36–37 · 2/2. Ҳосилаи 1/x ва √x. Маънои геометрии ҳосила - Алгебра — синфи 10
Ҳосилаи x1 ва x
4) Бигзор Он гоҳ
Ҳангоми ва пас Азбаски дилхоҳ дар соҳаи муайяншавӣ аст, дар ҳамин соҳа
навбатӣТакрор ва санҷиш: фаслҳои 33–37 · 1/3. Лимит, бефосилагӣ ва таърифи ҳосила
1 соат
f(x)=x1,
Δf=x0+Δx1−x01=−x0(x0+Δx)Δx,Δx−x0(x0+Δx)1. x0+Δx→x0 x0(x0+Δx)→x02, ΔxΔf→−x021. (−∞; 0)∪(0; +∞) (x1)′=−x21. 5) f(x)=x, x≥0. Бигзор x0>0. Афзоишро ба ҳамроҳаш зарб ва тақсим мекунем:
Δf=x0
Пас ΔxΔf=x0 Ҳангоми Δx→0: x0+Δx→x махраҷ ба 2x0 майл мекунад ва
(x)′=
Дар x0=0 ҳосила нест: ΔxΔf=Δx беҳад калон мешавад.
Натиҷаҳои дифференсирониро барои функсияҳои асосӣ дар як ҷадвал меорем:
| f(x) | f′(x) |
|---|
| c | 0 |
| x | 1 |
| x2 | 2x |
| x3 | 3x2 |
| kx+b | k |
| x | 2x |
| x1 | −x21 |
Хулоса: суръати миёнаи тағйирёбии функсия дар порчаи [x0; x0+Δx] — ΔxΔf; ҳангоми Δx→0 он ба f′(x0) майл мекунад. Яъне f′(x0) — суръати лаҳзагии тағйирёбии функсия дар нуқтаи x0.
Маънои геометрии ҳосила: хатти расанда
Расандаро ҳамчун лимити хатҳои буранда таъриф мекунем. Нуқтаи A(x0; f(x0))-ро собит мегирем ва нуқтаи B(x0+Δx; f(x0+Δx))-ро дар график ба A наздик мекунем. Хатти буранда AB давр мезанад ва ба хати рости муайян наздик мешавад.
Коэффитсиенти кунҷии хати буранда ΔxΔf аст, пас коэффитсиенти кунҷии расанда ба лимити он баробар, яъне ба ҳосила аст:
Мисоли 1. Муодилаи расандаро ба графики y=x2 дар нуқтаи x0=1 менависем. f(1)=1, f′(x)=2x, f′(1)=2. Пас
y=1+2(x−1)=2x−1.
Тафтиш: x2=2x−1⟺(x−1)2=0 — бо парабола танҳо як нуқтаи умумӣ x=1.
Мисоли 2. Муодилаи расандаро ба графики y=x дар нуқтаи x0=4 менависем. f(4)=2, f′(x)=2x f′(4)=41. Пас
y=2+41(x−4)=4
Ҳосила вуҷуд надорад. Агар лимити ΔxΔf вуҷуд надошта бошад, расанда нест. Масалан, f(x)=∣x∣ дар x0=0: ΔxΔf=Δx∣Δx∣=1 барои Δx>0 ва −1 барои Δx<0. Лимит нест, график дар 0 «кунҷ» дорад, расанда нест.
Бо дасти худ кӯшиш кунед
Хати буранда ва хатти расандасанҷида бин! Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф
1. Аз алгоритми ёфтани ҳосилаҳо истифода бурда, ҳосилаи функсияро ёбед:
- а) φ(x)=x3+x;
- б) φ(x)=x−x2;
- в) g(x)=x−3x.
2. Агар а) f(x)=x2; б) f(x)=x бошад, он гоҳ дар кадом қиматҳои x ҳосилаи функсияи f(x) ба 2 баробар аст?
3. Маълум, ки а) f(x)=x3 ва б) f(x)=x1 аст. Дар кадом қиматҳои x баробарии f′(x)=3f(x) ҷой дорад?
4. Муодилаи расандаро ба графики функсия дар нуқтаи додашуда нависед:
- а) y=x2, x0=3;
- б) y=x3, x0=1;
- в) y=x, x0=
- а) f(x)=∣x∣+1 дар нуқтаи x=0;
- б) f(x)=∣x2−x∣ дар нуқтаҳои x=0 ва x=1
Дар хона
6. Аз ҷадвали ҳосилаҳо истифода бурда, қимати ҳосилаи функсияро дар нуқтаҳои нишондодашуда ёбед:
- а) f(x)=ax+b (a, b — доимӣ): f′(100), f′(−11);
- б) f(x)=x: f′(
- в) φ(x)=x1: φ′(−3),
- г) g(x)=x3: g′(6), g
7. Нишон диҳед, ки ҳосилаи функсияҳои
- а) 7x−1;
- б) 5x2;
- в) 1−x2
дар тамоми (−∞; +∞) бефосилаанд.
- а) (8x2+10x−3):(2x+3);
- б) (x4+4):(x2+2x+4);
- в) (x5+2x3−x2−2):(x
- г) (3x3+x2−9x−3):(3x+1).
9. Кадоме аз функсияҳои зерин ҷуфт ва кадомаш тоқ аст:
- а) y=x4+2x2+9;
- б) y=x3+2x;
- в) y=x33+3x
- г) y=x4+2∣x∣.
10. Ифодаро содда карда, қимати ададии онро ёбед:
- а) sin(23π−α)+cos(2π+α), агар cosα=41;
- б) cos(2π+α)+cos(2 агар
- а) 2sin(2π−α)⋅cos(2π−α);
- б) sin2(α−2π
12. Суммаи шаст аъзои аввали пайдарпаии ададҳои натуралии ҷуфтро ёбед.
