42–44 · 2/2. Ҷадвали ҳосилаҳо - Алгебра — синфи 10
Ҷадвали ҳосилаҳо
Ҷадвали ҳосилаҳои функсияҳои асосии элементарӣ (c — адад):
| Функсия | Ҳосила |
|---|
| c | 0 |
| x | 1 |
|
навбатӣҲосилаи тартиби олӣ
1 соат
| x | 2x1 |
| x1 | −x21 |
| sinx | cosx |
| cosx | −sinx |
| tgx | cos2x1 |
| ctgx | −sin2x1 |
Агар ба ҷои x функсияи u=u(x) меистад, ҳосилаи дохилиро зарб мекунем:
| Функсияи мураккаб | Ҳосила |
|---|
| un | nun−1⋅u′ |
| u | 2u |
| u1 | −u2u |
| sinu | cosu⋅u′ |
| cosu | −sinu⋅u′ |
| tgu | cos2uu′ |
| ctgu | −sin2uu′ |
| f(kx+b) | kf′(kx+b) |
- (u+v)′=u′+v′;
- (uv)′=u′v+uv′; хусусан (cu)′=cu′;
- (vu)′=v
- (g(f(x)))′=g′(f(x))⋅f
Инчунин xn барои ҳар як адади ҳақиқии n дуруст аст. Аз ин сабаб x=x21 ва x1=x−1 — ҳолатҳои хусусии формулаи nxn−1 мебошанд.
Мисолҳо
Мисоли 1. y=x2cosx. Зарб:
y′=2xcosx+x2⋅(−sinx)=2xcosx−x2sinx.
Мисоли 2. y=xtg(2x+1). Тақсим; дар сурат функсияи мураккаб, (tg(2x+1))′=cos2(2x+1)2:
y′=x2
Мисоли 3. f(x)=x−2sinx бошад, f′(x)>0-ро ҳал мекунем. f′(x)=1−2cosx>0, яъне cosx<21. Ҳал:
3π+2πn<x<3
Дар ин фосилаҳо f меафзояд (ин ба дарси 46 такя мекунад).
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф
1. Ҳосилаи функсияро дар нуқтаҳои x0=0, x0=4π ва x0=3π ёбед:
- а) f(x)=2cosx−3x;
- б) f(x)=x2+2tgx;
- в) f(x)=x−21sin2x;
- г) f(x)=sinx−cosx;
- д) f(x)=2tgx−3x;
- е) f(x)=4x−ctg(4x−2π).
2. Аз қоидаҳои дифференсиронӣ ва ҷадвали ҳосилаҳо истифода бурда ҳосилаи функсияро ёбед:
- а) (x4+1)sinx;
- б) xsinx+31tgx;
- в) tgx−ctgx;
- г) xsin2x+21sin2x−x;
- д) 2ctg2x;
- е) 2x−cos2x;
- ж) 1+sinx1−sinx;
- з) 1−sinx1+cosx;
- и) xsinx−cosx.
3. Агар а) f(x)=3−cosx; б) f(x)=sinx−x бошад, нобаробарии f′(x)>0-ро ва агар в) φ(x)=sin(2x−6π)−2 г) φ(x)=1+2cosx бошад, нобаробарии φ′(x)<0-ро ҳал кунед.
4. Аз ҷадвали ҳосилаҳо истифода бурда, як намуди функсияи f(x)-ро бо формула нависед, агар
- а) f′(x)=3x2−cos2x1;
- б) f′(x)=2x−3cos3x;
- в) f′(x)=3sinx+cosx;
- г) f′(x)=cosx−2x
- д) f′(x)=1+cosx;
- е) f′(x)=2x+cosx бошад.
Дар хона
5. Муодилаи f′(x)=0-ро ҳал кунед, агар
- а) f(x)=3x+2cosx;
- б) f(x)=3x+tgx;
- в) f(x)=cos3x+3sinx;
- г) f(x)=cos2x+3x;
- д) f(x)=2cos2x−2x
- е) f(x)=sin(23π−2x)−x.
6. f(x)=2x+cosx бошад, қимати ифодаи 8f′(4π)+f(4π)+-ро ёбед.
Такрор (дар хона)
7. Ҷадвалро дар дафтар пур кунед: x=−3, −2, −1, 0, 1, 3, 5, 6 барои
- а) y=2x+1;
- б) y=1−x2;
- в) y=x3+1.
8. Мошини боркаш 120 км роҳи ҳамвор ва 232 км роҳи сангфарш тай кард. Дар роҳи сангфарш ронанда суръатро 2 км/соат кам кард. Агар тамоми роҳ дар 6 соат тай карда шуда бошад, суръати аввала чанд аст?
9. Нуқтаи экстремум ва қимати экстремуми функсияро ёбед:
- а) y=2(x−5)2+1;
- б) y=−(x−3)2+5.
10. Бе сохтани график нишон диҳед, ки хати каҷи x2−9y2+4y+1=0 тири OX-ро намебурад.
11. Аз рӯйи решаҳои додашуда муодила тартиб диҳед:
- а) x1=1, x2=−2;
- б) x1=3, x2=−1, x3=1.
12. Дар ифодаи зерин квадрати пурраро ҷудо кунед:
- а) x2−14x+31;
- б) x2+10x−4;
- в) 2x2+8x−3.
- а) 21 сомонӣ 52 дирам ва 2218 дирам;
- б) 42 тонна 318 кг ва 41318 кг;
- в) 6 соату 18 дақиқа ва 378 дақиқа.
