33 · 1/2. Атрофи нуқта. Афзоиши аргумент ва функсия - Алгебра — синфи 10
Атрофи нуқта
Ин мафҳум дар ҳамаи мавзӯъҳои минбаъда лозим мешавад.
Масалан, барои δ = 0,1 \delta = 0{,}1 δ = 0 , 1 a = 2 a = 2 a = 2 ∣ x − 2 ∣ < 0,1 \lvert x - 2 \rvert < 0{,}1 ∣ x − 2 ∣ < 0 , 1 − 0,1 < x − 2 < 0,1 , -0{,}1 < x - 2 < 0{,}1,
навбатӣ 33 · 2/2. Маънои геометрӣ ва механикии нисбати Δy/Δx 1 соат
− 0 , 1 < x − 2 < 0 , 1 ,
1,9 < x < 2,1 1{,}9 < x < 2{,}1 1 , 9 < x < 2 , 1 Баъзан атроф гуфта ҳар фосилаи ( α ; β ) (\alpha;\ \beta) ( α ; β ) a a a δ \delta δ
Афзоиши аргумент ва афзоиши функсия Бигзор y = f ( x ) y = f(x) y = f ( x ) x 0 x_0 x 0 f ( x 0 ) f(x_0) f ( x 0 ) f ( x ) f(x) f ( x ) x − x 0 x - x_0 x − x 0
Аз (1) ҳосил мешавад f ( x ) = f ( x 0 + Δ x ) = f ( x 0 ) + Δ f . f(x) = f(x_0 + \Delta x) = f(x_0) + \Delta f. f ( x ) = f ( x 0 + Δ x ) = f ( x 0 ) + Δ f . манфӣ ҳам бошад: агар x < x 0 , x < x_0, x < x 0 , Δ x < 0 ; \Delta x < 0; Δ x < 0 ; Δ f < 0. \Delta f < 0. Δ f < 0.
Формулаи (1) нишон медиҳад: Δ f \Delta f Δ f x 0 x_0 x 0 Δ x . \Delta x. Δ x . x 0 x_0 x 0 Δ f \Delta f Δ f функсияи Δ x \Delta x Δ x
Мисоли 1. Барои f ( x ) = x 3 − 1 f(x) = x^3 - 1 f ( x ) = x 3 − 1 x 0 = 3 x_0 = 3 x 0 = 3 Δ x \Delta x Δ x Δ f \Delta f Δ f x = 2,9 ; x = 2{,}9; x = 2 , 9 ; x = 3,1 x = 3{,}1 x = 3 , 1 f ( 3 ) = 27 − 1 = 26. f(3) = 27 - 1 = 26. f ( 3 ) = 27 − 1 = 26.
а) Δ x = 2,9 − 3 = − 0,1 ; \Delta x = 2{,}9 - 3 = -0{,}1; Δ x = 2 , 9 − 3 = − 0 , 1 ; f ( 2,9 ) = 24,389 − 1 = 23,389 ; f(2{,}9) = 24{,}389 - 1 = 23{,}389; f ( 2 , 9 ) = 24 , 389 − 1 = 23 , 389 ; Δ f = 23,389 − 26 = − 2,611. \Delta f = 23{,}389 - 26 = -2{,}611. Δ f = 23 , 389 − 26 = − 2 , 611.
б) Δ x = 3,1 − 3 = 0,1 ; \Delta x = 3{,}1 - 3 = 0{,}1; Δ x = 3 , 1 − 3 = 0 , 1 ; f ( 3,1 ) = 29,791 − 1 = 28,791 ; f(3{,}1) = 29{,}791 - 1 = 28{,}791; f ( 3 , 1 ) = 29 , 791 − 1 = 28 , 791 ; Δ f = 28,791 − 26 = 2,791. \Delta f = 28{,}791 - 26 = 2{,}791. Δ f = 28 , 791 − 26 = 2 , 791.
