34 · 2/2. Исботи нобаробариҳо - Алгебра — синфи 8
Исботи нобаробарӣ
Барои исбот кардани нобаробарии A > B A > B A > B A − B A - B A − B ҳамеша мусбат аст (барои ҳамаи қиматҳои тағйирёбандаҳо). Он гоҳ аз таъриф нобаробарӣ дуруст аст.
Мисоли 1. Исбот мекунем, ки нобаробарии
( a + 2 ) ( a + 4 ) > ( a + 1 ) ( a + 5 ) (a + 2)(a + 4) > (a + 1)(a + 5) ( a + 2 ) ( a навбатӣ 35 · 1/2. Теоремаҳо дар бораи хосиятҳои нобаробариҳо 1 соат
+
4 ) >
( a +
1 ) ( a +
5 )
барои қиматҳои дилхоҳи a a a
Фарқи қисмҳои чап ва рости нобаробариро тартиб дода, онро табдил медиҳем:
( a + 2 ) ( a + 4 ) − ( a + 1 ) ( a + 5 ) = a 2 + 6 a + 8 − ( a 2 + 6 a + 5 ) = 3. (a + 2)(a + 4) - (a + 1)(a + 5) = a^2 + 6a + 8 - (a^2 + 6a + 5) = 3. ( a + 2 ) ( a + 4 ) − ( a + 1 ) ( a + 5 ) = a 2 + 6 a + 8 − ( a 2 + 6 a + 5 ) = 3. Фарқи мазкур барои ҳар як қимати a a a (3 > 0 3 > 0 3 > 0 Пас, мувофиқи таъриф нобаробарии мазкур барои қимати дилхоҳи a a a
Мисоли 2. Исбот мекунем, ки агар m n \dfrac{m}{n} n m (m m m ва n n n
m n < m + 1 n + 1 . \dfrac{m}{n} < \dfrac{m + 1}{n + 1}. n m < n + 1 m + 1 . Азбаски m n \dfrac{m}{n} n m m < n m < n m < n
m n − m + 1 n + 1 = m ( n + 1 ) − n ( m + 1 ) n ( n + 1 ) = m − n n ( n + 1 ) . \dfrac{m}{n} - \dfrac{m + 1}{n + 1} = \dfrac{m(n + 1) - n(m + 1)}{n(n + 1)} = \dfrac{m - n}{n(n + 1)}. n m − n + 1 m + 1 = n ( n + 1 ) m ( n + 1 ) − n ( m + 1 ) = n ( n + 1 ) m − n . Ҳисобкунанда m − n < 0 m - n < 0 m − n < 0 n ( n + 1 ) > 0. n(n + 1) > 0. n ( n + 1 ) > 0. m n < m + 1 n + 1 \dfrac{m}{n} < \dfrac{m + 1}{n + 1} n m < n + 1 m + 1
Мисоли 3. Исбот мекунем, ки суммаи квадратҳои ду адади дилхоҳ аз дучандаи ҳосили зарби онҳо хурд нест:
a 2 + b 2 ≥ 2 a b . a^2 + b^2 \ge 2ab. a 2 + b 2 ≥ 2 ab . Фарқи қисмҳои чап ва ростро ҳисоб мекунем:
( a 2 + b 2 ) − 2 a b = a 2 − 2 a b + b 2 = ( a − b ) 2 . (a^2 + b^2) - 2ab = a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2. ( a 2 + b 2 ) − 2 ab = a 2 − 2 ab + b 2 = ( a − b ) 2 . Азбаски барои ҳамаи қиматҳои a a a b b b ( a − b ) 2 (a - b)^2 ( a − b ) 2 ( a − b ) 2 ≥ 0 , (a - b)^2 \ge 0, ( a − b ) 2 ≥ 0 , a a a b b b a = b a = b a = b
Квадрати пурра дар исбот Агар фарқ квадрат нест, аксар вақт квадрати пурраро ҷудо мекунанд. Мисоли 4. Исбот мекунем, ки a 2 − 6 a + 10 > 0 a^2 - 6a + 10 > 0 a 2 − 6 a + 10 > 0 a a a
a 2 − 6 a + 10 = ( a 2 − 6 a + 9 ) + 1 = ( a − 3 ) 2 + 1. a^2 - 6a + 10 = (a^2 - 6a + 9) + 1 = (a - 3)^2 + 1. a 2 − 6 a + 10 = ( a 2 − 6 a + 9 ) + 1 = ( a − 3 ) 2 + 1. Азбаски ( a − 3 ) 2 ≥ 0 , (a - 3)^2 \ge 0, ( a − 3 ) 2 ≥ 0 , ( a − 3 ) 2 + 1 ≥ 1 > 0. (a - 3)^2 + 1 \ge 1 > 0. ( a − 3 ) 2 + 1 ≥ 1 > 0.