14. Диаметри доираеро ёбед, ки масоҳаташ 400π воҳиди квадратӣ аст.
15. Муодилаи f′(x)=0-ро ҳал кунед, агар
- а) f(x)=31x3−4x+81;
- б) f(x)=x3−16x+11.
16. f(x)=x3−3x бошад, дар кадом қиматҳои x ифодаи f′(x)+xf(x)−27 ба 0 баробар мешавад?
Иловагӣ (дар хона)
17. Ҳосилаи функсияро ёбед:
- а) sinx+3tgx;
- б) 2+sinx;
- в) 1+ctgx;
- г) 3cosx(1−sinx);
- д) cosx1+sinx2;
- е) 1+sinx4cosx.
18. Ҳосилаи функсияҳои тригонометриро ёбед:
- а) sin53x+2sin(x+6π);
- б) 2tg(1+x)−3ctg2x;
- в) 5+sin2x;
- г) 3−cos3x;
- д) 1+cosxsin(x+4π);
- е) 1+cos2x2sin2x.
19. Ҳосилаи функсияро дар нуқтаи x0 ёбед:
- а) f(x)=5sinx−2tgx, x0=4π;
- б) f(x)=4x−cos2x, x0=6
- в) f(x)=x3+3ctgx, x0=
- г) f(x)=2−sinx2+sinx, x
20. Муодилаи f′(x)=0-ро ҳал кунед:
- а) f(x)=4cos3x−9cosx;
- б) f(x)=22cos3x−3(1+2)cosx;
- в) f(x)=x−cos2x;
- г) f(x)=−3cosx−x.
21. Нобаробарии f′(x)>0-ро ҳал кунед, агар
- а) f(x)=21x−cosx;
- б) f(x)=2sinx−x
ва нобаробарии φ′(x)<0-ро ҳал кунед, агар
- в) φ(x)=sinx−21x;
- г) φ(x)=4sin(4x−1)+23x.
Вазифаи хонагӣ
- Машқҳои 5 ва 6; такрор: машқҳои 7–16; иловагӣ: машқҳои 17–21 (омӯзгор қисмашро интихоб мекунад).
- Вазифаи хонагии онлайн: «Алгебра 10 · Вазифаи хонагӣ: 42–44. Ҳосилаи функсияҳои тригонометрӣ. Ҷадвали ҳосилаҳо».
Хулоса
- (sinx)′=cosx, (cosx)′=−sinx, (tgx)′=cos2x1, (ctgx)′=−sin2x1.
- [sin(kx+b)]′=kcos(kx+b) ва монанди он барои cos
- Ҷадвал + чор қоида = ҳосилаи ҳар як функсияи элементарӣ ва аз онҳо сохташуда.
- Муодилаи f′(x)=0 ва нобаробарии f′(x)>0 — масъалаи оддии тригонометрӣ, вақте ки ёфта шуд.
Худро санҷед. Ҳар сатрро бо ✓ ё ✗ нишон диҳед:
- Формулаҳои ҳосилаи sin, cos, tg, ctg-ро бе хато менависам.
- Ҳосилаи sin(kx+b)-ро дар ҳолати умумӣ меёбам.
- Қоидаҳои зарб, тақсим ва функсияи мураккабро якҷоя ба кор мебарам.
- Муодилаи f′(x)=0-ро барои функсияи тригонометрӣ ҳал карда метавонам.
Дар ин дарс
- Ман медонам ҷадвали ҳосилаҳои функсияҳои асосӣ ва мураккаб ва чор қоидаи дифференсиронӣ.
- Ман метавонам ҳосилаи ифодаҳои тригонометриро бо якҷоя истифода бурдани қоидаҳо ёбам.
- Ман метавонам муодилаи f′(x)=0 ва нобаробарии f′(x)>0-ро барои функсияҳои тригонометрӣ ҳал кунам.
Такрор (2 дақиқа)
- (sin5x)′, (tgx)′, (x−3)′-ро нависед.
- cosx=21-ро ҳал кунед.
- Ҳосилаи зарб (uv)′ ба чӣ баробар аст?
Ҷавобҳо
- 5cos5x, cos2x1, − 2) 3)
Вазъият барои андешаронӣҲосилаи функсияи y=xcosx-ро ёбед. Кадом қоидаҳо лозим шуданд — аз ҷадвал ва аз рӯйхати қоидаҳо?
Калимаҳои калидӣҷадвали ҳосилаҳоқоидаҳои дифференсиронӣфунксияи мураккабсеканскосеканс
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам?Кадом формулаҳои ҷадвалро бояд бештар машқ кунам? Бо кадом роҳ онҳоро дар хотир нигоҳ медорам?
f(x)=sinx−2x бошад, муодилаи f-ро ҳал кунед.
Як ҷавобро интихоб кунед
y=xcosx-и ҳосилаи он кадом аст?
Як ҷавобро интихоб кунед Функсияро бо ҳосилааш мувофиқ кунед.
Ҳар як унсури чапро бо яке аз рост мувофиқ кунедsin3x
→cos2x
→tg2x
→
→
u′
′
2
u′v−uv′
;
′
(
x
)
.
cos2(2x+1)
2x
−
tg
(
2
x
+
1
)
.
5π
+
2πn,n∈
Z.
x
;
3
;
;
4
π
;
3π;
0
=
2π.
,
tg, ctg. f′
3
x−4
.
x=±3π+2πn. u′v+uv′. ′
(
x
)
=
0
x=±6π+2πn
x=±3π+2πn
x=3π+2πn
x=±3π+πn
cosx−
xsinx
ctg
x