Мисоли 2. Барои y = x 2 − x y = x^2 - x y = x 2 − x Δ y \Delta y Δ y x 0 = 2 x_0 = 2 x 0 = 2 x = 2 + Δ x , x = 2 + \Delta x, x = 2 + Δ x ,
Δ y = f ( 2 + Δ x ) − f ( 2 ) = [ ( 2 + Δ x ) 2 − ( 2 + Δ x ) ] − ( 2 2 − 2 ) = = 4 + 4 Δ x + ( Δ x ) 2 − 2 − Δ x − 2 = 3 Δ x + ( Δ x ) 2 . \begin{aligned} \Delta y &= f(2 + \Delta x) - f(2) = \left[(2 + \Delta x)^2 - (2 + \Delta x)\right] - (2^2 - 2) = \\ &= 4 + 4\Delta x + (\Delta x)^2 - 2 - \Delta x - 2 = 3\Delta x + (\Delta x)^2. \end{aligned} Δ y = f ( 2 + Δ x ) − f ( 2 ) = [ ( 2 + Δ x ) 2 − ( 2 + Δ x ) ] − ( 2 2 − Мисоли 3. Теғаи куб ба 2 a 2a 2 a Δ x \Delta x Δ x x = 2 a + Δ x , x = 2a + \Delta x, x = 2 a + Δ x , V ( x ) = x 3 : V(x) = x^3: V ( x ) = x 3 :
Δ V = ( 2 a + Δ x ) 3 − ( 2 a ) 3 = Δ x [ ( 2 a + Δ x ) 2 + ( 2 a + Δ x ) ⋅ 2 a + ( 2 a ) 2 ] = = Δ x [ 4 a 2 + 4 a Δ x + ( Δ x ) 2 + 4 a 2 + 2 a Δ x + 4 a 2 ] = = 12 a 2 Δ x + 6 a ( Δ x ) 2 + ( Δ x ) 3 . \begin{aligned} \Delta V &= (2a + \Delta x)^3 - (2a)^3 = \Delta x\left[(2a + \Delta x)^2 + (2a + \Delta x)\cdot 2a + (2a)^2\right] = \\ &= \Delta x\left[4a^2 + 4a\Delta x + (\Delta x)^2 + 4a^2 + 2a\Delta x + 4a^2\right] = \\ &= 12a^2\,\Delta x + 6a\,(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3. \end{aligned} Δ V = ( 2 a + Δ x ) 3 − ( 2 a ) 3 = Δ x [ ( 2 a + Мисоли 4. Афзоиши y = x y = \sqrt{x} y = x x 0 x_0 x 0 x 0 ≥ 0 x_0 \ge 0 x 0 ≥ 0 x 0 x_0 x 0 Δ x \Delta x Δ x
Δ y = x 0 + Δ x − x 0 = ( x 0 + Δ x − x 0 ) ( x 0 + Δ x + x 0 ) x 0 + Δ x + x 0 = Δ x x 0 + Δ x + x 0 . \Delta y = \sqrt{x_0 + \Delta x} - \sqrt{x_0} = \frac{\left(\sqrt{x_0 + \Delta x} - \sqrt{x_0}\right)\left(\sqrt{x_0 + \Delta x} + \sqrt{x_0}\right)}{\sqrt{x_0 + \Delta x} + \sqrt{x_0}} = \frac{\Delta x}{\sqrt{x_0 + \Delta x} + \sqrt{x_0}}. Δ y = x 0 + Δ x − x 0 = x 0 + Δ x + x 0 x 0 + Δ x + x 0 Мисолҳои 2–4 нишон медиҳанд, ки Δ f \Delta f Δ f Δ x \Delta x Δ x Δ x → 0 \Delta x \to 0 Δ x → 0 (3 Δ x 3\Delta x 3Δ x ва ( Δ x ) 2 (\Delta x)^2 ( Δ x ) 2
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф 1. δ \delta δ x = a x = a x = a
а) δ = 0,02 , \delta = 0{,}02, δ = 0 , 02 , a = 3 ; a = 3; a = 3 ;
б) δ = 0,5 , \delta = 0{,}5, δ = 0 , 5 , a = 2 ; a = 2; a = 2 ;
в) δ = 0,01 , \delta = 0{,}01, δ = 0 , 01 , a = 4 ; a = 4; a = 4 ;
г) δ = 0,3 , \delta = 0{,}3, δ = 0 , 3 , a = − 1. a = -1. a = − 1.
