36. Ҷамъ ва зарби нобаробариҳои ададӣ - Алгебра — синфи 8
Ҷамъи нобаробариҳо
Амалҳои ҷамъ ва зарби нобаробариҳои ададиро дида мебароем.
Исбот. Ба ҳар ду қисми нобаробарии a < b a < b a < b c c c c < d c < d c < d b b b a + c < b + c a + c < b + c a +
навбатӣ Такрор ва санҷиш: бандҳои 34–36 · 1/2. Нобаробариҳои ададӣ ва хосиятҳои онҳо 1 соат
c <
b +
c
c + b < d + b c + b < d + b c + b < d + b теоремаи 2
a + c < b + d . a + c < b + d. a + c < b + d . Масалан, аз 2 < 3 2 < 3 2 < 3 − 5 < − 4 -5 < -4 − 5 < − 4 − 3 < − 1 -3 < -1 − 3 < − 1 1,2 > 1,1 1{,}2 > 1{,}1 1 , 2 > 1 , 1 − 1 > − 2 -1 > -2 − 1 > − 2 0,2 > − 0,9 0{,}2 > -0{,}9 0 , 2 > − 0 , 9
Теорема ҳангоми узв ба узв ҷамъ кардани якчанд нобаробариҳо низ дуруст мебошад. Ҳамин тариқ, нобаробариҳои аломаташон якхеларо узв ба узв ҷамъ кардан мумкин аст . Натиҷаи ҷамъ нобаробарии дуруст мебошад.
Зарби нобаробариҳо Исбот. Ҳар ду қисми a < b a < b a < b c c c c < d c < d c < d b b b a c < b c ac < bc a c < b c c b < d b cb < db c b < d b теоремаи 2 (хосияти транзитивӣ) бармеояд, ки a c < b d ac < bd a c < b d
Масалан, аз нобаробариҳои 2 < 2,1 2 < 2{,}1 2 < 2 , 1 3 < 4 3 < 4 3 < 4 6 < 8,4 6 < 8{,}4 6 < 8 , 4 2,1 > 1,8 2{,}1 > 1{,}8 2 , 1 > 1 , 8 5 > 4 5 > 4 5 > 4 10,5 > 7,2 10{,}5 > 7{,}2 10 , 5 > 7 , 2
Теорема ҳангоми узв ба узв зарб кардани якчанд нобаробариҳои қисмҳои чапу росташон аз ададҳои мусбат иборатбуда низ дуруст мебошад. Ҳамин тариқ, нобаробариҳои ададии якхеларо, ки ҳамаи аъзояшон мусбатанд , узв ба узв зарб кардан мумкин аст. Натиҷаи зарб нобаробарии дуруст мебошад.
Қайд мекунем, ки агар нобаробариҳои дурусти a < b a < b a < b c < d c < d c < d a c < b d ac < bd a c < b d − 4 < 2 -4 < 2 − 4 < 2 − 5 < 3 -5 < 3 − 5 < 3 20 < 6 20 < 6 20 < 6
Дар ҳақиқат, n n n a < b a < b a < b a n < b n a^n < b^n a n < b n
Баҳо додани сумма, фарқ, ҳосили зарб ва ҳосили тақсим Теоремаҳои исботшуда аксаран барои ба сумма, фарқ, ҳосили зарб ва ҳосили тақсим баҳо додан истифода мешаванд. Бигузор 10 < x < 12 10 < x < 12 10 < x < 12 2 < y < 3 2 < y < 3 2 < y < 3 x + y , x + y, x + y , x − y , x - y, x − y , x y xy x y x y \dfrac{x}{y} y x
Ба суммаи x + y x + y x + y Теоремаи 5-ро ба 10 < x 10 < x 10 < x 2 < y , 2 < y, 2 < y , x < 12 x < 12 x < 12 y < 3 y < 3 y < 3 12 < x + y 12 < x + y 12 < x + y x + y < 15. x + y < 15. x + y < 15. 10 < x < 12 2 < y < 3 12 < x + y < 15 \begin{array}{rcccl} 10 & < & x & < & 12 \\ 2 & < & y & < & 3 \\ \hline 12 & < & x + y & < & 15 \end{array} 10 2 12 < < < x y x + y < < < 12 3 15
