39–40. Ҳосилаи функсияи дараҷагӣ ва функсияҳои ратсионалӣ - Алгебра — синфи 10
Ҳосилаи функсияи дараҷагӣ
Функсияи дараҷагии f ( x ) = x n f(x) = x^n f ( x ) = x n (n n n — адади бутун) барои n > 0 n > 0 n > 0 R \mathbb{R} R n ≤ 0 n \le 0
навбатӣ 41 · 1/3. Функсияи мураккаб 1 соат
n ≤ 0
Нишондод. Аз қоидаи зарб (38 · 2/3 ) ва ( x 2 ) ′ = 2 x , (x^2)' = 2x, ( x 2 ) ′ = 2 x , ( x 3 ) ′ = 3 x 2 (x^3)' = 3x^2 ( x 3 ) ′ = 3 x 2 ( x 4 ) ′ = ( x 3 ⋅ x ) ′ = ( x 3 ) ′ ⋅ x + x 3 ⋅ x ′ = 3 x 2 ⋅ x + x 3 ⋅ 1 = 4 x 3 , (x^4)' = (x^3 \cdot x)' = (x^3)' \cdot x + x^3 \cdot x' = 3x^2 \cdot x + x^3 \cdot 1 = 4x^3, ( x 4 ) ′ = ( x 3 ⋅ ( x 5 ) ′ = ( x 4 ⋅ x ) ′ = 4 x 3 ⋅ x + x 4 ⋅ 1 = 5 x 4 . (x^5)' = (x^4 \cdot x)' = 4x^3 \cdot x + x^4 \cdot 1 = 5x^4. ( x 5 ) ′ = ( x 4 ⋅ x ) n = 2 , 3 , 4 , 5 n = 2,\ 3,\ 4,\ 5 n = 2 , 3 , 4 , 5 n n n
Исбот бо усули индуксия (барои n ∈ N n \in \mathbb{N} n ∈ N
Асос. n = 1 n = 1 n = 1 ( x ) ′ = 1 = 1 ⋅ x 0 (x)' = 1 = 1 \cdot x^0 ( x ) ′ = 1 = 1 ⋅ x 0 Қадам. Фарз мекунем, ки (11) барои n = k n = k n = k ( x k ) ′ = k ⋅ x k − 1 . (x^k)' = k \cdot x^{k-1}. ( x k ) ′ = k ⋅ x k − 1 . n = k + 1 n = k + 1 n = k + 1 ( x k + 1 ) ′ = ( x k ⋅ x ) ′ = ( x k ) ′ ⋅ x + x k ⋅ x ′ = k x k − 1 ⋅ x + x k ⋅ 1 = k x k + x k = ( k + 1 ) x k . \left(x^{k+1}\right)' = \left(x^k \cdot x\right)' = (x^k)' \cdot x + x^k \cdot x' = k x^{k-1} \cdot x + x^k \cdot 1 = k x^k + x^k = (k + 1)\,x^k. ( x k + 1 ) ′ n = k + 1 n = k + 1 n = k + 1 Хулоса. Формула барои n = 1 n = 1 n = 1 k k k k + 1 k + 1 k + 1 n ∈ N n \in \mathbb{N} n ∈ N ■ \blacksquare ■ Ҳолатҳои n = 0 n = 0 n = 0 n < 0 n < 0 n < 0 Барои x ≠ 0 x \ne 0 x = 0 ( x 0 ) ′ = ( 1 ) ′ = 0 = 0 ⋅ x − 1 (x^0)' = (1)' = 0 = 0 \cdot x^{-1} ( x 0 ) ′ = ( 1 ) ′ = 0 = 0 ⋅ x − 1 n = − m , n = -m, n = − m , m ∈ N . m \in \mathbb{N}. m ∈ N . ( 1 v ) ′ = − v ′ v 2 \left(\dfrac{1}{v}\right)' = -\dfrac{v'}{v^2} ( v 1 ) ′ = − v 38 · 3/3 ) ва (11) барои m m m ( x − m ) ′ = ( 1 x m ) ′ = − ( x m ) ′ ( x m ) 2 = − m x m − 1 x 2 m = − m x − m − 1 = n x n − 1 . \left(x^{-m}\right)' = \left(\frac{1}{x^m}\right)' = -\frac{(x^m)'}{(x^m)^2} = -\frac{m x^{m-1}}{x^{2m}} = -m x^{-m-1} = n x^{n-1}. ( x − m ) ′ = n n n ■ \blacksquare ■
а) f ( x ) = 3 x − 9 f(x) = 3x^{-9} f ( x ) = 3 x − 9 f ′ ( x ) = 3 ⋅ ( − 9 ) x − 9 − 1 = − 27 x − 10 = − 27 x 10 . f'(x) = 3 \cdot (-9)\,x^{-9-1} = -27x^{-10} = -\dfrac{27}{x^{10}}. f ′ ( x ) = 3 ⋅ ( − 9 ) x − 9 − 1 = − 27 x − 10 = − x 10 27 .