2. Барои функсияи y = 2 x − 3 y = 2x - 3 y = 2 x − 3 x x x Δ y \Delta y Δ y
а) x 0 = 1 , x_0 = 1, x 0 = 1 , Δ x = 0,1 ; \Delta x = 0{,}1; Δ x = 0 , 1 ;
б) x 0 = 2 , x_0 = 2, x 0 = 2 , Δ x = 0,01 ; \Delta x = 0{,}01; Δ x = 0 , 01 ;
в) x 0 = 3 , x_0 = 3, x 0 = 3 , Δ x = 0,02 ; \Delta x = 0{,}02; Δ x = 0 , 02 ;
г) x 0 = 4 , x_0 = 4, x 0 = 4 , Δ x = 0,03 ; \Delta x = 0{,}03; Δ x = 0 , 03 ;
д) x 0 = 4 , x_0 = 4, x 0 = 4 , Δ x = 0,12 ; \Delta x = 0{,}12; Δ x = 0 , 12 ;
е) x 0 = 5 , x_0 = 5, x 0 = 5 , Δ x = 0,02. \Delta x = 0{,}02. Δ x = 0 , 02.
3. Барои функсияи y = 1 x y = \dfrac{1}{x} y = x 1 Δ y \Delta y Δ y
а) x 0 = 6 , x_0 = 6, x 0 = 6 , Δ x = 0,01 ; \Delta x = 0{,}01; Δ x = 0 , 01 ;
б) x 0 = 7 , x_0 = 7, x 0 = 7 , Δ x = 0,02 ; \Delta x = 0{,}02; Δ x = 0 , 02 ;
в) x 0 = 2 , x_0 = 2, x 0 = 2 , Δ x = 0,04 ; \Delta x = 0{,}04; Δ x = 0 , 04 ;
г) x 0 = 4 , x_0 = 4, x 0 = 4 , Δ x = 0,2 ; \Delta x = 0{,}2; Δ x = 0 , 2 ;
ғ) x 0 = 5 , x_0 = 5, x 0 = 5 , Δ x = 0,25 ; \Delta x = 0{,}25; Δ x = 0 , 25 ;
д) x 0 = 3 , x_0 = 3, x 0 = 3 , Δ x = 0,025 ; \Delta x = 0{,}025; Δ x = 0 , 025 ;
е) x 0 = 6 , x_0 = 6, x 0 = 6 , Δ x = − 0,01 ; \Delta x = -0{,}01; Δ x = − 0 , 01 ;
ё) x 0 = 3 , x_0 = 3, x 0 = 3 , Δ x = − 0,025. \Delta x = -0{,}025. Δ x = − 0 , 025.
4. Афзоиши Δ y \Delta y Δ y x 0 x_0 x 0 x 0 x_0 x 0 Δ x \Delta x Δ x
а) y = 2 x − 7 ; y = 2x - 7; y = 2 x − 7 ;
б) y = x 2 ; y = \dfrac{\sqrt{x}}{2}; y = 2 x ;
в) y = 1 − x 2 ; y = 1 - x^2; y = 1 − x 2 ;
г) y = 2 x − x 2 ; y = 2x - x^2; y = 2 x − x 2 ;
ғ) y = x 2 − 4 x − 3 ; y = x^2 - 4x - 3; y = x 2 − 4 x − 3 ;
д) y = 2 x 3 − x ; y = 2x^3 - x; y = 2 x 3 − x ;
е) y = x 3 − 1 ; y = x^3 - 1; y = x 3 − 1 ;
ё) y = x 2 + 1. y = x^2 + 1. y = x 2 + 1.
