38 · 3/3. Ҳосилаи тақсим - Алгебра — синфи 10
Ҳосилаи тақсим
Санҷиш. Агар u=1, v=x, пас ( — ин формулаи пештара аст.
навбатӣ39–40. Ҳосилаи функсияи дараҷагӣ ва функсияҳои ратсионалӣ
1 соат
x
1
)
′
=
x20⋅x−1⋅1=
−x21
Исбот. Аввал (v1)′-ро аз рӯйи алгоритм меёбем.
- Афзоиш: Δ(v1)=v(x0+Δx)1−v(x0)1=v(x0)v(x0+Δx)v(x0)−v(xv(v+Δv)−Δv.
- Нисбат: ΔxΔ(1/v)=−ΔxΔ
- Ҳангоми Δx→0: ΔxΔv→v′ ва (функсияи дифференсиронпазир бефосила аст), пас ва
(v1)′=−v2v′.(9) Акнун vu=u⋅v1-ро аз рӯйи қоидаи зарб дифференсирон мекунем:
(vu)′=u′⋅v
Ҳолати хусусӣ: агар u=c=const, пас u′=0 ва
(vc)′=−v2cv′.(10)
Ҳангоми c=1 — формулаи (9).
Мисоли 1. Ҳосилаи функсияҳоро ва қимати онҳоро дар нуқтаи x=4 меёбем.
а) f(x)=x+x21. f′(x)=1−x32, f′(4)=1−642=32
б) f(x)=x−x3. f′(x)=2x1−3 f′(4)=41−48=−
в) f(x)=(2x+1)x. Аз рӯйи қоидаи зарб: f′(x)=2x+(2x+1)⋅ f′(4)=425.
г) f(x)=x2+1x3−4. Аз рӯйи (8):
f′(x)=(x2+1)23x2
Мисоли 2. Барои f(x)=x+5x2 муайян мекунем, ки дар кадом нуқтаҳо а) f′(x)>0; б) f′(x)<0 (x=−5).
Аз (8):
f′(x)=(x+5)22x(x+5)−1⋅x2=(x+5)2x2+10x.
Ҳангоми x=−5 махраҷ мусбат аст, аломати касрро сураташ — x(x+10) — муайян мекунад. Бо усули фосилаҳо: нуқтаҳои −10 ва 0 (ва −5 — аз соҳаи муайяншавӣ мебарояд):
а) f′(x)>0 ҳангоми x∈(−∞; −10)∪(0; +∞);
б) f′(x)<0 ҳангоми x∈(−10; −5)∪(−5; 0).
Мисоли 3. Ақаллан як формулаи функсияеро менависем, ки ҳосилааш ба а) −9; б) 2x+5; в) 1+2x1 баробар бошад. Аз ҷадвали ҳосилаҳо ва қоидаҳо: а) −9x (зеро (kx)′=k); б) x2+5x; в) x+x. Дар ҳар як ҳолат ба функсия доимӣ илова кардан мумкин аст: ҳосилаи доимӣ нул аст.
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф
1. Ҳосилаи функсияро ёбед:
- а) x+32x+5;
- б) 2x+15−3x;
- в) 3x−102x.
2. Ҳосилаи функсияҳоро ёбед:
- а) x+1x2+3x−5;
- б) x2+1x;
- в) x2−1x;
- г) xx2−4.
3. Барои кадом қиматҳои x ҳосилаи функсияи f(x)=x+12x−1 ба 3 баробар мешавад?
4. Барои кадом қиматҳои x ҳосилаи функсияи
- а) f(x)=3x3−9x;
- б) f(x)=(2x−1)(x−5);
- в) f(x)=1−3x1−3x2
5. Ақаллан формулаи як функсияеро нависед, ки барояш ҳосила ба
- а) 3;
- б) 3x+2;
- в) 3x2−2;
- г) 5−x22
Дар хона
- а) f(x)=x2+1x2−1;
- б) f(x)=3x−12x2;
- в) f(x)=xx−1;
- г) f(x)=xx+1
бошад, f′(2)-ро ёбед.
7. Барои кадом қиматҳои x ҳосилаи функсияи
- а) f(x)=7x2−28x+11;
- б) f(x)=(x−1)x;
- в) f(x)=1−3x3x2
8. Ҳисоб кунед: 0,364:257+165:0,125+2,5⋅0,8.
9. Қимати ададии ифодаи ab2+b3-ро ҳангоми a=10,7 ва b=−0,7 ёбед.
10. Муодилаҳоро ҳал кунед:
- а) (3x+4)2+3(x−2)=46;
- б) 2(1−1,5x)+2(x−2)2=1;
- в) x−2x2−x−2x
- г) (x+6)212+x+6x
11. Системаи муодилаҳоро ҳал кунед:
- а) ⎩⎨⎧x1+y1=23,x21+y21=4
- б) ⎩⎨⎧
12. Координатаҳои қуллаи параболаро ёбед:
- а) y=x2−10x+15;
- б) y=2x2−5x+3.
13. Аъзои якум ва фарқи прогрессияи арифметикиро ҳангоми S7=−35 ва S42=−1680 будан ёбед.