б) f ( x ) = 2 x 11 − 7 x 3 f(x) = 2x^{11} - \dfrac{7}{x^3} f ( x ) = 2 x 11 − x 3 7 f ′ ( x ) = 2 ⋅ 11 x 10 − 7 ⋅ ( − 3 ) x − 4 = 22 x 10 + 21 x 4 . f'(x) = 2 \cdot 11x^{10} - 7 \cdot (-3)\,x^{-4} = 22x^{10} + \dfrac{21}{x^4}. f ′ ( x ) = 2 ⋅ 11 x 10 − 7 ⋅ ( − 3 ) x − 4 = 22 x
Ҳосилаи функсияҳои ратсионалӣ Бисёраъзогӣ ва касри ратсионалӣ дар нуқтаҳои соҳаи муайяншавии худ дифференсиронпазиранд: ин аз қоидаҳои 1–3 ва аз формулаи (11) бармеояд (ҷамъ, зарб ва тақсими функсияҳои дифференсиронпазир).
Мисоли 2. Ҳосилаи f ( x ) = x 4 + 5 x 3 − 4 x 2 + 9 x − 13 f(x) = x^4 + 5x^3 - 4x^2 + 9x - 13 f ( x ) = x 4 + 5 x 3 − 4 x 2 + 9 x − 13 R \mathbb{R} R f ′ ( x ) = 4 x 3 + 15 x 2 − 8 x + 9. f'(x) = 4x^3 + 15x^2 - 8x + 9. f ′ ( x ) = 4 x 3 + 15 x 2 − 8 x + 9.
Мисоли 3. Ҳосилаи f ( x ) = x 6 + 9 x 2 − 1 x 2 + 1 f(x) = \dfrac{x^6 + 9x^2 - 1}{x^2 + 1} f ( x ) = x 2 + 1 x 6 + 9 x 2 − 1 R \mathbb{R} R (x 2 + 1 ≠ 0 x^2 + 1 \ne 0 x 2 + 1 = 0 Аз қоидаи тақсим:
f ′ ( x ) = ( 6 x 5 + 18 x ) ( x 2 + 1 ) − 2 x ( x 6 + 9 x 2 − 1 ) ( x 2 + 1 ) 2 = 4 x 7 + 6 x 5 + 20 x ( x 2 + 1 ) 2 . f'(x) = \frac{\left(6x^5 + 18x\right)\left(x^2 + 1\right) - 2x\left(x^6 + 9x^2 - 1\right)}{\left(x^2 + 1\right)^2} = \frac{4x^7 + 6x^5 + 20x}{\left(x^2 + 1\right)^2}. f ′ ( x ) =
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф 1. Ҳосилаи функсияҳоро ёбед:
а) x 5 ; x^5; x 5 ;
б) x 11 ; x^{11}; x 11 ;
в) x 13 ; x^{13}; x 13 ;
г) x 103 ; x^{103}; x 103 ;
ғ) x n + 1 ; x^{n+1}; x n + 1 ;
д) x − 2 ; x^{-2}; x − 2 ;
е) x − 4 ; x^{-4}; x − 4 ;
ё) x − 7 ; x^{-7}; x − 7 ;
ж) x − 15 ; x^{-15}; x − 15 ;
з) x − n + 1 ; x^{-n+1}; x − n + 1 ;
и) x 3 5 ; x^{\frac{3}{5}}; x 5 3 ;
к) x 1 + 3 ; x^{1 + \sqrt{3}}; x 1 + 3 ;
л) x 5 − 4 . x^{\sqrt{5} - 4}. x 5 − 4 .