Ба фарқи x − y . x - y. x − y . Фарқро ба намуди суммаи x + ( − y ) x + (-y) x + ( − y ) − y -y − y 2 < y < 3 2 < y < 3 2 < y < 3 − 3 < − y < − 2. -3 < -y < -2. − 3 < − y < − 2. 10 < x < 12 − 3 < − y < − 2 7 < x − y < 10 \begin{array}{rcccl} 10 & < & x & < & 12 \\ -3 & < & -y & < & -2 \\ \hline 7 & < & x - y & < & 10 \end{array} 10 − 3 7 < < < x − y x − y < < < 12 − 2 10
Ба ҳосили зарби x y . xy. x y . Ададҳои x x x y y y 10 < x 10 < x 10 < x 2 < y 2 < y 2 < y 20 < x y ; 20 < xy; 20 < x y ; x < 12 x < 12 x < 12 y < 3 y < 3 y < 3 x y < 36 xy < 36 x y < 36 10 < x < 12 2 < y < 3 20 < x y < 36 \begin{array}{rcccl} 10 & < & x & < & 12 \\ 2 & < & y & < & 3 \\ \hline 20 & < & xy & < & 36 \end{array} 10 2 20 < < < x y x y < < < 12 3 36
Ба ҳосили тақсими x y . \dfrac{x}{y}. y x . Онро дар намуди ҳосили зарби x ⋅ 1 y x \cdot \dfrac{1}{y} x ⋅ y 1 2 < y < 3 2 < y < 3 2 < y < 3 1 3 < 1 y < 1 2 . \dfrac{1}{3} < \dfrac{1}{y} < \dfrac{1}{2}. 3 1 < y 1 < 2 10 < x < 12 1 3 < 1 y < 1 2 10 3 < x y < 6 \begin{array}{rcccl} 10 & < & x & < & 12 \\[6pt] \dfrac{1}{3} & < & \dfrac{1}{y} & < & \dfrac{1}{2} \\[8pt] \hline \rule{0pt}{3.4ex}\dfrac{10}{3} & < & \dfrac{x}{y} & < & 6 \end{array} 10 3 1 3 10 < < < x y 1 y x < < < 12 2 1 6
Пайвастагӣ бо решаи квадратӣ Дар дарси 14 · 1/2 мо ду хосияти решаи квадратии арифметикиро бе исбот истифода бурда будем. Акнун бо теоремаи 6 онҳоро исбот мекунем.
I. Аз адади дилхоҳи мусбат танҳо як решаи квадратии арифметикӣ мебарояд.
Масалан, 25 = 5. \sqrt{25} = 5. 25 = 5. 25 = b \sqrt{25} = b 25 = b b ≥ 0 b \ge 0 b ≥ 0 b ≠ 5. b \ne 5. b = 5. b > 5 b > 5 b > 5 b < 5. b < 5. b < 5. b > 5 b > 5 b > 5 b 2 > 25 b^2 > 25 b 2 > 25 b 2 = 25 b^2 = 25 b 2 = 25 0 ≤ b < 5 0 \le b < 5 0 ≤ b < 5 b 2 < 25 b^2 < 25 b 2 < 25 (b = 0 b = 0 b = 0 дар алоҳидагӣ равшан аст: 0 < 25 0 < 25 0 < 25 b 2 = 25 b^2 = 25 b 2 = 25 b ≠ 5 b \ne 5 b = 5 25 25 25 a a a 25 25 25 a a a 5 5 5 a \sqrt{a} a
II. Агар a > b > 0 a > b > 0 a > b > 0 a > b . \sqrt{a} > \sqrt{b}. a > b .
Дар ҳақиқат, бигузор a ≤ b \sqrt{a} \le \sqrt{b} a ≤ b a = b \sqrt{a} = \sqrt{b} a = b a = b . a = b. a = b . a < b \sqrt{a} < \sqrt{b} a < b a > b > 0 a > b > 0 a > b > 0 a < b . a < b. a < b . a > b a > b a > b a > b . \sqrt{a} > \sqrt{b}. a > b .
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф 1. Нобаробариҳоро узв ба узв ҷамъ кунед:
а) 6 > 2,5 6 > 2{,}5 6 > 2 , 5 − 7 > − 9 ; -7 > -9; − 7 > − 9 ;
б) − 1,5 < − 0,5 -1{,}5 < -0{,}5 − 1 , 5 < − 0 , 5 − 4,5 < − 1,5. -4{,}5 < -1{,}5. − 4 , 5 < − 1 , 5.