13. Муодилаҳоро ҳал кунед:
- а) x3+2x2−5x−6=0;
- б) (2x+1)(x3+1)+x2=2x(x3+3)−
14. Суммаи квадратҳои сурат ва махраҷи касри дуруст ба 25 баробар аст. Касрро ёбед, агар суммаи он бо касри чаппааш ба 1225 баробар бошад.
- а) 0,444…;
- б) 2,050505…;
- в) −4,(27);
- г) 0,2727…
-ро дар шакли касри одӣ нависед.
16. Оё муодилаи 3x6+2x4+9=0 дар (−∞; +∞) реша дорад?
Вазифаи хонагӣ
- Машқҳои 6–16.
- Вазифаи хонагии онлайн: «Алгебра 10 · Вазифаи хонагӣ: 36–37. Таърифи ҳосила» (барои ҳар ду соати мавзӯъ).
Хулоса
- f′(x0)=Δx→0limΔxf(x0+Δx)−f(x0); алгоритм: Δf → ΔxΔf → лимит.
- (c)′=0, x′=1, (
- Ҳосила — суръати лаҳзагии тағйирёбии функсия ва коэффитсиенти кунҷии расанда: f′(x0)=tgα.
- Расанда: y=f(x0)+f′(x0) Дар нуқтаи «кунҷ»-и график (мисоли дар ҳосила нест.
Дар ин дарс
- Ман метавонам ҳосилаи x1 ва x-ро бо алгоритм ёбам ва ҷадвали ҳосилаҳои содатаринро ба хотир дорам.
- Ман медонам, ки хатти расанда чист: лимити хатҳои буранда; ҳосила дар нуқта — коэффитсиенти кунҷии он.
- Ман метавонам муодилаи хатти расандаро нависам ва фаҳмам, кай ҳосила вуҷуд надорад.
Такрор (2 дақиқа)
- (x2)′, (x3)′, (kx+b)′-ро нависед.
- Алгоритми ёфтани ҳосиларо дар се қадам номбар кунед.
- Муодилаи хати ростеро нависед, ки аз нуқтаи (1; 1) бо коэффитсиенти кунҷии 2 мегузарад.
Ҷавобҳо
- 2x, 3x2, k. 2) Δf; лимит ҳангоми 3) яъне
Вазъият барои андешаронӣРасанда ба давра — хатест, ки бо давра як нуқтаи умумӣ дорад. Лекин хати рости x=0 бо параболаи y=x2 низ як нуқтаи умумӣ дорад ва расанда нест; ва меҳвари абсиссаҳо расанда ба графики y=x3 дар нуқтаи (0; 0) аст, вале график онро дар ҳамон нуқта мебурад. Пас «як нуқтаи умумӣ» таъриф нест. Чӣ тавр расандаро барои ҳар гуна график таъриф кардан мумкин аст?
ЭзоҳФунксияи y=f(x), ки дар нуқтаи x0 ҳосила дорад, дар нуқтаи x дифференсирониданшаванда (дифференсиронпазир) номида мешавад. Агар функсия дар ҳар нуқтаи ягон фосила ҳосила дошта бошад, он дар ин фосила дифференсиронпазир аст. Ҳосилаи функсияро бо низ ишора мекунанд. Амали ёфтани ҳосилаҳо функсия номида мешавад.
Расми 1. Нуқтаи B ба A наздик мешавад: хатҳои буранда AB₁, AB₂, AB₃ ба хатти расанда (сабз) наздик мешаванд.ТаърифХатти расанда ба графики функсияи f дар нуқтаи A(x0; f(x0)) — ҳолати лимитии хати буранда ҳангоми ().
Маънои геометрии ҳосилаk=tgα=f′(x0).
Ҳосилаи функсия дар нуқтаи — коэффитсиенти кунҷии расанда ба графики функсия дар нуқтаи бо абсиссаи Муодилаи расанда:
Калимаҳои калидӣҳосилаалгоритми ёфтани ҳосиладифференсиронӣхатти расандахатти бурандасуръати лаҳзагии тағйирёбӣ
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам?Ман метавонам:
- ✓ / ✗ ҳосиларо бо таъриф ва алгоритм шарҳ диҳам;
- ✓ / ✗ ҳосилаи kx+b, x2, x -ро нависам;
Функсияи y=∣x∣ дар нуқтаи x=0 ҳосила дорад.
Муодилаи расандаро ба графики y=x1 дар нуқтаи x0=1 интихоб кунед.
Як ҷавобро интихоб кунед Δf
=
+
Δ
x
−
x0+Δx+x0(x0+Δx−x0=
+
Δ
x
+
1
.
0
,
2
1
(
x
>
0).
1
1
1
,
x
+
1.
9.
4
)
,
φ′(5);
′
(
−
1
)
.
3
−
1
)
;
;
π
−
α
)
,
sinα=61.
)
−
sin2
(
α
−
π
)
2sin(π−α)⋅sin(2π−α)
.
5.
x2
)′
=
2x,
(x3)′=3x2, (kx+b)′=k, (x)′=2x1, (x1)′=−x21. (
x
−
x0).
ΔxΔf
;
Δx→0. y−1=2(x−1), y=2x−1. 0
дифференсиронии
AB
x0
y=f(x0)+f′(x0)(x−x0). 3
,
✓ / ✗ шарҳ диҳам, ки чаро f′(x0) — коэффитсиенти кунҷии расанда; ✓ / ✗ муодилаи расандаро нависам;✓ / ✗ мисоле орам, ки ҳосила вуҷуд надорад.
.
y=x+2
)