2. Қимати ҳосилаи функсияҳоро дар нуқтаҳои додашуда ёбед:
а) f ( x ) = 1 x 6 , f(x) = \dfrac{1}{x^6}, f ( x ) = x 6 1 , x 0 = 2 ; x_0 = 2; x 0 = 2 ;
б) f ( x ) = x 4 + 2 x − 9 , f(x) = x^4 + 2x - 9, f ( x ) = x 4 + 2 x − 9 , x 0 = 3 ; x_0 = 3; x 0 =
в) f ( x ) = x − 3 + x 3 + 2 , f(x) = x^{-3} + x^3 + 2, f ( x ) = x − 3 + x 3 + 2 , x 0 = 3 ; x_0 = 3; x
г) f ( x ) = x 11 − 2 x 21 + 2 x , f(x) = x^{11} - 2x^{21} + 2\sqrt{x}, f ( x ) = x 11 − 2 x 21 + 2 x
3. Аз қоидаи дифференсиронӣ ва ҳосилаи функсияи дараҷагӣ истифода бурда, f ′ ( x ) f'(x) f ′ ( x )
а) f ( x ) = x 9 ( 1 + x 2 ) ; f(x) = x^9\left(1 + x^2\right); f ( x ) = x 9 ( 1 + x 2 ) ;
б) f ( x ) = x 4 + ( x 7 + 1 ) ( x 2 − 1 ) ; f(x) = x^4 + \left(x^7 + 1\right)\left(x^2 - 1\right); f ( x ) = x 4 + ( x 7 + 1 ) ( x 2 − 1 ) ;
в) f ( x ) = x 5 − x 3 + 1 x 6 ; f(x) = x^5 - \dfrac{x^3 + 1}{x^6}; f ( x ) = x 5 − x 6 x 3
г) f ( x ) = x 3 − 3 x 1 + 4 x 2 − x 4 ; f(x) = \dfrac{x^3 - 3x}{1 + 4x^2} - x^4; f ( x ) = 1 + 4 x 2 x 3 − 3 x
ғ) f ( x ) = x 4 + x 2 + 1 x 2 + 4 ; f(x) = \dfrac{x^4 + x^2 + 1}{x^2 + 4}; f ( x ) = x 2 + 4 x 4 + x
д) f ( x ) = ( x 9 − 1 ) ( 2 x 3 − 4 x + 1 ) . f(x) = \left(x^9 - 1\right)\left(2x^3 - 4x + 1\right). f ( x ) = ( x 9 − 1 ) ( 2 x 3 − 4 x + 1 )
4. Формулаи ақаллан як функсияро нависед, ки ҳосилаи он ба
а) 3 x 2 + 4 ; 3x^2 + 4; 3 x 2 + 4 ;
б) 5 x 9 + 4 x 5 − 3 x ; 5x^9 + 4x^5 - 3x; 5 x 9 + 4 x 5 − 3 x ;
в) − 3 x 2 + 2 ; -\dfrac{3}{x^2} + 2; − x 2 3 + 2 ;
г) 3 x − 1 x 3 3x - \dfrac{1}{x^3} 3 x − x 3 1
Дар хона 5. Барои кадом қиматҳои x x x f ( x ) f(x) f ( x )
а) f ( x ) = x 3 − 12 x ; f(x) = x^3 - 12x; f ( x ) = x 3 − 12 x ;
б) f ( x ) = 1 3 x 3 + 1 x ; f(x) = \dfrac{1}{3}x^3 + \dfrac{1}{x}; f ( x ) = 3 1 x 3 + x 1 ;
в) f ( x ) = x 2 + 5 ; f(x) = x^2 + 5; f ( x ) = x 2 + 5 ;
г) f ( x ) = x 4 − x 3 + 9 ; f(x) = x^4 - x^3 + 9; f ( x ) = x 4 − x 3 + 9 ;
ғ) f ( x ) = x 4 + 4 x − 11 ; f(x) = x^4 + 4x - 11; f ( x ) = x 4 + 4 x − 11 ;
д) f ( x ) = x 4 − 12 x 2 − 1 ? f(x) = x^4 - 12x^2 - 1? f ( x ) = x 4 − 12 x 2 − 1 ?
