; \dfrac{p^2 - 11p + 10}{20 + 8p - p^2}; 20 + 8 p − p 2 p 2 − 11 p + 10 ;
в) 2 m 2 − 8 m 2 + 6 m + 8 . \dfrac{2m^2 - 8}{m^2 + 6m + 8}. m 2 + 6 m + 8 2 m 2 − 8 .
4. Айниятро исбот кунед: 10 x 2 + 19 x − 2 = 10 ( x − 0,1 ) ( x + 2 ) . 10x^2 + 19x - 2 = 10(x - 0{,}1)(x + 2). 10 x 2 + 19 x − 2 = 10 ( x − 0 , 1 ) ( x + 2 ) .
5. Қимати касрро ҳангоми x = − 1 ; x = -1; x = − 1 ; 5 ; 5; 5 ; 10 10 10 4 x 2 + 8 x − 32 4 x 2 + 16 x . \dfrac{4x^2 + 8x - 32}{4x^2 + 16x}. 4 x 2 + 16 x 4 x 2 + 8 x − 32 .
Дар хона 6. Касрҳоро ихтисор кунед:
а) 2 a 2 − 5 a − 3 3 a − 9 ; \dfrac{2a^2 - 5a - 3}{3a - 9}; 3 a − 9 2 a 2 − 5 a − 3 ;
б) 2 y 2 + 7 y + 3 y 2 − 9 ; \dfrac{2y^2 + 7y + 3}{y^2 - 9}; y 2 − 9 2 y 2 + 7 y + 3 ;
в) 3 x 2 + 16 x − 12 10 − 13 x − 3 x 2 . \dfrac{3x^2 + 16x - 12}{10 - 13x - 3x^2}. 10 − 13 x − 3 x 2 3 x 2 + 16 x − 12 .
7. Айниятро исбот кунед: 0,5 ( x − 6 ) ( x − 5 ) = 0,5 x 2 − 5,5 x + 15. 0{,}5(x - 6)(x - 5) = 0{,}5x^2 - 5{,}5x + 15. 0 , 5 ( x − 6 ) ( x − 5 ) = 0 , 5 x 2 − 5 , 5 x + 15.
а) ( 3 2 − 2 3 ) ( 2 3 + 3 2 ) ; \left(3\sqrt{2} - 2\sqrt{3}\right)\left(2\sqrt{3} + 3\sqrt{2}\right); ( 3 2 − 2 3 ) ( 2 3 + 3 2 ) ;
б) 4 1 2 ⋅ 5 2 3 6 3 4 ; \dfrac{4\dfrac{1}{2} \cdot 5\dfrac{2}{3}}{6\dfrac{3}{4}}; 6 4 3 4 2 1 ⋅
в) 4 1 4 11 1 3 ⋅ 5 1 4 . \dfrac{4\dfrac{1}{4}}{11\dfrac{1}{3} \cdot 5\dfrac{1}{4}}. 11 3 1 ⋅ 5 4 1
а) x + 1 x = a + 1 a ; x + \dfrac{1}{x} = a + \dfrac{1}{a}; x + x 1 = a + a 1 ;
б) 2 x − a b = 4 x − b 2 x + a . \dfrac{2x - a}{b} = \dfrac{4x - b}{2x + a}. b 2 x − a = 2 x + a 4 x − b .
10. 12 % 12\% 12% 120 120 120
11. Қимати [ ( 1 x + 1 y ) : x + y 2 + 1 x 2 + 1 y 2 ] x y ( x + y ) 2 \left[\left(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}\right) : \dfrac{x + y}{2} + \dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{y^2}\right] \dfrac{xy}{(x + y)^2} [ ( x 1 + y 1 ) : 2 x + y + x 2 1 + y 2 1 ] ( x + y ) 2 x y x = − 1 2 x = -\dfrac{1}{2} x = − 2 1 y = − 2 y = -2 y = − 2
12. Ҳосили зарби ду адади пай дар пайи натуралӣ ба 156 156 156
13. 3 5 \dfrac{3}{5} 5 3
а) a − 3 ⋅ a − 5 ; a^{-3} \cdot a^{-5}; a − 3 ⋅ a − 5 ;
б) ( − 2 5 a 4 x 3 y 2 ) : ( − 1 2 a 3 x y 2 ) . \left(-\dfrac{2}{5}a^4x^3y^2\right) : \left(-\dfrac{1}{2}a^3xy^2\right). ( − 5 2 a 4 x 3 y 2 ) : ( − 2 1 a 3 x y 2 ) .
15. Решаҳои сеаъзогии квадратиро ёбед:
а) 9 x 2 − 9 x + 2 ; 9x^2 - 9x + 2; 9 x 2 − 9 x + 2 ;
б) 0,2 x 2 + 3 x − 20. 0{,}2x^2 + 3x - 20. 0 , 2 x 2 + 3 x − 20.
а) Се дона гулмоҳӣ 11,3 11{,}3 11 , 3 4 5 \dfrac{4}{5} 5 4 70 % 70\% 70%
б) Барои 0,8 0{,}8 0 , 8 1,4 1{,}4 1 , 4 505,02 505{,}02 505 , 02 1 1 1 1 1 1 0,7 0{,}7 0 , 7 1 1 1 1 1 1
Вазифаи хонагӣ
Машқҳои 6–16 аз қисмҳои «Дар хона» ва «Такрор».