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф 1. Исбот кунед, ки нобаробарӣ барои қимати дилхоҳи тағйирёбанда дуруст аст:
а) ( a − 1 ) 2 > − 1 ; (a - 1)^2 > -1; ( a − 1 ) 2 > − 1 ;
б) ( a + b ) 2 > − 2 ; (a + b)^2 > -2; ( a + b ) 2 > − 2 ;
в) y ( y + 4 ) > 4 y − 0,5 ; y(y + 4) > 4y - 0{,}5; y ( y + 4 ) > 4 y − 0 , 5 ;
г) a ( a + b ) > a b − 1. a(a + b) > ab - 1. a ( a + b ) > ab − 1.
2. Нобаробариро исбот кунед:
а) x 2 − 3 x + 2 > x ( x − 3 ) ; x^2 - 3x + 2 > x(x - 3); x 2 − 3 x + 2 > x ( x − 3 ) ;
б) x ( x + 6 ) < ( x + 2 ) ( x + 4 ) ; x(x + 6) < (x + 2)(x + 4); x ( x + 6 ) < ( x + 2 ) ( x + 4 ) ;
в) ( a − 2 ) 2 > a ( a − 4 ) ; (a - 2)^2 > a(a - 4); ( a − 2 ) 2 > a ( a − 4 ) ;
г) ( 2 x − 1 ) ( 2 x + 1 ) < 4 x 2 . (2x - 1)(2x + 1) < 4x^2. ( 2 x − 1 ) ( 2 x + 1 ) < 4 x 2 .
3. Оё нобаробарӣ барои қимати дилхоҳи тағйирёбанда дуруст аст:
а) 4 x ( x + 0,25 ) > ( 2 x − 1 ) ( 2 x + 1 ) ; 4x(x + 0{,}25) > (2x - 1)(2x + 1); 4 x ( x + 0 , 25 ) > ( 2 x − 1 ) ( 2 x + 1 ) ;
б) x ( x + 8 ) < ( x + 5 ) ( x + 3 ) ; x(x + 8) < (x + 5)(x + 3); x ( x + 8 ) < ( x + 5 ) ( x + 3 ) ;
в) ( x − 1 ) ( x + 1 ) < x 2 + 1 ; (x - 1)(x + 1) < x^2 + 1; ( x − 1 ) ( x + 1 ) < x 2 + 1 ;
г) ( 7 + 2 x ) ( 7 − 2 x ) < 49 − x ( 4 x + 1 ) ? (7 + 2x)(7 - 2x) < 49 - x(4x + 1)? ( 7 + 2 x ) ( 7 − 2 x ) < 49 − x ( 4 x + 1 )?
4. Нобаробариро исбот кунед:
а) a ( a + b ) ≥ a b ; a(a + b) \ge ab; a ( a + b ) ≥ ab ;
б) 2 a b ≤ a 2 + b 2 ; 2ab \le a^2 + b^2; 2 ab ≤ a 2 + b 2 ;
в) a ( a − b ) ≥ b ( a − b ) ; a(a - b) \ge b(a - b); a ( a − b ) ≥ b ( a − b ) ;
г) a 2 − a b + b 2 ≥ a b . a^2 - ab + b^2 \ge ab. a 2 − ab + b 2 ≥ ab .
5. Исбот кунед, ки суммаи адади дилхоҳи мусбат ва адади ба он чаппа аз 2 2 2 a > 0 a > 0 a > 0
a + 1 a ≥ 2. a + \dfrac{1}{a} \ge 2. a + a 1 ≥ 2. 6. Нобаробариро исбот намоед:
а) a 2 + 1 2 ≥ a ; \dfrac{a^2 + 1}{2} \ge a; 2 a 2 + 1 ≥ a ;
б) a a 2 + 1 ≤ 1 2 . \dfrac{a}{a^2 + 1} \le \dfrac{1}{2}. a 2 + 1 a ≤ 2 1 .