6. Ҳосилаи функсияҳоро ёбед:
а) x 11 ; x^{11}; x 11 ;
б) 5 x 8 ; 5x^8; 5 x 8 ;
в) x − 7 ; x^{-7}; x − 7 ;
г) 2 x − 4 ; 2x^{-4}; 2 x − 4 ;
ғ) 2 x 5 + x 4 − 5 x 3 + 3 x 2 − x + 7 ; 2x^5 + x^4 - 5x^3 + 3x^2 - x + 7; 2 x 5 + x 4 − 5 x 3 + 3 x 2
д) x 4 − x 2 + 18 ; x^4 - x^2 + 18; x 4 − x 2 + 18 ;
е) x n n − x . \dfrac{x^n}{n} - \sqrt{x}. n x n − x
7. Ҳосилаи функсияҳоро ёбед:
а) x n ⋅ x + 1 x ; x^n \cdot \sqrt{x} + \dfrac{1}{x}; x n ⋅ x + x 1 ;
б) x − 3 + x 3 ; x^{-3} + x^3; x − 3 + x 3 ;
в) ( x 4 + 1 ) ⋅ x ; \left(x^4 + 1\right) \cdot \sqrt{x}; ( x 4 + 1 ) ⋅ x ;
г) x 7 ( x − 2 ) ; x^7\left(\sqrt{x} - 2\right); x 7 ( x − 2 ) ;
ғ) x 4 x 2 − 1 ; \dfrac{x^4}{x^2 - 1}; x 2 − 1 x 4 ;
д) x 5 − 1 x + 1 ; \dfrac{x^5 - 1}{x + 1}; x + 1 x 5 − 1 ;
е) 2 x x − x 3 ; \dfrac{2}{x\sqrt{x}} - \sqrt{x^3}; x x 2 −
ё) 2 x 3 − 1 x − 3 x 2 . 2\sqrt{x^3} - \dfrac{1}{\sqrt{x}} - \dfrac{3}{x^2}. 2 x 3 −
8. f ′ ( 2 ) f'(2) f ′ ( 2 )
а) f ( x ) = 9 − x 2 ; f(x) = 9 - x^2; f ( x ) = 9 − x 2 ;
б) f ( x ) = 3 x 4 ; f(x) = \dfrac{3}{x^4}; f ( x ) = x 4 3 ;
в) f ( x ) = x − 5 ; f(x) = x^{-5}; f ( x ) = x − 5 ;
г) f ( x ) = x 6 + 1 f(x) = x^6 + 1 f ( x ) = x 6 + 1
Вазифаи хонагӣ
Машқҳои 5–8.
Вазифаи хонагии онлайн: «Алгебра 10 · Вазифаи хонагӣ: 39–40. Ҳосилаи функсияи дараҷагӣ ва функсияҳои ратсионалӣ».
