40. Ҳалли нобаробариҳои касран хаттӣ - Алгебра — синфи 8
Нобаробарии касран хаттӣ
Нобаробариҳои намуди
a x + b c x + d > 0 ё a x + b c x + d < 0 \frac{ax + b}{cx + d} > 0 \quad \text{ё} \quad \frac{ax + b}{cx + d} < 0 c x + d a x + b > 0 ё c x + навбатӣ 41. Ҳалли нобаробариҳои дорои қимати мутлақ 1 соат
d
a x + b
<
0
(ки a , a, a , b , b, b , c , c, c , d d d нобаробариҳои касран хаттӣ номида мешаванд. Нобаробариҳои бо ≥ \ge ≥ ≤ \le ≤
Мисоли 1. Нобаробарии 3 − 2 x x − 1 > 0 \dfrac{3 - 2x}{x - 1} > 0 x − 1 3 − 2 x > 0
Нобаробарӣ дуруст аст, агар яке аз системаҳо дуруст бошад:
а) { 3 − 2 x > 0 , x − 1 > 0 ; б) { 3 − 2 x < 0 , x − 1 < 0. \text{а)}\ \begin{cases} 3 - 2x > 0, \\ x - 1 > 0; \end{cases} \qquad \text{б)}\ \begin{cases} 3 - 2x < 0, \\ x - 1 < 0. \end{cases} а ) { 3 − 2 x > 0 , x − 1 > 0 ; б ) { 3 − 2 x < 0 , x − 1 < 0. Системаи а) ба { x < 1,5 , x > 1 \begin{cases} x < 1{,}5, \\ x > 1 \end{cases} { x < 1 , 5 , x > 1 ( 1 ; 1,5 ) . (1;\ 1{,}5). ( 1 ; 1 , 5 ) . { x > 1,5 , x < 1 \begin{cases} x > 1{,}5, \\ x < 1 \end{cases} { x > 1 , 5 , x < 1
Ҷавоб: ( 1 ; 1,5 ) . (1;\ 1{,}5). ( 1 ; 1 , 5 ) .
Мисоли 2. Нобаробарии 7 x − 7 2 x − 3 ≤ 4 \dfrac{7x - 7}{2x - 3} \le 4 2 x − 3 7 x − 7 ≤ 4
Адади 4 4 4
7 x − 7 2 x − 3 − 4 ≤ 0 , 7 x − 7 − 4 ( 2 x − 3 ) 2 x − 3 ≤ 0 , 5 − x 2 x − 3 ≤ 0. \dfrac{7x - 7}{2x - 3} - 4 \le 0, \qquad \dfrac{7x - 7 - 4(2x - 3)}{2x - 3} \le 0, \qquad \dfrac{5 - x}{2x - 3} \le 0. 2 x − 3 7 x − 7 − 4 ≤ 0 , 2 x − 3 7 x − 7 − 4 ( 2 x − 3 ) ≤ 0 , 2 x − 3 5 − x ≤ 0. Ду система тартиб медиҳем (каср ғайримусбат аст, агар сурат ва махраҷ аломатҳои муқобил дошта бошанд ё сурат нул бошад; махраҷ нул шуда наметавонад):
а) { 5 − x ≤ 0 , 2 x − 3 > 0 , ба { x ≥ 5 , x > 1,5 , яъне x ≥ 5 ; \text{а)}\ \begin{cases} 5 - x \le 0, \\ 2x - 3 > 0, \end{cases} \quad \text{ба} \quad \begin{cases} x \ge 5, \\ x > 1{,}5, \end{cases} \quad \text{яъне} \ x \ge 5; а ) { 5 − x ≤ 0 , 2 x − 3 > 0 , ба { x ≥ 5 , x > 1 , 5 , яъне x ≥ 5 ; б) { 5 − x ≥ 0 , 2 x − 3 < 0 , ба { x ≤ 5 , x < 1,5 , яъне x < 1,5. \text{б)}\ \begin{cases} 5 - x \ge 0, \\ 2x - 3 < 0, \end{cases} \quad \text{ба} \quad \begin{cases} x \le 5, \\ x < 1{,}5, \end{cases} \quad \text{яъне} \ x < 1{,}5. б ) { 5 − x ≥ 0 , 2 x − 3 < 0 , ба { x ≤ 5 , x < 1 , 5 , яъне x < 1 , 5. Нимхати [ 5 ; + ∞ ) [5;\ +\infty) [ 5 ; + ∞ ) ( − ∞ ; 1,5 ) (-\infty;\ 1{,}5) ( − ∞ ; 1 , 5 )
Ҷавоб: ( − ∞ ; 1,5 ) ∪ [ 5 ; + ∞ ) . (-\infty;\ 1{,}5) \cup [5;\ +\infty). ( − ∞ ; 1 , 5 ) ∪ [ 5 ; + ∞ ) .
