Такрор ва санҷиш: боби 4 · 3/3. Кор бо хатоҳо - Алгебра — синфи 84. Нобаробариҳо
Такрор ва санҷиш: боби 4 · 3/3. Кор бо хатоҳо
1 соат
- Назария
- Дарси 20 аз 20
- Хониш: 16 дақиқа
- Саволҳо: 5
Оё шумо аз натиҷа қаноатманд ҳастед?
Кори санҷиширо дар дасти худ гиред. Ба худ се савол диҳед:
- Дар кадом саволҳо хато кардам: аз бепарвоӣ ё аз надонистани қоида?
- Кадом хато такрор мешавад (масалан, аломатро иваз накардан ё нуқтаи сарҳадиро нодуруст гирифтан)?
- Агар ин хатоҳоро накарда будам, чанд бал бештар мегирифтам?
Худро арзёбӣ кунед
Барои ҳар сатр нависед: + (медонам), ± (қисман) ё − (намедонам).
| Ман метавонам… | + / ± / − |
|---|
| фосила, порча, нимфосила ва нимпорчаро нависам ва дар хат тасвир кунам | |
| буриш ва ҳамҷояшавии ду маҷмуъро ёбам | |
| нобаробарии хаттиро ҳал кунам (аз ҷумла бо касрҳо ва қавсҳо), аломатро ба манфӣ дуруст иваз кунам | |
| системаи нобаробариҳо ва нобаробарии дучандаро ҳал кунам, ҳалҳои бутунро ёбам | |
| соҳаи муайянии ифодаро бо ду решаи квадратӣ ёбам | |
| нобаробарии касран хаттиро ҳал кунам ва махраҷи нулро ба ҷавоб надарорам | |
| нобаробарии -ро ҳал кунам |
навбатӣ42 · 1/2. Дараҷаи нишондиҳандааш сифр ва бутуни манфӣ
1 соат
∣kx+b∣≶a
Чиро мехоҳед такрор кунед? Аз сатрҳои «±» ва «−» оғоз кунед.
Чӣ тавр хатоҳоро кор мекунем
- Танҳо. Саволро аз нав хонед ва худатон ҳал кунед. Ҷавоби дурустро дар натиҷаҳои санҷиш мебинед, вале аввал худатон кӯшиш кунед.
- Бо ҳамнишаст. Ҳалҳои худро ба ҳамдигар нишон диҳед. Фарқ дар куҷост?
- Дар гурӯҳ. Агар розӣ нашавед, саволро дар гурӯҳ муҳокима кунед.
- Аз омӯзгор бипурсед. Танҳо ҳамон саволҳоеро, ки худатон нафаҳмидед.
Кадом саволро аз куҷо такрор кунем
Вариант 1 ва вариант 2 тартиби мавзӯъҳои якхела доранд.
| Савол | Мавзӯъ | Дарс |
|---|
| 1 | фосила, порча ва нобаробарӣ | 37 · 1/2 |
| 2, 3 | буриш ва ҳамҷояшавӣ | 37 · 2/2 |
| 4, 5, 6 | нобаробарии хаттӣ, касрҳо, ҳал надорад / ҳар адад | 38 · 1/3, 38 · 2/3 |
| 7 | масъалаи матнӣ | 38 · 3/3 |
| 8, 9 | система ва ҳалҳои бутун | 39 · 1/3, 39 · 2/3 |
| 10 | нобаробарии дучанда | 39 · 3/3 |
| 11 | соҳаи муайянии ифода бо ду реша | 39 · 2/3 |
| 12 | нобаробарии касран хаттӣ | 40 |
| 13, 14 | қимати мутлақ | 41 |
Агар дар кори санҷишии пештара (бандҳои 34–36) хато карда бошед, мавзӯи онро чунин ёбед: муқоиса ва нобаробарии ададӣ → 34 · 1/2; исботи нобаробариҳо → 34 · 2/2; хосиятҳо → 35 · 1/2 ва 35 · 2/2; ҷамъ ва зарби нобаробариҳо → 36.
