35 · 1/2. Теоремаҳо дар бораи хосиятҳои нобаробариҳо - Алгебра — синфи 84. Нобаробариҳо
35 · 1/2. Теоремаҳо дар бораи хосиятҳои нобаробариҳо
1 соат
- Назария
- Дарси 3 аз 20
- Хониш: 7 дақиқа
- Саволҳо: 5
Теоремаҳои асосӣ
Хосиятҳои асосии нобаробариҳои ададиро дида мебароем. Онҳо бо теоремаҳои зерин баён карда мешаванд. Ҳамаи исботҳо аз таърифи нобаробарӣ (a<b, агар a−b<0) бармеоянд.
Исбот. Агар a−b адади мусбат бошад, он гоҳ адади ба он муқобил, ки ба фарқи баробар аст, адади манфӣ мебошад, пас Баръакс, ҳангоми манфӣ будани фарқи мусбат аст.
навбатӣ35 · 2/2. Натиҷаҳо ва баҳодиҳии бузургиҳо
1 соат
b
−
a
Исбот. Нишон додан даркор аст, ки фарқи a−c манфӣ аст. Ба ин фарқ ададҳои b ва −b-ро ҷамъ мекунем:
a−c=a−c+b−b=(a−b)+(b−c). Мувофиқи шарт a<b ва b<c, бинобар ин ҷамъшавандаҳои a−b ва b−c манфианд. Суммаи ду адади манфӣ манфӣ аст, пас a−c<0, яъне a<c. Айнан ҳамин тавр исбот мекунанд, ки агар a>b ва b>c бошад, он гоҳ a>c аст.
Исбот. Мувофиқи шарт a−b<0. Фарқи (a+c)−(b+c) ба a−b баробар аст, пас низ манфӣ аст. Аз ин ҷо a+c<b+c.
Ҳамин тариқ, агар ба ҳар ду қисми нобаробарӣ адади дилхоҳ ҷамъ карда шавад, аломати нобаробарӣ тағйир намеёбад.
Исбот. Агар a<b бошад, мувофиқи теоремаи 3 a+(−c)<b+(−c), яъне a−c<b−c.
Исбот. Бигузор a<b+c бошад. Аз ҳар ду қисм c-ро тарҳ мекунем; мувофиқи хулосаи 1: a−c<b+c−c, аз ин ҷо a−c<b.
Исбот. Фарқи ac−bc-ро дар намуди ҳосили зарб менависем: ac−bc=c(a−b). Азбаски a<b, пас a−b<0. Агар c>0 бошад, ҳосили зарби c(a−b) манфӣ аст (мусбат бар манфӣ), бинобар ин ac<bc. Агар c<0 бошад, ҳосили зарби c(a−b) мусбат аст (манфӣ бар манфӣ), пас ac>bc.
Мисол. Ҳар ду қисми нобаробарии 41<0,26-ро ба 3 зарб мекунем: 43<0,78. Агар ҳамон нобаробарии 41<0,26-ро ба −4 зарб кунем, аломат иваз мешавад: −1>−1,04.
Аз теоремаи 4 ҳангоми c=−1 бармеояд: агар a<b бошад, он гоҳ −a>−b аст.
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф
1. Маълум, ки a<b аст. Ададҳои a ва b+1; a−2 ва b; a−4 ва b+3; a+2 ва b−2-ро, агар мумкин бошад, муқоиса кунед.
2. Ба ҳар ду қисми нобаробарии −1<2 ададро ҷамъ кунед:
- а) 4;
- б) −3;
- в) 2,3;
- г) −2x;
- д) a+b;
- е) a−b.
3. Ҳар ду қисми нобаробарии −3<4-ро ба 2; ба 1; ба 21; ба −1 зарб намоед.
4. Нобаробарии a>b дуруст аст. Нобаробариеро нависед, ки он ҳангоми:
- а) ба ҳар ду қисми нобаробарии мазкур ҷамъ намудани адади 3 ҳосил мешавад;
- б) аз ҳар ду қисми нобаробарии мазкур тарҳ намудани адади 4 ҳосил мешавад;
- в) ба 7 зарб намудани ҳар ду қисми нобаробарии мазкур ҳосил мешавад;
- г) ба −2,3 зарб намудани ҳар ду қисми нобаробарии мазкур ҳосил мешавад;
- д) ба 4 тақсим кардани ҳар ду қисми нобаробарии мазкур ҳосил мешавад;
- е) ба −1 тақсим кардани ҳар ду қисми нобаробарии мазкур ҳосил мешавад.
5. Маълум, ки a<b аст. Ба ҷойи ∗ аломати < ё >-ро гузоред, ки нобаробарии дуруст ҳосил шавад:
- а) −2,7a∗−2,7b;
- б) 0,11a∗0,11b;
- в) 5a∗5b;
- г) −3a∗−3b.
6. Аломати адади a чӣ гуна аст, агар маълум бошад, ки:
- а) 3a<2a;
- б) 9a>4a;
- в) −2a<2a;
- г) −6a>2a?