Дар хона 7. Дурустии нобаробариро нишон диҳед:
а) 2 b 2 − 4 b + 1 > 2 b ( b − 2 ) ; 2b^2 - 4b + 1 > 2b(b - 2); 2 b 2 − 4 b + 1 > 2 b ( b − 2 ) ;
б) ( 4 y − 1 ) ( 4 y + 1 ) < 16 y 2 + 0,1 ; (4y - 1)(4y + 1) < 16y^2 + 0{,}1; ( 4 y − 1 ) ( 4 y + 1 ) < 16 y 2 + 0 , 1 ;
в) ( 5 y − 8 ) 2 > 8 y ( 3 y − 10 ) ; (5y - 8)^2 > 8y(3y - 10); ( 5 y − 8 ) 2 > 8 y ( 3 y − 10 ) ;
г) ( c + 1 ) ( c + 6 ) < ( c + 3 ) ( c + 4 ) . (c + 1)(c + 6) < (c + 3)(c + 4). ( c + 1 ) ( c + 6 ) < ( c + 3 ) ( c + 4 ) .
8. Ҷудо кардани квадрати пурраро истифода карда, исбот намоед, ки барои қимати дилхоҳи a a a
а) a 2 − 4 a + 5 > 0 ; a^2 - 4a + 5 > 0; a 2 − 4 a + 5 > 0 ;
б) a 2 + 50 > 12 a ; a^2 + 50 > 12a; a 2 + 50 > 12 a ;
в) 9 a 2 − 5 a + 2 > a 2 + a ; 9a^2 - 5a + 2 > a^2 + a; 9 a 2 − 5 a + 2 > a 2 + a ;
г) a 2 − 2 a < 40 a 2 − 10 a + 1. a^2 - 2a < 40a^2 - 10a + 1. a 2 − 2 a < 40 a 2 − 10 a + 1.
Такрор
а) x 2 − 6 x + 9 21 − 7 x ; \dfrac{x^2 - 6x + 9}{21 - 7x}; 21 − 7 x x 2 − 6 x + 9 ;
б) 4 x 2 − 12 x + 9 ( 3 − 2 x ) 2 . \dfrac{4x^2 - 12x + 9}{(3 - 2x)^2}. ( 3 − 2 x ) 2 4 x 2 − 12 x + 9 .
а) 4 x = 1 + 1 x − 1 ; \dfrac{4}{x} = 1 + \dfrac{1}{x - 1}; x 4 = 1 + x − 1 1 ;
б) 4 5 x − 1 = 5 x − 4. \dfrac{4}{5x - 1} = 5x - 4. 5 x − 1 4 = 5 x − 4.
11. Ифодаи 2,3 5 − 20 − 1 5 2{,}3\sqrt{5} - \sqrt{20} - \sqrt{\dfrac{1}{5}} 2 , 3 5 − 20 − 5 1
12. Системаро ҳал намоед:
{ 3 x + 5 y = 7 , − 2 x + 3 y = 5. \begin{cases} 3x + 5y = 7, \\ -2x + 3y = 5. \end{cases} { 3 x + 5 y = 7 , − 2 x + 3 y = 5.
★ Барои ҳавасмандон 13★. Исбот кунед, ки агар a , a, a , b , b, b , c c c a > b a > b a > b
а) a + c b + c < a b ; \dfrac{a + c}{b + c} < \dfrac{a}{b}; b + c a + c < b a ;
б) b + c a + c > b a . \dfrac{b + c}{a + c} > \dfrac{b}{a}. a + c b + c > a b .
14★. Исбот кунед, ки ҳангоми мусбат будани ададҳои a a a b b b
a b + b a ≥ 2 \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \ge 2 b a + a b ≥ 2 15★. Исбот кунед, ки агар a ≥ 0 a \ge 0 a ≥ 0 b ≥ 0 b \ge 0 b ≥ 0 a + b 2 ≥ a b \dfrac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab} 2 a + b ≥ ab
16★. Исбот кунед, ки агар a a a b b b a 3 + b 3 ≥ a b ( a + b ) a^3 + b^3 \ge ab(a + b) a 3 + b 3 ≥ ab ( a + b )
17★. Қатораи боркаш 1 1 1 50 50 50 1 1 1
Нишондод ба 13★–16★: фарқи қисмҳоро ба зарбкунандаҳо ҷудо кунед; дар 15★ нобаробарии ( a − b ) 2 ≥ 0 (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \ge 0 ( a − b ) 2 ≥ 0 a 3 + b 3 − a b ( a + b ) = ( a + b ) ( a − b ) 2 . a^3 + b^3 - ab(a + b) = (a + b)(a - b)^2. a 3 + b 3 − ab ( a + b ) = ( a + b ) (
Вазифаи хонагӣ
Машқҳои 7–12; ихтиёрӣ аз ★ як-ду масъала.
Вазифаи онлайн оид ба банди 34 дар саҳифаи «Супоришҳо» аст, агар омӯзгор онро супорида бошад.
