38 · 2/3. Ҳосилаи зарб - Алгебра — синфи 10
Ҳосилаи ҳосили зарб
Санҷиш бо мисол: u(x)=x2 ва v(x)=x1 Тарафи чап: пас Тарафи рост:
Ҳарду бо ҳам мувофиқанд.
навбатӣ38 · 3/3. Ҳосилаи тақсим
1 соат
−
x.
u⋅v=x2(x1−x)=x−x3, (uv)′=1−3x2. u′v+uv′=2x(x1−x)+x2(−x21−1)=2−2x2−1−x2=1−3x2. Исбот (аз рӯйи алгоритм). Афзоиши ҳосили зарбро менависем:
Δ(uv)=u(x0+Δx)v(x0+Δx)−u(x0)v(x0)=(u+Δu)(v+Δv)−uv=vΔu+uΔv+ΔuΔv.
Ба Δx тақсим мекунем:
ΔxΔ(uv)=
Ҳангоми Δx→0: ΔxΔu→u′ ва ΔxΔv→v′. Ҳамчунин Δu→0: функсияи дифференсиронпазир дар нуқта бефосила аст, чунки
Δu=ΔxΔu⋅Δx→u′⋅
Пас ҷамъшавандаи сеюм ба 0⋅v′=0 майл мекунад, ва тарафи рости (6) ба u′v+uv′ майл мекунад. ■
Мисоли 1. Ҳосилаи f(x)=x3(x+2)-ро меёбем. Аз рӯйи (5):
f′(x)=(x3)′(x+
Мисоли 2. Агар f(x)=(3x2+1)(x+1), муодилаи f′(x)=0-ро ҳал мекунем. Аз (5) ва (1), (7):
f′(x)=6x(x+1)+1⋅
Муодилаи (3x+1)2=0 дорои як реша аст — x=−31 (реша бо такрории ду).
Ба ҷои қоида метавон қавсҳоро кушод: (3x2+1)(x+1)=3x3+3x2+x+1, ҳосила 9x2+6x+1. Натиҷа якхела аст; барои ифодаҳои мураккаб қоида қулайтар аст.
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф
1. Ҳосилаи функсияҳоро ёбед:
- а) (x−x3)(x+x3);
- б) (x+11)x;
- в) x3(x+1);
- г) (x2+1)(x−1).
- а) f(x)=(x3−1)(2−x);
- б) f(x)=(x+1)x;
- в) f(x)=(x2−1)(x
- г) f(x)=x+6
бошад, f′(1)-ро ёбед.
Дар хона
3. Муодилаи f′(x)=3x2+17-ро ҳангоми f(x)=(x−1)(x2−5x+6) будан ҳал кунед.
4. Ҳосилаи функсияҳоро ёбед:
- а) (x3−x)(x2+x);
- б) x(x−1);
- в) x(1+x);
- г) x2(x+1).
5. Ҳосилаи функсияҳоро ёбед:
- а) x2x;
- б) x2(x2−2x+4);
- в) x3(x2+1);
- г) (x−1)(x−1).
6. f′(4)-ро ҳангоми
- а) f(x)=3x2⋅x;
- б) f(x)=(x3−1)(x+1)
Вазифаи хонагӣ
- Машқҳои 3–6.
- Барои соати оянда (38 · 3/3) нависед: (x1)′-ро ба воситаи қоидаи 2 барои x⋅x1=1 ёбед.
Дар ин дарс
- Ман медонам қоидаи ҳосилаи зарб (uv)′=u′v+uv′ ва исботи он.
- Ман метавонам ҳосилаи ҳосили зарби ду функсияро бо қоида ва бо кушодани қавсҳо ёбам.
- Ман мефаҳмам, ки чаро (uv)′=u′v′ ва чаро функсияи дифференсиронпазир бефосила аст.
Такрор (2 дақиқа)
- (u+v)′ ба чӣ баробар аст? (c⋅u)′-чӣ?
- (x3+5x)′-ро ёбед.
- (x+2)(x−1)-ро кушоед ва ҳосилаашро ёбед.
Ҷавобҳо
- u′+v′; c⋅u′. 2) 3) ҳосила:
Вазъият барои андешаронӣҲосилаи ҷамъ ба ҷамъи ҳосилаҳо баробар аст. Оё ҳосилаи ҳосили зарб ба ҳосили зарби ҳосилаҳо баробар аст? Санҷед: x⋅x=x2 — ҳосилаи он 2x. Ва x′⋅x′=1⋅1=1. Ин ду фарқ мекунанд. Пас қоидаи дигар лозим аст.
Қоидаи 2 (ҳосилаи зарб)Ҳосилаи ҳосили зарби ду функсия ба суммаи ду ҳосили зарб баробар аст: ҳосилаи функсияи якум зарби функсияи дуюм ва функсияи якум зарби ҳосилаи функсияи дуюм:
(u⋅v)′=u′v+uv′.(5)
Агар u(x) ва v(x) дар нуқтаи x0 ҳосила дошта бошанд, u⋅v низ ҳосила дорад ва (5) ҷой дорад.
Расми 1. Масоҳати росткунҷаи u × v. Ҳангоми афзоиши тарафҳо ба Δu ва Δv масоҳат ба се қисм афзуд: v·Δu, u·Δv ва кунҷи хурд Δu·Δv. Охирин «хеле хурд» аст ва ҳангоми тақсим ба Δx ба нул майл мекунад.НатиҷаАгар v=c=const бошад, аз (c)′=0 ҳосил мекунем:
Зарбшавандаи доимиро ҳамеша аз зери аломати ҳосила баровардан мумкин аст.
Ҳосилаи ҳосили зарби ду функсия ба ҳосили зарби ҳосилаҳои онҳо баробар аст: (uv)' = u'v'.
(x⋅x)′ ба чӣ баробар аст?
Як ҷавобро интихоб кунед Қадамҳои исботи формулаи (uv)′=u′v+uv′-ро ба тартиб гузоред.
Унсурҳоро бо тартиби дуруст ҷойгир кунед2
3
4
5
Δ
x
Δu
⋅
v+
u⋅
ΔxΔv+
Δu⋅
ΔxΔv.(6)
0
=
0.
2
)
+
x3⋅
(
3
x2
+
1)=
6x2+
6x+
3x2+
1=
9x2+
6x+
1=
(3x+
1)2.
+
1
)
;
3x2+5.
x2+x−2, (c⋅u)′=(c)′⋅u+c⋅u′=c⋅u′.(7)
3
)
.
x
23x
2x1
2xx
(uv)′=u′v+uv′
Ба Δx тақсим мекунем: ΔxΔ(uv)=ΔxΔuv+uΔxΔv+ΔuΔxΔv
u(x0+Δx)=u+Δu ва v(x0+Δx)=v+Δv гузошта, қавсҳоро мекушоем: Δ(uv)=vΔu+uΔv+ΔuΔv
Ҳангоми Δx→0: ΔxΔu→u′, ΔxΔv→v′ ва Δu→0
Афзоиши ҳосили зарбро менависем: Δ(uv)=u(x0+Δx)v(x0+Δx)−u(x0)v(x0)