Кор дар синф
Чанд хатои маъмул. Дар ҳар савол фикр кунед: чаро ҷавобҳои нодуруст хатост?
Машқҳо
★ Барои ҳавасмандон
Масъалаҳо барои инкишофи тафаккури математикӣ. Аввал худатон кӯшиш кунед; баъд нишондод ва ҳалро кушоед ва бо ҳамнишаст муҳокима намоед.
1★. Дар ҳамвории координатӣ маҷмуи нуқтаҳои (x; y)-ро, ки нобаробарии ∣2x−y∣>x+1-ро қаноат мекунанд, тасвир кунед.
Нишондод ва ҳал
Нобаробарии ∣A∣>B ба «A>B ё A<−B» баробарқувва аст. Пас 2x−y>x+1 (яъне y<x−1) ё 2x−y<−x−1 (яъне y>3x+1). Маҷмуъ — ду нимҳамвории кушод: поёни хати рости y=x−1 ва болои хати рости y=3x+1; хатҳо дар нуқтаи (−1; −2) мебуранд, худи хатҳо дохил нестанд.
2★. Исбот кунед, ки барои ҳар гуна ададҳои a, b ва c нобаробарии a2+b2+c2≥ab+ac+bc дуруст аст.
Нишондод ва ҳал
Фарқи тарафҳо: a2+b2+c2−ab−ac−bc=21[(a−b)2+(b−c)2+(a−c)20.
3★. Исбот кунед, ки нобаробарии 3(ab+ac+bc)≤(a+b+c)2 барои ҳар гуна ададҳои мусбати a, b ва c дуруст мебошад.
Нишондод ва ҳал
(a+b+c)2−3(ab+ac+bc)=a2+b2+c2−ab−ac−bc≥0 — ин нобаробарии масъалаи 2★ аст.
4★. Нобаробариро исбот кунед:
- а) a2−ab+b2≥ab;
- б) ba+ab≥2,a>b>0;
- в) a2+b2+1≥ab+a+b;
- г) (a+b)(ab+1)≥4ab,a≥0, b≥0.
Нишондод ва ҳал
а) a2−2ab+b2=(a−b)2≥0. б) ba+ab−2= в) a2+b2+1−ab−a г) (a+b)(ab+1)−4ab=a(b−1)2+ барои a≥0, b≥0.
5★. Исбот кунед, ки ҳалли муодилаи ∣x−a∣=∣x−b∣, ки дар ин ҷо a=b, бо формулаи x=21(a+b) ифода карда мешавад.
Нишондод ва ҳал
Қимати мутлақҳо баробаранд, пас ё x−a=x−b (ин ба a=b меоварад — номумкин), ё x−a=−(x−b), яъне 2x=a+b. Санҷиш: барои x=2a+b ҳарду тарафи муодила ба 2∣a−b∣ баробаранд.
- а) ∣2x−1∣=∣3x−3∣;
- б) ∣−5x+1∣=∣4x−2∣;
- в) ∣x+3∣=∣−6x+5∣;
- г) ∣3x−5∣=∣7−x∣.
Нишондод ва ҳал
Ду имконият: A=B ё A=−B. а) 2x−1=3x−3 ё 2x−1=−3x+3: x=2 ё x=0,8. б) x=31 ё x=−1. в) x=72 ё x=1,6. г) x=3 ё x=−1.
- а) ∣x∣+∣x−1∣=3;
- б) ∣x−2∣−∣x−9∣=−7.
Нишондод ва ҳал
Нуқтаҳои шикаст — нулҳои таҳти аломати қимати мутлақ. а) Ҳангоми x≥1: 2x−1=3, x=2. Ҳангоми 0≤x<1: 1=3 — нест. Ҳангоми x<0: 1−2x=3, x=−1. Ҷавоб: −1; 2. б) Ҳангоми x≤2: (2−x)−(9−x)=−7 — ҳамеша дуруст. Ҳангоми 2<x<9: 2x−11=−7, x=2 — ба фосила дохил нест. Ҳангоми x≥9: 7=−7 — нодуруст. Ҷавоб: ҳамаи x≤2.