14. Аз фурудгоҳ дар як вақт ба самти муайяншуда, ки масофааш 1600 км аст, ду ҳавопаймо парвоз мекунанд. Суръати ҳавопаймои якум назар ба дуюм 80 км/соат зиёд аст, бинобар ин вай ба ҷойи муайяншуда як соат пештар омада мерасад. Суръати парвози ҳавопаймоҳоро муайян кунед.
15. Нишон диҳед, ки функсияи
- а) y=2x+7;
- б) y=5x2−10x
дар тамоми (−∞; +∞) бефосила аст.
16. Ҳосилаи функсияро ёбед:
- а) x+1x−1;
- б) x2+x+1x2+1;
- в) x2−x+2x
- г) x2−3x+2x3.
17. Ҳосилаи функсияро ёбед:
- а) x+13x2;
- б) x3x+11;
- в) x27;
- г) x33.
18. f′(1)-ро ҳангоми
- а) f(x)=x2+1x2−1−111;
- б) f(x)=1−7x2x2+3
Вазифаи хонагӣ
- Машқҳои 6–18.
- Вазифаи хонагии онлайн: «Алгебра 10 · Вазифаи хонагӣ: 38. Ҳосилаи сумма, зарб ва тақсим» (барои ҳар се соати мавзӯъ).
Хулоса
- (u±v)′=u′±v′, (cu)′=cu′.
- (uv)′=u′v+uv′.
- (vu)′=v
- Аломати ҳосила — бо усули фосилаҳо: махраҷи (v2) ҳамеша ≥0, аломатро сурат муайян мекунад.
- Функсияи дифференсиронпазир дар нуқта бефосила аст.
Дар ин дарс
- Ман медонам қоидаи ҳосилаи тақсим (vu)′=v2u′v−uv′ ва исботи он.
- Ман метавонам ҳосилаи касрро ёбам, нуқтаҳоеро, ки дар онҳо f′(x)>0 ё f′(x)<0 аст, бо усули фосилаҳо муайян кунам.
- Ман метавонам аз рӯйи ҳосила функсияи мувофиқро ёфтан ва қоидаҳои дифференсиронии сумма, зарб ва тақсимро якҷоя истифода барам.
Такрор (2 дақиқа)
- (u⋅v)′ ба чӣ баробар аст?
- Ҳосилаи f(x)=(x+1)(x2−3)-ро ёбед.
- Муодилаи x2+10x=0-ро ҳал кунед.
Ҷавобҳо
- u′v+uv′. 2) 1⋅(x 3) ё
Вазъият барои андешаронӣҲосилаи ҷамъ ва зарбро медонем. Чӣ тавр ҳосилаи x+5x2-ро ёфтан мумкин аст? Метавон онро ҳамчун зарби x2⋅x+51 дид — вале ҳосилаи x+51-ро ҳам бояд донист. Аввал ҳосилаи v1-ро меёбем.
Қоидаи 3 (ҳосилаи тақсим)Ҳосилаи тақсими ду функсия ба касре баробар аст, ки махраҷаш квадрати махраҷи касри додашуда ва сураташ фарқи ҳосили зарби ҳосилаи сурат бар махраҷ ва ҳосили зарби сурат бар ҳосилаи махраҷ аст:
(vu)′=v2u′v−uv′.(8)
Агар u ва v дар нуқтаи x0 ҳосила дошта бошанд ва v(x0)=0, пас vu низ дар ин нуқта ҳосила дорад ва (8) ҷой дорад.
Калимаҳои калидӣҳосилаи суммаҳосилаи зарбҳосилаи тақсимзарбшавандаи доимӣусули фосилаҳо
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам?Ман метавонам:
- ✓ / ✗ се қоидаи дифференсиронии сумма, зарб ва тақсимро нависам;
- ✓ / ✗ исботи қоидаи зарбро шарҳ диҳам (чаро Δu→0);
- ✓ / ✗ ҳосилаи касрро ёбам ва қимати онро дар нуқта ҳисоб кунам;
- ✓ / ✗ нуқтаҳоеро ёбам, ки дар онҳо f′(x)>0 ё аст;
(x21)′ ба чӣ баробар аст?
Як ҷавобро интихоб кунед Дар қоидаи (vu)′=v ба ҷои нуқтаҳо чӣ лозим аст?
Як ҷавобро интихоб кунед
Барои f(x)=x−1x ҳосила дар кадом нуқтаҳо манфӣ аст?
Як ҷавобро интихоб кунед Кадом функсия ҳосилаи 2x+5 дорад?
Як ҷавобро интихоб кунед 0
+
Δ
x
)
=
v
⋅
v(v+Δv)1.
Δv→0
v+Δv→v=0 1
+
u⋅
(−v2v′)=
v2u′v−uv′.■
31
.
x
2
,
4
191
.
1
=
(
x2
+
1
)
−
2
x
(x3−4)
=
(x2+1)2x4+3x2+8x,f′(4)=
289256+48+32=
289336.
+
2
=
4;
=
1.
5
;
x1+y1=31,
x21−y21=34.
;
2
u′v−uv′
(v1)′=−v2v′. 2
−
3)+
(x+
1)⋅
2x=
3x2+
2x−
3.
✓ / ✗ аз рӯйи ҳосила як функсияи мувофиқро нависам.+
1
.
x32
2
u′v−…
x
<
0
2
+
5x