Мисоли 3. Нобаробарии x + 2 x − 4 ≥ 0 \dfrac{x + 2}{x - 4} \ge 0 x − 4 x + 2 ≥ 0 x + 2 ≥ 0 x + 2 \ge 0 x + 2 ≥ 0 x − 4 > 0 x - 4 > 0 x − 4 > 0 x > 4 x > 4 x > 4 x + 2 ≤ 0 x + 2 \le 0 x + 2 ≤ 0 x − 4 < 0 x - 4 < 0 x − 4 < 0 x ≤ − 2 x \le -2 x ≤ − 2 ( − ∞ ; − 2 ] ∪ ( 4 ; + ∞ ) . (-\infty;\ -2] \cup (4;\ +\infty). ( − ∞ ; − 2 ] ∪ ( 4 ; + ∞ ) .
Тарзи дигар: аломатҳо дар хат Ҳамон нобаробарии 5 − x 2 x − 3 ≤ 0 \dfrac{5 - x}{2x - 3} \le 0 2 x − 3 5 − x ≤ 0 x = 5 x = 5 x = 5 x = 1,5 x = 1{,}5 x = 1 , 5
Нобаробарии касран хаттӣ: аломатҳо дар хат санҷида бин! Аз нав
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф 1. Нобаробарии касран хаттиро ҳал кунед:
а) 3 x − 5 2 x + 7 > 0 ; \dfrac{3x - 5}{2x + 7} > 0; 2 x + 7 3 x − 5 > 0 ;
б) 2 y + 9 4 y − 1 < 0 ; \dfrac{2y + 9}{4y - 1} < 0; 4 y − 1 2 y + 9 < 0 ;
в) 2 a + 5 2 a − 7 ≤ 0 ; \dfrac{2a + 5}{2a - 7} \le 0; 2 a − 7 2 a + 5 ≤ 0 ;
г) 5 b + 21 b + 4 ≥ 0. \dfrac{5b + 21}{b + 4} \ge 0. b + 4 5 b + 21 ≥ 0.
2. Нобаробариро ҳал кунед:
а) 15 x + 23 5 x + 2 ≤ 4 ; \dfrac{15x + 23}{5x + 2} \le 4; 5 x + 2 15 x + 23 ≤ 4 ;
б) 4 y + 3 3 y − 7 > 2 ; \dfrac{4y + 3}{3y - 7} > 2; 3 y − 7 4 y + 3 > 2 ;
в) 2 − 16 a 2 a + 1 > − 6 ; \dfrac{2 - 16a}{2a + 1} > -6; 2 a + 1 2 − 16 a > − 6 ;
г) 7 − 10 b 4 b − 5 < − 3. \dfrac{7 - 10b}{4b - 5} < -3. 4 b − 5 7 − 10 b < − 3.
3. Функсия бо формулаи y = x + 7 3 − x y = \dfrac{x + 7}{3 - x} y = 3 − x x + 7
а) мусбатанд;
б) ба нимпорчаи [ − 2 ; − 1 ) [-2;\ -1) [ − 2 ; − 1 )
Дар хона 4. Функсия бо формулаи y = 2 x − 4 x + 2 y = \dfrac{2x - 4}{x + 2} y = x + 2 2 x − 4
а) манфианд;
б) ба нимфосилаи ( 1 ; 2 ] (1;\ 2] ( 1 ; 2 ]
Такрор 5. Муодилаи ратсионалиро ҳал кунед:
а) x 2 x + 3 = 1 x ; \dfrac{x}{2x + 3} = \dfrac{1}{x}; 2 x + 3 x = x 1 ;
б) 1 x + 2 x + 2 = 1. \dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{x + 2} = 1. x 1 + x + 2 2 = 1.