8★. Решаи муодиларо ёбед:
- а) ∣x∣=x2−12;
- б) x2−2x=1;
- в) x2−4x−2=6;
- г) x2−5x+2=x2+
Нишондод ва ҳал
а) Ҳангоми x≥0: x2−x−12=0, x=4; ҳангоми x<0: x2+x−12=0, x=−4. Ҷавоб: ±4. б) x2−2x=1 ё x2−2x=−1: x=1±2 ё x=1. в) x2−4x−2=6 ё =−6: x=2±23 ё x=2. г) x2+x+6>0 ҳамеша (D=1−24<0), пас x2−5x+2=x2+x+6, x=−32.
9★. Исбот кунед, ки агар a, b, c тарафҳои секунҷа бошанд, он гоҳ a2(b+c−a)+b2(a+c−b)+c2(a+b−c)≤3abc.
Нишондод ва ҳал
Нобаробарии секунҷа: b+c−a>0 ва ҳамин гуна. Бигузор a=y+z, b=x+z, c=x+y (дар ин ҷо x, y, z>0). Он гоҳ b+c−a=2x ва ғайра. Тарафи чап: 2[x(y+z)2+y(x+z)2+z(x ки S=x2y+x2z+y2x+ Тарафи рост: 3(y+z)(x+z)(x+y)=3S+6xyz. Фарқ: S−6xyz=x(y−z)2+y(x−z
10★. Ҳалҳои бутуни муодилаи 6x2+5y2=74-ро ёбед.
Нишондод ва ҳал
Азбаски 6x2≥0 ва 5y2≤74, пас y2≤14. Санҷиш y2∈{0, 1, 4, 9}: 74−5y2=74; 69; 54; 29. Танҳо 54 ба 6 тақсим мешавад: x2=9. Ҷавоб: (±3; ±2) — чор ҷуфт.
11★. Исбот кунед, ки ҳангоми мусбат будани қиматҳои x ва y (x=y) қимати касри x−yx2−y2 аз қимати мувофиқи касри x+yx2+y2 калон аст.
Нишондод ва ҳал
Касри якум ба x+y баробар аст. Нобаробарии x+y>x+yx2+y2 ба (x+y)2>x2+y2, яъне 2xy>0 баробарқувва аст (махраҷи x+y>0). Ин ба шарти x>0, y>0 дуруст аст.
12★. Нобаробариро исбот кунед: a1+b1+c1≥a+b+c9, a>0, b>0, c>0.
Нишондод ва ҳал
(a+b+c)(a1+b1+c1)=3+(ba+ab)+(ca+ac)+(cb+bc)≥3+2+2+2=9, чунки t+t1≥2 барои t>0 (чунки (t−1)2≥0). Ба a+b+c>0 тақсим мекунем.
13★. Нобаробариро исбот кунед: a−ba3−b3≤a+ba3+b3+a2+b2, a=b, a=−b.
Нишондод ва ҳал
Тарафи чап: a2+ab+b2. Тарафи рост: a2−ab+b2+a2+b2=2a2−ab+2b2. Фарқ: a2−2ab+b2=(a−b)2≥0.