Вазифаи онлайн оид ба мавзӯи 6 дар саҳифаи «Супоришҳо» аст, агар омӯзгор онро супорида бошад.
Хулоса
Сеаъзогии a x 2 + b x + c ax^2 + bx + c a x 2 + b x + c D ≥ 0 D \ge 0 D ≥ 0 a x 2 + b x + c = a ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) . ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2). a x 2 + b x + c = a ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) .
Барои ихтисори каср сурат ва маҳраҷро бо решаҳояшон ба зарбкунандаҳо ҷудо мекунем ва зарбкунандаҳои умумиро ихтисор менамоем.
Ҳангоми 0 0 \dfrac{0}{0} 0 0 x x x
Ҷудокуниро бо кушодани қавсҳо санҷидан мумкин аст.
Дар ин дарс
Ман метавонам касри ратсионалиро бо ҷудо кардани сеаъзогиҳои квадратӣ ба зарбкунандаҳо ихтисор кунам.Ман метавонам қимати касрро дар нуқтае ёбам, ки дар он сурат ва маҳраҷ ба нул баробаранд.Ман метавонам ҷудокуниро бо кушодани қавсҳо санҷам. Такрор (2 дақиқа)
Сеаъзогии x 2 − 5 x + 6 x^2 - 5x + 6 x 2 − 5 x + 6
Касрро ихтисор кунед: ( x − 1 ) ( x + 2 ) ( x − 1 ) ( x + 5 ) . \dfrac{(x - 1)(x + 2)}{(x - 1)(x + 5)}. ( x − 1 ) ( x + 5 ) ( x − 1 ) ( x + 2 ) .
Чаро ҳангоми x = 1 x = 1 x = 1 ( x − 1 ) ( x + 2 ) ( x − 1 ) ( x + 5 ) \dfrac{(x - 1)(x + 2)}{(x - 1)(x + 5)} ( x − 1 ) ( x + 5 ) ( x − 1 ) ( x + 2 )
Ҷавобҳо
( x − 2 ) ( x − 3 ) . (x - 2)(x - 3). ( x − 2 ) ( x − 3 ) . x + 2 x + 5 \dfrac{x + 2}{x + 5} x + 5 x + 2 Вазъият барои андешаронӣ Касри 3 x 2 − 3 x − 6 2 x 2 + 2 x − 12 \dfrac{3x^2 - 3x - 6}{2x^2 + 2x - 12} 2 x 2 + 2 x − 12 3 x 2 − 3 x − 6 x = 2 x = 2 x = 2 0 0 \dfrac{0}{0} 0 0
Дар хотир доред Дурустии ҷудокуниро бо кушодани қавсҳо санҷидан мумкин аст: ( 2 x − 1 ) ( 3 x − 4 ) = 6 x 2 − 8 x − 3 x + 4 = 6 x 2 − 11 x + 4. (2x - 1)(3x - 4) = 6x^2 - 8x - 3x + 4 = 6x^2 - 11x + 4. ( 2 x − 1 ) ( 3 x − 4 ) = 6 x
Калимаҳои калидӣ решаи сеаъзогӣ ба зарбкунандаҳо ҷудо кардан теоремаи Виет ихтисори каср дискриминант
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам? Кай сеаъзогии квадратиро ба зарбкунандаҳои хаттӣ ҷудо кардан мумкин нест? Чаро аз қимати 0 0 \dfrac{0}{0} 0 0
Худро арзёбӣ кунед (✓ ё ✗):
Ман теоремаи ҷудокуниро баён карда метавонам.
Ман сеаъзогиро бо решаҳояш ба зарбкунандаҳо ҷудо карда метавонам.
Ман касрҳоро бо ҷудо кардани сеаъзогиҳо ихтисор карда метавонам.
Ман қимати касрро дар нуқтаи 0 0 \dfrac{0}{0}
6 x 2 + 5 x − 4 = ( 2 x + 1 ) ( 3 x − 4 ) . 6x^2 + 5x - 4 = (2x + 1)(3x - 4). 6 x 2 + 5 x − 4 = ( 2 x + 1 ) ( 3 x − 4 ) .
Касри x 2 − 5 x + 6 x 2 − 9 \dfrac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 9} x 2 − 9 x 2 − 5 x + 6
Як ҷавобро интихоб кунед A x + 2 x − 3
B C D Ҳангоми гузоштани x = 4 x = 4 x = 4 x 2 − 16 x 2 − 3 x − 4 \dfrac{x^2 - 16}{x^2 - 3x - 4} x 2 − 3 x − 4 x 2
Як ҷавобро интихоб кунед A B C D
5
3 2
;
4
4 1
.
x ≠ 1 x \ne 1 x = 1
2
−
8 x −
3 x +
4 =
6 x 2 −
11 x +
4.
0
0
x
=
2
\dfrac{x + 2}{x - 3} x − 3 x + 2
x − 2 x − 3 \dfrac{x - 2}{x - 3} x − 3 x − 2
x − 3 x + 3 \dfrac{x - 3}{x + 3} x + 3 x − 3
x − 2 x + 3 \dfrac{x - 2}{x + 3} x + 3 x − 2
−
16
x = 4 x = 4 x = 4
аввал ихтисор мекунем, баъд x = 4 x = 4 x = 4
мегӯем, ки қимат ҳамеша 1 1 1
мегӯем, ки қимат ҳамеша 0 0 0