Барои соати оянда (41 · 1/3 ) нависед: f ( x ) = ( x 2 + 1 ) 3 f(x) = (x^2 + 1)^3 f ( x ) = ( x 2 + 1 ) 3
Хулоса
( x n ) ′ = n x n − 1 (x^n)' = nx^{n-1} ( x n ) ′ = n x n − 1 n n n n ≤ 1 n \le 1 n ≤ 1 x ≠ 0 x \ne 0 x = 0 n < 0 n < 0 n < 0 Формула барои нишондиҳандаи ратсионалӣ ва ирратсионалӣ ҳам дуруст аст (x > 0 x > 0 x > 0 ( x 1 2 ) ′ = 1 2 x . \left(x^{\frac{1}{2}}\right)' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}. ( x 2 1
Бисёраъзогӣ ва касри ратсионалӣ дар соҳаи муайяншавии худ ҳосила доранд: аз қоидаҳои дифференсирони ҷамъ, зарб ва тақсим.
Дар ин дарс
Ман медонам формулаи ( x n ) ′ = n x n − 1 (x^n)' = n x^{n-1} ( x n ) ′ = n x n − 1 n ∈ N n \in \mathbb{N} n ∈ N Ман метавонам ҳосилаи функсияи дараҷагӣ бо нишондиҳандаи бутуни мусбат ва манфӣ, ҳосилаи бисёраъзогӣ ва функсияи ратсионалиро ёбам.Ман медонам , ки формула барои нишондиҳандаи касрӣ ва ирратсионалӣ ҳам дуруст аст. Такрор (2 дақиқа)
( u v ) ′ (uv)' ( uv ) ′ ( x 2 ) ′ , \left(x^2\right)', ( x 2 ) ′ , ( x 3 ) ′ \left(x^3\right)' ( x 3 ) ′ 1 x 4 = x ? \dfrac{1}{x^4} = x^{?} x 4 1 = x ? x 3 = x ? . \sqrt[3]{x} = x^{?}. Ҷавобҳо
u ′ v + u v ′ . u'v + uv'. u ′ v + u v ′ . 2 x , 2x, 2 x , 3 x 2 . 3x^2. 3 x Вазъият барои андешаронӣ ( x 2 ) ′ = 2 x , (x^2)' = 2x, ( x 2 ) ′ = 2 x , ( x 3 ) ′ = 3 x 2 . (x^3)' = 3x^2. ( x 3 ) ′ = 3 x 2 . 1 1 1 ( x 4 ) ′ , (x^4)', ( x 4 ) ′ , ( x 10 ) ′ , (x^{10})', ( x 10 ) ′ , ( 1 x ) ′ = ( x − 1 ) ′ \left(\dfrac{1}{x}\right)' = (x^{-1})' ( x 1 ) ′ = ( x − 1 ) n n n
Теорема Барои ҳар адади бутуни n n n n ≤ 1 n \le 1 n ≤ 1 x ≠ 0 x \ne 0 x = 0 ( x n
Қабул мекунем (бе исбот) Формулаи (11) барои нишондиҳандаи ратсионалӣ ва ирратсионалӣ ҳам дуруст аст (x > 0 x > 0 x > 0 ( x 1 2 ) ′ = 1 2 x − 1 2 = 1 2 x (ин ҳамон ( x ) ′ аст) , ( x 2 + 3 ) ′ = 2 x 2 − 1 . \left(x^{\frac{1}{2}}\right)' = \frac{1}{2}\,x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \quad \text{(ин ҳамон } (\sqrt{x})' \text{ аст)}, \qquad \left(x^{\sqrt{2}} + 3\right)' = \sqrt{2}\,x^{\sqrt{2} - 1}.