6. Нобаробарии ( a + 6 ) ( 7 − a ) > a ( 1 − a ) (a + 6)(7 - a) > a(1 - a) ( a + 6 ) ( 7 − a ) > a ( 1 − a )
а) 1,37 2 + 2,74 ⋅ 3,63 + 3,63 2 0,874 ⋅ 0,729 + 0,271 ⋅ 0,874 + 0,126 ; \dfrac{1{,}37^2 + 2{,}74 \cdot 3{,}63 + 3{,}63^2}{0{,}874 \cdot 0{,}729 + 0{,}271 \cdot 0{,}874 + 0{,}126}; 0 , 874 ⋅ 0 , 729 + 0 , 271 ⋅ 0 , 874 + 0 , 126 1 , 3 7 2 + 2 , 74 ⋅ 3 , 63 + 3 , 6 3 2 ;
б) 0,629 ⋅ 6,37 + 0,371 ⋅ 6,37 + 3,63 6,25 2 − 3,75 2 . \dfrac{0{,}629 \cdot 6{,}37 + 0{,}371 \cdot 6{,}37 + 3{,}63}{6{,}25^2 - 3{,}75^2}. 6 , 2 5 2 − 3 , 7 5 2 0 , 629 ⋅ 6 , 37 + 0 , 371
8. Графикро насохта, муайян кунед, ки барои кадом қимати a a a A ( − 2 ; 9 ) A(-2;\ 9) A ( − 2 ; 9 ) y = a ⋅ x + 3 y = a \cdot x + 3 y = a ⋅ x + 3
9. Алӣ масофаи 180 180 180 5 5 5 30 30 30
★ Барои ҳавасмандон 10★. Аз рӯйи маълумоти зерин касри ихтисорнашавандаро ёбед. Сурат аз махраҷ дуто кам аст. Агар ба сурат ва махраҷ якро ҷамъ кунем, он гоҳ вай аз 1 2 \dfrac{1}{2} 2 1 2 3 \dfrac{2}{3} 3 2
Вазифаи хонагӣ
Машқҳои 4–10 аз қисмҳои «Дар хона», «Такрор» ва ★.
Вазифаи онлайн оид ба банди 40 дар саҳифаи «Супоришҳо» аст, агар омӯзгор онро супорида бошад.
Хулоса
Нобаробарии касран хаттӣ a x + b c x + d ≷ 0 \dfrac{ax + b}{cx + d} \gtrless 0 c x + d a x + b ≷ 0
Нобаробарӣ ба ду система баробарқувва аст; ҳалли он — ҳамҷояшавии ҳалҳои системаҳо.
Агар дар қисми рост адад бошад, онро ба чап гузаронед ва ба як каср оваред; ба махраҷ зарб накунед.
Махраҷи нул ҳеҷ гоҳ ба ҷавоб дохил намешавад; сурати нул ҳангоми ≥ \ge ≥ ≤ \le ≤
Дар ин дарс
Ман медонам , нобаробарии касран хаттӣ чист: a x + b c x + d > 0 \dfrac{ax + b}{cx + d} > 0 c x + d a x + b > 0 < , <, < , ≥ , \ge, ≥ , ≤ \le ≤ Ман метавонам онро ба ду система табдил диҳам ва ҳалҳои онҳоро муттаҳид кунам.Ман метавонам нобаробарии шаклаш a x + b c x + d ≶ k \dfrac{ax + b}{cx + d} \lessgtr k c x + d a x + b ≶ k k k k Ман медонам , ки махраҷ ҳеҷ гоҳ нул шуда наметавонад. Такрор (2 дақиқа)
Кай ҳосили зарби ду адад мусбат аст? Кай ҳосили тақсими онҳо манфӣ аст?
Системаи x − 1 > 0 , x - 1 > 0, x − 1 > 0 , 3 − 2 x > 0 3 - 2x > 0 3 − 2 x > 0
Ҳамҷояшавии ( − ∞ ; 1 ) (-\infty;\ 1) ( − ∞ ; 1 ) [ 5 ; + ∞ ) [5;\ +\infty) [ 5 ; + ∞ )
Ҷавобҳо
Мусбат — вақте ки аломатҳо якхелаанд; манфӣ — вақте ки аломатҳо муқобиланд. 2) x > 1 x > 1 x > 1 x < 1,5 x < 1{,}5 x < 1 , 5 ( 1 ; 1,5 ) . (1;\ 1{,}5). ( 1 ; 1 , 5 ) . ( − ∞ ; 1 ) ∪ [ 5 ; + ∞ ) . (-\infty;\ 1) \cup [5;\ +\infty).