14★. Аз дурустии нобаробарии a+b≥2ab ҳангоми a≥0 ва b≥0 будан истифода карда, нобаробариро исбот кунед:
- а) (a+b)(a+c)(b+c)≥8abc,a,b,c≥0;
- б) abc+bac+
- в) ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)≥6abc
Нишондод ва ҳал
а) Се нобаробарии a+b≥2ab, a+c≥2ac, b+c≥2bc-ро зарб мекунем (ҳамаи тарафҳо ғайриманфӣ): (a+b)(a+c)(b+c)≥8a2b б) abc+bac≥2c (зарби онҳо c2). Ҳамин гуна abc+cab≥2b ва bac+cab≥2a. Ҷамъ карда ва ба 2 тақсим карда, ҳосил мекунем. в) ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c
15★. Нобаробариро исбот кунед:
- а) x2−2xy+2y2−2x+3≥0 барои ҳар x ва y;
- б) 2a3+b3≥4 барои
Нишондод ва ҳал
а) x2−2xy+2y2−2x+3=(x−y−1)2+(y−1)2+1≥1>0. б) 2a3+b
16★. Графики функсияро созед:
- а) y=x2+x;
- б) y=x2−x;
- в) y=∣x+1∣;
- г) y=∣x−1∣.
Нишондод ва ҳал
x2=∣x∣. а) y=∣x∣+x: ҳангоми x≥0 — y=2x, ҳангоми x<0 — y=0. б) y=∣x∣−x: ҳангоми x≥0 — y=0, ҳангоми x<0 — y=−2x. в) «V»-и y=∣x∣ ба 1 воҳид чап кӯчонида шудааст: нӯг дар (−1; 0). г) ба 1 воҳид рост: нӯг дар (1; 0).
Вазифаи хонагӣ
- Ҳамаи хатоҳои кори санҷиширо ислоҳ кунед ва дар дафтар нависед.
- Аз масъалаҳои ★ ду то се масъаларо ихтиёрӣ ҳал кунед.
Дар ин дарс
- Ман метавонам натиҷаи кори санҷиширо таҳлил кунам ва хатоҳои худро пайдо намоям.
- Ман метавонам хатоҳои маъмулро дар нобаробариҳои хаттӣ, системаҳо, нобаробарии касран хаттӣ ва қимати мутлақ ислоҳ кунам.
- Ман мефаҳмам, кадом мавзӯъро боз такрор кардан лозим аст.
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам?Кадом хатоям аз беэҳтиётӣ буд ва кадомаш аз надонистани қоида? Барои боби 5 ба худ кадом қоидаро гузошта метавонам?
Талаба нобаробарии −2x>6-ро ҳал карда, x>−3 гирифт. Ҷавоби дуруст кадом аст?
Як ҷавобро интихоб кунед Талаба нобаробарии x+1x−3≤0-ро ҳал карда, ҷавоби [−1; 3]-ро навишт. Ҷавоби дуруст кадом аст?
Як ҷавобро интихоб кунед Буриши (−∞; 4) ва (2; +∞)-ро ёбед.
Як ҷавобро интихоб кунед Талаба нобаробарии ∣x+1∣>2-ро ҳал карда, −3<x<1 гирифт. Ҷавоби дуруст кадом аст?
Як ҷавобро интихоб кунед Системаи x≥1, x<1-ро ҳал кунед.
Як ҷавобро интихоб кунед ]
≥
ab(a−b)2
≥
0.
−
b=
21[(a−b)2+(a−1)2+(b−1)2]≥
0.
b
(
a
−
1)2≥
0
x
+
6
.
+
y
)2
]
=
2S+
12xyz,
y2
z
+
z2x+
z2y.
)
2
+
z(x−
y)2≥
0.
cab≥
a+
b+
c,a,b,c>
0;
,
a
,
b
,
c
≥
0.
2
c2
=
8abc.
)
−
6abc=
a(b−
c)2+
b(a−
c)2+
c(a−
b)2≥
0.
a+b
⋅
ab
3
−
4(a+b)ab=
4(a+b)(2a2−3ab+2b2)=
4(a+b)(2(a−b)2+ab)≥
0.
;
+
∞
)
(−∞; −3)
(−∞; 3)
(−1; 3]
(−∞; −1)∪[3; +∞)
;
4
]
(−∞; 2)∪(4; +∞)
(−∞; −3)∪(1; +∞)
(−∞; −3]∪[1; +∞)
∅
[1; +∞)