Калимаҳои калидӣ функсияи дараҷагӣ индуксия нишондиҳандаи бутун бисёраъзогӣ касри ратсионалӣ
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам? Ман метавонам:
✓ / ✗ формулаи ( x n ) ′ = n x n − 1 (x^n)' = nx^{n-1} ( x n ) ′ = n x n − 1
( x 3 2 ) ′ \left(x^{\frac{3}{2}}\right)' ( x 2 3 ) ′
Як ҷавобро интихоб кунед A 3 2 x 3 2 \dfrac{3}{2}x^{\frac{3}{2}}
B C D Қадамҳои қадами индуксияро (аз n = k n = k n = k n = k + 1 n = k + 1 n = k + 1 ( x n ) ′ = n x n − 1 (x^n)' = nx^{n-1} ( x n )
Унсурҳоро бо тартиби дуруст ҷойгир кунед 1
2
3
4
x ) ′ =
( x 3 ) ′ ⋅
x +
x 3 ⋅
x ′ =
3 x 2 ⋅
x +
x 3 ⋅
1 =
4 x 3 ,
′
=
4 x 3 ⋅
x +
x 4 ⋅
1 =
5 x 4 .
=
( x k ⋅ x ) ′ =
( x k ) ′ ⋅
x +
x k ⋅
x ′ =
k x k − 1 ⋅
x +
x k ⋅
1 =
k x k +
x k =
( k +
1 ) x k .
2
v ′
( x m 1 )
′
=
− ( x m ) 2 ( x m ) ′ =
− x 2 m m x m − 1 =
− m x − m − 1 =
n x n − 1 .
10
+
x 4 21 .
(
x 2
+
1
)
2
( 6 x 5 + 18 x ) ( x 2 + 1 ) − 2 x ( x 6 + 9 x 2 − 1 )
=
( x 2 + 1 ) 2 4 x 7 + 6 x 5 + 20 x .
3
;
0
=
3 ;
,
+
1
;
−
x 4 ;
2
+
1
;
.
−
x +
7 ;
.
x
3
;
x
1
−
x 2 3 .
)
′
=
3
=
x ? .
2
.
x 1 3 . x^{\frac{1}{3}}. x 3 1 .
′
) ′ = n ⋅ x n − 1 . ( 11 ) \left(x^n\right)' = n \cdot x^{n-1}. \qquad (11) ( x n ) ′ = n ⋅ x n − 1 . ( 11 )
( x 2 1 ) ′ = 2 1 x − 2 1 = 2 x 1 ( ин ҳамон ( x 2 x 2 − 1 . ✓ / ✗ қадами индуксияро барои n → n + 1 n \to n + 1 n → n + 1 ✓ / ✗ ҳосилаи x − m x^{-m} x − m
✓ / ✗ ҳосилаи бисёраъзогӣ ва касрро ёбам.
.
2 3
x 2 3
3 2 x − 1 2 \dfrac{3}{2}\,x^{-\frac{1}{2}} 2 3 x − 2 1
3 2 x \dfrac{3}{2}\sqrt{x} 2 3 x
1 2 x \dfrac{1}{2}\sqrt{x} 2 1 x
′
=
n x n − 1
Қоидаи зарбро татбиқ мекунем: ( x k + 1 ) ′ = ( x k ) ′ ⋅ x + x k ⋅ 1 = k x k − 1 ⋅ x + x k (x^{k+1})' = (x^k)' \cdot x + x^k \cdot 1 = kx^{k-1} \cdot x + x^k ( x k + 1 ) ′ = ( x k ) ′ ⋅ x + x k ⋅ 1 = k x k − 1 ⋅ x + x k
Фарз мекунем, ки ( x k ) ′ = k x k − 1 (x^k)' = kx^{k-1} ( x k ) ′ = k x k − 1 x k + 1 x^{k+1} x k + 1 x k ⋅ x x^k \cdot x x k ⋅ x
Ҷамъ мекунем: k x k + x k = ( k + 1 ) x k kx^k + x^k = (k + 1)\,x^k k x k + x k = ( k + 1 ) x k
Хулоса: формула барои k + 1 k + 1 k + 1
) ′
аст )
,
=