2. Маълум, ки 4 < x < 6 4 < x < 6 4 < x < 6 8 < y < 9 8 < y < 9 8 < y < 9 x + y ; x + y; x + y ; x − y ; x - y; x − y ; x y ; xy; x y ; x y \dfrac{x}{y} y x
3. 1,4 < 2 < 1,5 1{,}4 < \sqrt{2} < 1{,}5 1 , 4 < 2 < 1 , 5 1,7 < 3 < 1,8 1{,}7 < \sqrt{3} < 1{,}8 1 , 7 < 3 < 1 , 8 2 + 3 \sqrt{2} + \sqrt{3} 2 + 3 3 − 2 \sqrt{3} - \sqrt{2} 3 − 2
4. Баҳои асоси секунҷаи баробарпаҳлу a a a b , b, b , 18 ≤ a ≤ 20 18 \le a \le 20 18 ≤ a ≤ 20 31 ≤ b ≤ 33. 31 \le b \le 33. 31 ≤ b ≤ 33.
5. Дарозии росткунҷа a a a b b b 2,3 < a < 2,4 2{,}3 < a < 2{,}4 2 , 3 < a < 2 , 4 3,2 < b < 3,3 3{,}2 < b < 3{,}3 3 , 2 < b < 3 , 3
6. Баҳои дарозӣ a a a b b b 7,5 ≤ a ≤ 7,6 ; 7{,}5 \le a \le 7{,}6; 7 , 5 ≤ a ≤ 7 , 6 ; 5,4 ≤ b ≤ 5,5. 5{,}4 \le b \le 5{,}5. 5 , 4 ≤ b ≤ 5 , 5. 40 40 40 2 ^2 2
7. Бигузор α \alpha α β \beta β 61 ∘ ≤ α ≤ 62 ∘ , 61^\circ \le \alpha \le 62^\circ, 6 1 ∘ ≤ α ≤ 6 2 ∘ , 109 ∘ ≤ β ≤ 110 ∘ . 109^\circ \le \beta \le 110^\circ. 10 9 ∘ ≤ β ≤ 11 0 ∘ .
Дар хона 8. Нобаробариҳоро узв ба узв зарб кунед:
а) 5 > 3 5 > 3 5 > 3 6 > 5 ; 6 > 5; 6 > 5 ;
б) 8 < 9 8 < 9 8 < 9 1 4 < 1 3 . \dfrac{1}{4} < \dfrac{1}{3}. 4 1 < 3 1 .
9. Оё барои ададҳои мусбати a a a b b b
а) агар a > b a > b a > b a 2 > b 2 ; a^2 > b^2; a 2 > b 2 ;
б) агар a 2 > b 2 a^2 > b^2 a 2 > b 2 a > b ? a > b? a > b ?
Такрор 10. Системаи муодилаҳоро ҳал кунед:
{ 2,5 x − 2 y 2 − 2 x = 3 , 3 x − 2 y 3 + 4 = 3 x . \begin{cases} \dfrac{2{,}5x - 2y}{2} - 2x = 3, \\[4pt] \dfrac{3x - 2y}{3} + 4 = 3x. \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ 2 2 , 5 x − 2 y − 2 x = 3 , 3 3 x − 2 y + 4 = 3 x . 11. Аз таносуб x x x 855 : 72 = 285 : x . 855 : 72 = 285 : x. 855 : 72 = 285 : x .
6 a 9 a 2 − 1 + 3 a + 1 3 − 9 a + 3 a − 1 6 a + 2 . \dfrac{6a}{9a^2 - 1} + \dfrac{3a + 1}{3 - 9a} + \dfrac{3a - 1}{6a + 2}. 9 a 2 − 1 6 a + 3 − 9 a 3 a + 1 + 6 a + 2 3 a − 1 .
а) ҳангоми a > 0 a > 0 a > 0 4 a + 1 a ≥ 4 ; 4a + \dfrac{1}{a} \ge 4; 4 a + a 1 ≥ 4 ;
б) ҳангоми b < 0 b < 0 b < 0 16 b + 1 b ≤ − 8. 16b + \dfrac{1}{b} \le -8. 16 b + b 1 ≤ − 8.
★ Барои ҳавасмандон 14★. Оё барои ададҳои мусбати a a a b b b
а) агар a > b a > b a > b 1 a 2 < 1 b 2 ; \dfrac{1}{a^2} < \dfrac{1}{b^2}; a 2 1 < b 2 1 ;
б) агар 1 a 2 < 1 b 2 \dfrac{1}{a^2} < \dfrac{1}{b^2} a 2 1 < b 2 1
15★. Маълум, ки 1 < a < 2 1 < a < 2 1 < a < 2 3 < b < 4 3 < b < 4 3 < b < 4 a + b ; a + b; a + b ; a − b ; a - b; a − b ; a b ; ab; ab ; a b \dfrac{a}{b} b a
Вазифаи хонагӣ
Машқҳои 8–13; ихтиёрӣ 14★ ва 15★.
Вазифаи онлайн оид ба банди 36 дар саҳифаи «Супоришҳо» аст, агар омӯзгор онро супорида бошад.