Вазъият барои андешаронӣ Касри x − 1 x + 2 \dfrac{x - 1}{x + 2} x + 2 x − 1 x x x x = − 2 x = -2 x = − 2 x − 1 x + 2 ≥ 0 \dfrac{x - 1}{x + 2} \ge 0 x + 2 x − 1 ≥ 0
Қоида Қимати каср мусбат аст, агар сурат ва махраҷи он аломатҳои якхела дошта бошанд; қимати каср манфӣ аст, агар сурат ва махраҷи он аломатҳои муқобил дошта бошанд. Барои ҳамин нобаробарии касран хаттӣ ба ду системаи нобаробариҳои хаттӣ ивазшаванда аст. Ҳалли нобаробарӣ — ҳамҷояшавии ҳалҳои ин ду система.
Дар хотир доред Адади 5 5 5 1,5 1{,}5 1 , 5 A B ≤ 4 \dfrac{A}{B} \le 4 B A ≤ 4 B B B
Расми 1. Аломатҳои касри (5 − x)/(2x − 3) дар се қисми хат; ҷавоби нобаробарии ≤ 0. Калимаҳои калидӣ нобаробарии касран хаттӣ сурат махраҷ ду система ҳамҷояшавии ҳалҳо
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам? Чаро нобаробарии касрро ба ду система ҷудо мекунем? Чаро аз қисми рост адад гузаронда, ба махраҷ зарб накардан беҳтар аст?
Худро арзёбӣ кунед (✓ ё ✗):
Ман фаҳмонда метавонам, ки ҳалли нобаробарии касран хаттӣ ба чӣ асос ёфтааст.
Ман медонам, ки маҷмуи ҳалли нобаробарии касран хаттӣ аз ҳамҷояшавии кадом маҷмуъҳо иборат аст.
Ман нобаробарии касран хаттиро ҳал карда, ҷавобро менависам.
Адади x = 1 x = 1 x = 1 x + 3 x − 1 ≥ 0 \dfrac{x + 3}{x - 1} \ge 0 x − 1 x + 3 ≥ 0
Нобаробарии x − 3 x + 2 < 0 \dfrac{x - 3}{x + 2} < 0 x + 2 x − 3 < 0
Як ҷавобро интихоб кунед A ( − ∞ ; − 2 ) ∪ ( 3 ; + ∞ ) (-\infty;\ -2) \cup (3;\ +\infty) ( − ∞ ; − 2 )
B C D Кадом ададҳо нобаробарии 2 x − 1 x − 4 ≥ 0 \dfrac{2x - 1}{x - 4} \ge 0 x − 4 2 x − 1 ≥ 0
Ҳамаи мувофиқро интихоб кунед A 0,5 0{,}5 0 , 5
B 0 0 0
C
D E Нобаробарии x + 4 x − 1 ≤ 0 \dfrac{x + 4}{x - 1} \le 0 x − 1 x + 4 ≤ 0
Як ҷавобро интихоб кунед A [ − 4 ; 1 ) [-4;\ 1) [ − 4 ; 1 )
B ( − 4 ; 1 ]
C D Нобаробарии 3 x − 1 x + 2 > 2 \dfrac{3x - 1}{x + 2} > 2 x + 2 3 x − 1 > 2
Унсурҳоро бо тартиби дуруст ҷойгир кунед 1 2 2 2 3 x − 1 x + 2 − 2 > 0. \dfrac{3x - 1}{x + 2} - 2 > 0.
2
3
4
⋅
6
,
37
+
3
,
63
.
( − ∞ ; 1 ) ∪ [ 5 ; + ∞ ) .
зарб кардан мумкин нест
∪
( 3 ; + ∞ )
1 1 1
(-4;\ 1] ( − 4 ; 1 ]
( − ∞ ; − 4 ] ∪ ( 1 ; + ∞ ) (-\infty;\ -4] \cup (1;\ +\infty) ( − ∞ ; − 4 ] ∪ ( 1 ; + ∞ )
x + 2 3 x − 1
−
2 >
0.
Ҳалҳоро муттаҳид мекунем: ( − ∞ ; − 2 ) ∪ ( 5 ; + ∞ ) . (-\infty;\ -2) \cup (5;\ +\infty). ( − ∞ ; − 2 ) ∪ ( 5 ; + ∞ ) .
Ба як каср меоварем: x − 5 x + 2 > 0. \dfrac{x - 5}{x + 2} > 0. x + 2 x − 5 > 0.
Ду системаро менависем: (x > 5 x > 5 x > 5 ва x > − 2 x > -2 x > − 2 (x < 5 x < 5 x < 5 ва x < − 2 x < -2 x < − 2