5. Тарафҳои росткунҷа 16 16 16 22 22 22 0,1 0{,}1 0 , 1 0,2 0{,}2 0 , 2
6. Теғаи куб x 0 x_0 x 0 Δ x \Delta x Δ x
а) x 0 = 2 , x_0 = 2, x 0 = 2 , Δ x = 0,2 ; \Delta x = 0{,}2; Δ x = 0 , 2 ;
б) x 0 = 3 , x_0 = 3, x 0 = 3 , Δ x = 0,01. \Delta x = 0{,}01. Δ x = 0 , 01.
Дар хона 7. Афзоиши Δ y \Delta y Δ y Δ x \Delta x Δ x y = x 2 y = x^2 y = x 2
а) x = 2,1 , x = 2{,}1, x = 2 , 1 , x 0 = 2 ; x_0 = 2; x 0 = 2 ;
б) x = 2,6 , x = 2{,}6, x = 2 , 6 , x 0 = 3 ; x_0 = 3; x 0 = 3 ;
в) x = 3 , x = 3, x = 3 , x 0 = 2,8 ; x_0 = 2{,}8; x 0 = 2 , 8 ;
г) x = − 2,6 , x = -2{,}6, x = − 2 , 6 , x 0 = − 2,5 ; x_0 = -2{,}5; x 0 = − 2 , 5 ;
ғ) x = 4,1 , x = 4{,}1, x = 4 , 1 , x 0 = 4 ; x_0 = 4; x 0 = 4 ;
д) x = 9,3 , x = 9{,}3, x = 9 , 3 , x 0 = 9. x_0 = 9. x 0 = 9.
а) f ( x ) = x ; f(x) = x; f ( x ) = x ;
б) f ( x ) = x 2 ; f(x) = x^2; f ( x ) = x 2 ;
в) f ( x ) = a x + b ; f(x) = ax + b; f ( x ) = a x + b ;
г) f ( x ) = a x 2 + b x + c ; f(x) = ax^2 + bx + c; f ( x ) = a x 2 + b x + c ;
ғ) f ( x ) = x 3 f(x) = x^3 f ( x ) = x 3
бошад, f ( x 0 + Δ x ) , f(x_0 + \Delta x), f ( x 0 + Δ x ) , Δ y \Delta y Δ y Δ y Δ x \dfrac{\Delta y}{\Delta x} Δ x Δ y
9. Куби теғааш x x x Δ x \Delta x Δ x
а) x = 1 , x = 1, x = 1 , Δ x = 0,1 ; \Delta x = 0{,}1; Δ x = 0 , 1 ;
б) x = 2 , x = 2, x = 2 , Δ x = 0,2 \Delta x = 0{,}2 Δ x = 0 , 2
шудан ҳаҷми он ба чӣ баробар мешавад?
Вазифаи хонагӣ
Машқҳои 7, 8, 9.
Барои соати оянда (33 · 2/2 ) нависед: чӣ маъно дорад нисбати Δ y Δ x \dfrac{\Delta y}{\Delta x} Δ x Δ y
Дар ин дарс
Ман медонам , ки δ \delta δ ∣ x − a ∣ < δ \lvert x - a \rvert < \delta ∣ x − a ∣ < δ Ман метавонам афзоиши аргумент Δ x \Delta x Δ x Δ f \Delta f Δ f Δ y \Delta y Δ y Ман мефаҳмам , ки чаро ба мо на худи қимати функсия, балки тағйирёбии он муҳим аст. Такрор (2 дақиқа)
Нобаробарии ∣ x − 2 ∣ < 0,1 \lvert x - 2 \rvert < 0{,}1 ∣ x − 2 ∣ < 0 , 1 … < x < … \ldots < x < \ldots … < x < …
Барои f ( x ) = x 2 − 1 f(x) = x^2 - 1 f ( x ) = x 2 − 1 f ( 3 ) f(3) f ( 3 ) f ( 3,1 ) f(3{,}1) f ( 3 , 1 )
Қавсҳоро кушоед: ( 2 + h ) 2 . (2 + h)^2. ( 2 + h ) 2 .