Хулоса
Таъриф: a > b , a > b, a > b , a − b > 0 ; a - b > 0; a − b > 0 ; a < b , a < b, a < b , a − b < 0 ; a - b < 0; a − b < 0 ; a = b , a = b, a = b , a − b = 0. a - b = 0. a − b = 0.
Дар хати рости координатӣ адади калон росттар меистад.
a ≥ b a \ge b a ≥ b a > b a > b a > b a = b . a = b. a = b . Исботи нобаробарӣ: фарқро ба намуди аломаташ маълум меоранд; квадрат ҳамеша ≥ 0 \ge 0 ≥ 0 a 2 + b 2 − 2 a b = ( a − b ) 2 ≥ 0. a^2 + b^2 - 2ab = (a - b)^2 \ge 0. a 2 + b 2 − 2 ab = ( a −
Дар ин дарс
Ман метавонам нобаробариро бо ёрии фарқи қисмҳои он исбот кунам.Ман метавонам квадрати пурраро барои исботи нобаробарӣ истифода барам.Ман медонам , ки ( a − b ) 2 ≥ 0 (a - b)^2 \ge 0 ( a − b ) 2 ≥ 0 a a a b b b Такрор (2 дақиқа)
Таърифи a > b a > b a > b
Квадрати фарқи ( a − 4 ) 2 (a - 4)^2 ( a − 4 ) 2
Оё x 2 x^2 x 2
Ҷавобҳо
a > b , a > b, a > b , a − b > 0. a - b > 0. a − b > 0. a 2 − 8 a + 16. a^2 - 8a + 16. a 2 − 8 a + Вазъият барои андешаронӣ Оё нобаробарии ( a + 2 ) ( a + 4 ) > ( a + 1 ) ( a + 5 ) (a + 2)(a + 4) > (a + 1)(a + 5) ( a + 2 ) ( a + 4 ) > ( a + 1 ) ( a + 5 ) a a a a a a a a a
Дар хотир доред Барои исботи нобаробарӣ фарқи қисмҳоро ба намуде оред, ки аломаташ маълум аст: адади мусбат, квадрат (≥ 0 \ge 0 ≥ 0 ≥ 0 \ge 0 ≥ 0 > 0 > 0 > 0
Калимаҳои калидӣ нобаробарӣ нобаробарии қатъӣ нобаробарии ғайриқатъӣ фарқи ададҳо исботи нобаробарӣ
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам? Тарзҳои муқоисаи ададҳоро номбар кунед ва таърифи умумиро баён намоед. Ҳангоми исботи нобаробарӣ барои чӣ фарқро ба квадрат меоранд?
Худро арзёбӣ кунед (✓ ё ✗):
Ман таърифи нобаробариро бо ёрии фарқ баён карда метавонам.
Ман нобаробариро бо ҳисоби фарқ исбот мекунам.
Ман нобаробарии ғайриқатъиро аз қатъӣ фарқ мекунам.
Исбот кунед, ки барои ададҳои дилхоҳи a a a b b b ( a + b ) 2 ≥ 4 a b (a + b)^2 \ge 4ab ( a + b ) 2 ≥ 4 ab
Нобаробарии a 2 + 1 ≥ 2 a a^2 + 1 \ge 2a a 2 + 1 ≥ 2 a a a a
Исботи нобаробарии a 2 + 9 ≥ 6 a a^2 + 9 \ge 6a a 2 + 9 ≥ 6 a
Унсурҳоро бо тартиби дуруст ҷойгир кунед 1 Фарқи қисми чап ва қисми ростро менависем: a 2 + 9 − 6 a . a^2 + 9 - 6a. a 2 + 9 − 6 a .
2 Барои ҳар гуна
3
4
Ифодаи ( a − 3 ) 2 + 2 (a - 3)^2 + 2 ( a − 3 ) 2 + 2 a a a
Як ҷавобро интихоб кунед A ҳамеша манфӣ аст B баъзан ба 0 0 0
C аз a a a
D ҳамеша мусбат аст a
−
b ) 2 .
b
) 2
≥
0.
16.
a
( a − 3 ) 2 ≥ 0. (a - 3)^2 \ge 0. ( a − 3 ) 2 ≥ 0. Хулоса: фарқ манфӣ нест, пас a 2 + 9 ≥ 6 a . a^2 + 9 \ge 6a. a 2 + 9 ≥ 6 a .
Фарқро ба намуди ( a − 3 ) 2 (a - 3)^2 ( a − 3 ) 2