Хулоса
Нобаробариҳои аломаташон якхеларо узв ба узв ҷамъ кардан мумкин аст: a < b , a < b, a < b , c < d ⇒ a + c < b + d . c < d \Rightarrow a + c < b + d. c < d ⇒ a + c < b + d .
Нобаробариҳои якхеларо бо аъзои мусбат узв ба узв зарб кардан мумкин аст: a < b , a < b, a < b , c < d ⇒ a c < b d ; c < d \Rightarrow ac < bd; c < d ⇒ a c < b d ;
Барои ададҳои мусбат a < b ⇒ a n < b n . a < b \Rightarrow a^n < b^n. a < b ⇒ a n < b n .
Ба x − y x - y x − y − y -y − y x y \dfrac{x}{y} y x 1 y \dfrac{1}{y}
Дар ин дарс
Ман метавонам нобаробариҳои якхеларо узв ба узв ҷамъ ва зарб кунам ва шартҳои он (ададҳои мусбат)-ро медонам.Ман метавонам теоремаҳои 5 ва 6-ро исбот кунам.Ман метавонам ба суммаи, фарқи, ҳосили зарб ва ҳосили тақсими ду бузургӣ баҳо диҳам. Такрор (2 дақиқа)
Теоремаи 4-ро баён кунед (зарб ба c > 0 c > 0 c > 0 c < 0 c < 0 c < 0
Ба нобаробарии 2 < 3 2 < 3 2 < 3 5 5 5
Аз 2 < y < 3 2 < y < 3 2 < y < 3 − y -y − y
Ҷавобҳо
a < b a < b a < b c > 0 c > 0 c > 0 a c < b c ; ac < bc; a c < b c ; c < 0 c < 0 c < 0 Вазъият барои андешаронӣ Агар 2 < 3 2 < 3 2 < 3 4 < 10 4 < 10 4 < 10 2 + 4 < 3 + 10 2 + 4 < 3 + 10 2 + 4 < 3 + 10 2 ⋅ 4 < 3 ⋅ 10 2 \cdot 4 < 3 \cdot 10 2 ⋅ 4 < 3 ⋅ 10 2 − 4 < 3 − 10 2 - 4 < 3 - 10 2 − 4 < 3 − 10
Теоремаи 5 Агар a < b a < b a < b c < d c < d c < d a + c < b + d a + c < b + d a + c < b + d
Теоремаи 6 Агар a , a, a , b , b, b , c c c d d d a < b a < b a < b c < d c < d c
Хулоса Агар ададҳои a a a b b b a < b a < b a < b n n n a n < b n a^n < b^n a n <
Дар хотир доред Ҷамъ: ҳудудҳои хурд ба хурд, калон ба калон. Фарқ: аввал − y -y − y − 3 < − y < − 2 -3 < -y < -2 − 3 < − y < − 2 1 y \dfrac{1}{y} y 1
Калимаҳои калидӣ узв ба узв ҷамъ кардан узв ба узв зарб кардан баҳо додан нобаробарии дучанда ададҳои мусбат
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам? Чаро нобаробариҳои манфиро узв ба узв зарб кардан мумкин нест? Чӣ тавр ба фарқи ду бузургӣ баҳо медиҳанд?
Худро арзёбӣ кунед (✓ ё ✗):
Ман теоремаҳои 5 ва 6-ро баён карда метавонам.
Ман ҳар ду теоремаро исбот карда метавонам: ҷамъ бо теоремаи 3 ва 2, зарб бо теоремаи 4 ва 2.
Ман ба x + y , x + y, x + y , x − y , x - y, x − y , x y , xy,
Оё нобаробариҳоро бо аломатҳои муқобил (яке < , <, < , > > >
Як ҷавобро интихоб кунед A Ҳа, агар ададҳои нобаробариҳо мусбат бошанд B Не: ҷамъ танҳо барои нобаробариҳои аломаташон якхела дуруст аст C Ҳа, бе ягон шарт D Ҳа, агар аъзои чапи якум калон бошад
Агар a < b a < b a < b c < d c < d c < d a − c < b − d . a - c < b - d. a − c < b − d .
Нобаробариҳои 2 < 3 2 < 3 2 < 3 5 < 7 5 < 7 5 < 7
Як ҷавобро интихоб кунед A 10 < 21 10 < 21 10 < 21
B 7 < 10 7 < 10 7 < 10
C 10 < 12 10 < 12
D 1
.
a > b ?
y 1
a c > b c . ac > bc. a c > b c .
− 3 < − y < − 2. -3 < -y < -2. − 3 < − y < − 2. <
d
b n
x
y
,
10 < 12