Ҷавобҳо
1,9 < x < 2,1. 1{,}9 < x < 2{,}1. 1 , 9 < x < 2 , 1. f ( 3 ) = 8 , f(3) = 8, f ( 3 ) = 8 , f ( 3,1 ) = 9,61 − 1 = 8,61. f(3{,}1) = 9{,}61 - 1 = 8{,}61. f ( 3 , 1 ) = Вазъият барои андешаронӣ Фанар дар зина ё мошин дар роҳ: мо одатан на «дар куҷо будани»-ро, балки «чӣ қадар тағйир ёфт»-ро мепурсем. Қувваи пружина ба дароз шудани он мутаносиб аст (қонуни Гук); корро тағйирёбии энергия муайян мекунад; суръати миёна — тағйирёбии масофа дар як давраи вақт. Чӣ тавр метавон «тағйирёбӣ»-ро бо рамзҳои математикӣ навишт?
Таъриф Бигзор a a a δ \delta δ ( a − δ ; a + δ ) (a - \delta;\ a + \delta) ( a − δ ; a + δ ) δ \delta δ a a a a a a δ \delta δ x x x
∣ x − a ∣ < δ . \lvert x - a \rvert < \delta. ∣ x − a ∣ < δ . Расми 1. Атрофи нуқтаи 2 бо радиуси 0,1: фосилаи (1,9; 2,1). Нуқтаҳои канорӣ ба атроф дохил намешаванд. Таъриф Фарқи x − x 0 x - x_0 x − x 0 афзоиши аргумент меноманд ва бо Δ x \Delta x Δ x
Δ x = x − x 0 , x = x 0 + Δ x . \Delta x = x - x_0, \qquad x = x_0 + \Delta x. Δ x = x
Расми 2. Аз нуқтаи A ба нуқтаи B гузашта, аргумент ба Δx ва функсия ба Δy тағйир меёбад. Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам? Бо суханони худ шарҳ диҳед: чаро Δ f \Delta f Δ f Δ x \Delta x Δ x Δ x \Delta x Δ x
Афзоиши аргумент Δ x \Delta x Δ x
Барои y = x 2 y = x^2 y = x 2 Δ y \Delta y Δ y x 0 x_0 x 0
Як ҷавобро интихоб кунед A ( Δ x ) 2 (\Delta x)^2
B C D 2
)
=
= 4 + 4Δ x + ( Δ x ) 2 − 2 − Δ x − 2 = 3Δ x + ( Δ x ) 2 .
Δ
x
) 2
+
(
2
a
+
Δ
x
)
⋅
2
a
+
(
2
a
) 2
]
=
= Δ x [ 4 a 2 + 4 a Δ x + ( Δ x ) 2 + 4 a 2 + 2 a Δ x + 4 a 2 ] =
= 12 a 2 Δ x + 6 a ( Δ x ) 2 + ( Δ x ) 3 .
( x 0 + Δ x − x 0 ) ( x 0 + Δ x + x 0
=
Δ x
.
9
,
61
−
1 =
8 , 61.
4 + 4 h + h 2 . 4 + 4h + h^2. 4 + 4 h + h 2 . −
x 0 , x =
x 0 +
Δ x .
f ( x ) − f ( x 0 ) f(x) - f(x_0) f ( x ) − f ( x 0 ) афзоиши функсия
Δ f = f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) . ( 1 ) \Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0). \qquad (1) Δ f = f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) . ( 1 ) x = 0,1 \Delta x = 0{,}1 Δ x = 0 , 1
(
Δ
x
) 2
x 0 Δ x + ( Δ x ) 2 x_0\,\Delta x + (\Delta x)^2 x 0 Δ x + ( Δ x ) 2
2 x 0 Δ x + ( Δ x ) 2 2x_0\,\Delta x + (\Delta x)^2 2 x 0 Δ x + ( Δ x ) 2
2 x 0 + Δ x 2x_0 + \Delta x 2 x 0 + Δ x
)