7. Маълум, ки a>b аст. Дар асоси кадом теоремаҳо тасдиқ кардан мумкин аст, ки нобаробарии зерин дуруст аст:
- а) −2a<−2b;
- б) 3a>3b;
- в) 3a+9>3b+9;
- г) 0,1a−0,6>0,1b−0,6;
- д) 2−a<2−b;
- е) 3−2a<3−2b?
Дар хона
8. Аз ҳар ду қисми нобаробарии 2>1 ададро тарҳ кунед:
- а) 2;
- б) −5;
- в) 4,1;
- г) −3y;
- д) a2;
- е) a2−b2.
9. Ҳар ду қисми нобаробарии 8>−2-ро ба 3; ба −3; ба −1; ба 4 тақсим намоед.
10. Маълум, ки нобаробариҳои зерин дурустанд:
- а) a−2>b−2 ва b>3;
- б) a−7>b−7 ва a<−10;
- в) 6a>6b ва b>31;
- г) −3a>−3b ва b<−21.
Аломати ададҳои a ва b чӣ гунаанд?
Вазифаи хонагӣ
- Машқҳои 8–10.
- Исботи теоремаҳои 2 ва 4-ро бо суханони худатон дар дафтар нависед.
Дар ин дарс
- Ман метавонам теоремаҳои 1–4-ро дар бораи хосиятҳои нобаробариҳои ададӣ баён кунам ва аз таъриф исбот намоям.
- Ман медонам, ки ҳангоми зарб ба адади манфӣ аломати нобаробарӣ иваз мешавад.
- Ман метавонам хосиятҳоро барои табдили нобаробариҳо истифода барам.
Такрор (2 дақиқа)
- a>b маънои чиро дорад (бо ёрии фарқ)?
- Ҳосили зарби ду адади манфӣ чӣ аломат дорад? Ва суммаи ду адади манфӣ?
- Ифодаи (a−b)+(b−c)-ро содатар кунед.
Ҷавобҳо
- a−b>0. 2) Ҳосили зарб мусбат, сумма манфӣ. 3) a−c.
Вазъият барои андешаронӣНобаробарии дурусти −1<2 дода шудааст. Ба ҳар ду қисм 5-ро ҷамъ кунед. Баъд ҳар ду қисмро ба 3 зарб кунед. Баъд ба −3. Нобаробарӣ дуруст мемонад? Кадом амал аломатро иваз мекунад?
Теоремаи 1Агар a>b бошад, он гоҳ b<a аст; агар a<b бошад, он гоҳ b>a аст.
Теоремаи 2Агар a<b ва b<c бошад, он гоҳ a<c аст.
Агар a < b ва b < c бошад, нуқтаи a аз нуқтаи c чаптар аст.Теоремаи 3Агар a<b бошад, он гоҳ барои адади дилхоҳи c нобаробарии a+c<b+c ҷой дорад.
Хулосаи 1Агар аз ҳар ду қисми нобаробарӣ ягон адад тарҳ карда шавад, аломати нобаробарӣ тағйир намеёбад.
Хулосаи 2Адади дилхоҳро аз як қисми нобаробарӣ ба қисми дигар бо тағйир додани аломаташ гузаронидан мумкин аст.
Теоремаи 4Агар a<b ва c адади мусбат бошад, он гоҳ ac<bc аст. Агар a<b ва адади манфӣ бошад, он гоҳ аст.
Дар хотир доредБа адади мусбат зарб кардан аломатро нигоҳ медорад. Ба адади манфӣ зарб кардан аломатро ба муқобил иваз мекунад: < мешавад >, > мешавад <. Ҷамъ ва тарҳ аломатро ҳеҷ гоҳ иваз намекунад.
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам?Кадом амалҳо аломати нобаробариро иваз мекунанд ва кадомаш — не? Чаро ҳангоми зарб ба адади манфӣ аломат иваз мешавад?
Ҳар ду қисми нобаробарии дурусти −1<2-ро ба −3 зарб мекунем. Кадом нобаробарӣ ҳосил мешавад?
Як ҷавобро интихоб кунед Маълум, ки a>b. Кадом нобаробариҳо ҳатман дурустанд? (Ҳамаи дурустҳоро интихоб кунед.)
Ҳамаи мувофиқро интихоб кунед Исботи теоремаи 2 (агар a<b ва b<c, он гоҳ a<c)-ро ба тартиби дуруст гузоред.
Унсурҳоро бо тартиби дуруст ҷойгир кунед1Суммаи ду адади манфӣ манфӣ аст: (a−
2
3
4
c
−3<−6
a+5>b+5
a−2<b−2
b)+
(b−
c)<
0.
Пас a−c<0, яъне a<c.
Ҳар як ҷамъшаванда манфӣ аст: a−b<0 (аз a<b) ва b−c<0 (аз b<c).
Фарқи a−c-ро чунин менависем: a−c=(a−b)+(b−c).