28 · 2/2. Прогрессияи геометрӣ

1 соат

Назария
Дарси 5 аз 31
Хониш: 7 дақиқа
Саволҳо: 5

Мисолҳо

Мисоли 1. Дар прогрессияи геометрӣ $b_2 = 6,$ $b_5 = 162.$ $b_1$ ва меёбем.

навбатӣ

29. Ифодаҳои алгебравӣ

1 соат

Дарси навбатӣ

Дарси пешина Ба харитаи курс

1

q

-ро

Ҳал. $\dfrac{b_5}{b_2} = q^3 = \dfrac{162}{6} = 27,$ пас $q = 3,$ $b_1 = \dfrac{b_2}{q} = 2.$ Санҷиш: $b_5 = 2\cdot 3^4 = 162.$

Мисоли 2. Суммаи $12 + 4 + \dfrac{4}{3} + \ldots$ ⁠-ро меёбем.

Ҳал. $b_1 = 12,$ $q = \dfrac{1}{3},$ $|q| < 1.$ $S = \dfrac{12}{1 - \frac{1}{3}} = \dfrac{12}{\frac{2}{3}} = 18.$

Кор дар синф

Машқҳо

Дар синф

1. Маҳраҷи прогрессияи геометрӣ ба $-2,$ суммаи панҷ узви аввалаи он ба $5{,}5$ баробар аст. Узви панҷуми ин прогрессияро ёбед.

2. Узви якуми прогрессияи геометрии $(b_n)$ -ро ёбед, агар:

а) $b_6 = -\dfrac{4}{27},$ $q = -\dfrac{1}{3};$
б) $b_6 = \dfrac{243}{64},$ $q = 1{,}5$ бошад.

3. Ҳисоб кунед: $32 - \dfrac{96}{5} + \dfrac{288}{25} - \dfrac{864}{125} + \ldots$

4. Суммаи узвҳои прогрессияи геометрии беохир камшавандаро ёбед, агар узви сеюмаш $2$ ва узви шашумаш $\dfrac{1}{4}$ бошад.

Дар хона

5. Маҳраҷи прогрессияи геометрии $(b_n)$ -ро ёбед, агар $b_1 + b_4 = 14$ ва $b_2 + b_5 = 42$ бошад.

6. Узви якуми прогрессияи геометрӣ $150,$ чорумаш $1{,}2$ мебошад. Узви панҷуми прогрессияро ёбед.

7. Узви сеюми прогрессияи геометрии беохир камшавандаро ёбед, агар суммаи он ба $1{,}6$ ва узви дуюмаш ба $-0{,}5$ баробар бошад.

8. Касри даврии беохирро дар шакли касри оддӣ нависед: а) $0{,}2(31);$ б) $0{,}11(3);$ в) $8{,}4(1);$ г) $2{,}(02).$

★ Барои ҳавасмандон

9★. Суммаи се узви прогрессияи геометрӣ $114$ аст. Агар ин се ададро ҳамчун узвҳои прогрессияи арифметикӣ ҳисоб кунем, он гоҳ онҳо мувофиқан узвҳои якум, чорум ва бисту панҷуми он мешаванд. Ин ададҳоро ёбед.

10★. Ададҳои $x,$ $y,$ $z$ бо тартиби навишташуда прогрессияи геометрӣ ва ададҳои $x + y,$ $y + z,$ $z + x$ прогрессияи арифметикиро ташкил медиҳанд. Маҳраҷи прогрессияи геометриро ёбед.

11★. Суммаи прогрессияи беохир камшаванда ба $4$ ва суммаи кубҳои узвҳои ҳамин прогрессия ба $192$ баробар аст. Узви якум ва маҳраҷи ин прогрессияро ёбед.

12★. Суммаро ҳисоб кунед:

а) $S_n = 1 + \dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{3^2} + \ldots + \dfrac{n}{3^{n - 1}};$
б) $S_n = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2;$
в) $S_n = \dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{2^2} + \dfrac{3}{2^3} + \ldots + \dfrac{n}{2^n};$
г) $S_n = 1\cdot 2 + 2\cdot 2^2 + \ldots + n\cdot 2^n.$

13★. Ҳосили зарбро ёбед: $P_n = \dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{5}{4}\cdot\dfrac{17}{16}\cdot\ldots\cdot\dfrac{2^{2^n} + 1}{2^{2^n}}.$

Вазифаи хонагӣ

Машқҳои 5–8.
Машқҳои 9★–13★ — барои онҳое, ки мехоҳанд.

Хулоса

Прогрессия — қонуни додашудаи пайдарпайӣ: арифметикӣ ба «ҷамъ бо $d$ », геометрӣ ба «зарб бо $q$ » меравад; шартҳоро ба муодилаи $a_1,$ $d$ (ё $b_1,$ $q$ ) тартиб диҳед.

Вазифаи онлайн оид ба мавзӯи 28 — дар саҳифаи «Супоришҳо», агар омӯзгор онро супорида бошад.

Дар ин дарс

Ман метавонам формулаҳои $b_n = b_1q^{n - 1}$ ва $S_n$ -и прогрессияи геометриро истифода барам.
Ман метавонам суммаи прогрессияи беохир камшавандаро ( $|q| < 1$ ) ёбам ва касри даврии даҳиро ба сумма нависам.
Ман метавонам барои масъалаҳои омехтаи $a_n$ ва $b_n$ муодила тартиб диҳам.

Такрор (2 дақиқа)

Прогрессияи геометрӣ чист? Маҳраҷи он чӣ?
$b_1 = 3,$ $q = 2:$ $b_4 = ?$
$1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \ldots = ?$ (ҳисоб кунед ё гумон кунед)

Ҷавобҳо

Пайдарпайӣ, ки ҳар узви он бо узви пештара ба $q \ne 0$ зарб мешавад. 2) $3\cdot 8 = 24.$ 3) $2.$

Дар хотир доред

$b_n = b_1q^{n - 1} \qquad b_n^2 = b_{n - 1}b_{n + 1}$ $S_n = \dfrac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} \quad (q \ne 1)$ $S = \dfrac{b_1}{1 - q} \quad (|q| < 1)$

Прогрессияи беохир камшаванда: $|q| < 1.$ Касри даврӣ ҳамчун сумма: $0{,}(45) = 0{,}45 + 0{,}0045 + \ldots = \dfrac{0{,}45}{1 - 0{,}01} = \dfrac{5}{11}.$

Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам?

Чаро формулаи $S = \dfrac{b_1}{1 - q}$ танҳо барои дуруст аст?

худро санҷ1 хол

Прогрессияи геометрӣ 1; −3; 9; −27; … Маҳраҷи он q = .