33 · 2/2. Маънои геометрӣ ва механикии нисбати Δy/Δx - Алгебра — синфи 10
Маънои геометрии ΔxΔy
Дар системаи координатӣ графики y=f(x)-ро кашем. Нуқтаҳои A ва дар график ҷойгиранд, ки Хати рости ки аз ин ду нуқта мегузарад, (секанс) номида мешавад.
навбатӣ34 · 1/2. Мафҳуми лимит
1 соат
(
x0
;
y0
)
x=x0+Δx, y=y0+Δy. хатти буранда
Коэффитсиенти кунҷии хати l ба тангенси кунҷи α-и мойилии он ба меҳвари Ox баробар аст ва аз рӯйи ду нуқти хат ҳисоб мешавад:
Мисоли 1. Барои y=x коэффитсиенти кунҷии хатти буранда аз нуқтаи A(x0; y0) ва B(x0+Δx; y0+Δy)-ро ҳангоми x0=1 ва Δx=0,0201 меёбем.
Азбаски x0=1, y0=1=1, x0+Δx=1,0201 ва f(1,0201)=1,0201=1,01, пас Δy=1,01−1=0,01 ва
k=tgα=ΔxΔy=0
Мисоли 2. Хатҳои буранда барои y=x2 аз нуқтаи A(1; 1) ва нуқтаи дигари график (x=1+Δx):
k=Δx(1+Δx)2−1=Δx2Δx+(Δ
| Δx | k=2+Δx |
|---|
| 1 | 3 |
| 0,1 | 2,1 |
| 0,01 | 2,01 |
| −0,01 | 1,99 |
| −0,1 | 1,9 |
Ҳангоми аз ҳар ду тараф хурд шудани Δx коэффитсиент ба 2 наздик мешавад. Ин адад дар дарсҳои оянда ҳамчун лимит пайдо мешавад.
Маънои механикӣ: суръати миёна
Бигзор нуқта дар хати рост ҳаракат кунад ва координатаи он дар лаҳзаи t ба x(t) баробар бошад. Дар порчаи вақти [t0; t0+Δt] суръати миёнаи он
Ин формула барои Δt<0 ҳам дуруст аст. Он гоҳ порча — [t0+Δt; t0], дарозии он −Δt ва
vмиёна=−Δtx
Айнан ҳамин тавр, ифодаи ΔxΔf=Δxf(x0+Δx)−f(x0)-ро суръати миёнаи тағйирёбии функсия дар порчаи [x0; x0+Δx] меноманд.
Ҳамин тавр, суръати миёнаи ҳаракат ва коэффитсиенти кунҷии хатти буранда — ду «забон»-и як нисбат: ΔxΔy.
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф
1. Коэффитсиенти кунҷии k-и хатти буранда аз нуқтаҳои (x0; y0) ва (x0+Δx; y0+Δy)-и графики функсияи y=x2-ро ёбед, агар:
- а) x0=2, Δx=0,1;
- б) x0=2, Δx=0,01;
- в) x0=2, Δx=0,001;
- г) x0=2, Δx=−0,1;
- ғ) x0=2, Δx=−0,01;
- д) x0=2, Δx=−0,001.
2. Коэффитсиенти кунҷии k-ро барои функсияи y=x3 ёбед, агар:
- а) x0=1, Δx=0,1;
- б) x0=1, Δx=0,01;
- в) x0=1, Δx=0,001;
- г) x0=1, Δx=−0,1;
- ғ) x0=1, Δx=−0,01;
- д) x0=1, Δx=−0,001.
3. Суръати миёнаи нуқтаро, ки аз рӯйи қонуни маълум дар хати рост ҳаракат мекунад, дар порчаи вақти [t0; t0+Δt] ёбед, агар:
- а) x(t)=3t−5;
- б) x(t)=−3t−5;
- в) x(t)=v0t+2gt2;
- г) x(t)=2gt2.
4. Вобастагии масофаи тайкардаи нуқтаи моддӣ S аз вақти t дар Расми 2 нишон дода шудааст. Суръати миёнаи ҳаракатро дар порчаҳои [0; 1], [1; 2] ва [2; 3] ёбед.
Дар хона
- а) f(x)=x3−2x+11;
- б) f(x)=x27+1;
- в) f(x)=x2−12;
- г) f(x)=x2+13;
- ғ) f(x)=x+x1;
- д) f(x)=x2+x21
бошад, Δf ва ΔxΔf-ро ба воситаи x0 ва Δx ифода кунед.
6. Муодилаҳоро ҳал кунед:
- а) 123x−6+1=4x+6−6x+3;
- б) 3x2+4x−7=0;
- в) (x−2)(x+3)=6(x−3);
- г) x+1x+x−1x=0.
7. Системаҳои муодилаҳоро ҳал кунед:
- а) {5x−7y=3,6x+5y=17;
- б) {x2+2y2=96,x=2y.
- а) 2a2+b2+c2≥2a(b+c);
- б) a4+6a2b2+b4>4ab(a2+b a=b.
9. Муодилаҳои тригонометриро ҳал кунед:
- а) sin4x=cos4x−sin4x;
- б) cosx−cos5x=0.
10. Айниятҳоро исбот кунед:
- а) 1−tg2x=cos2xcos2x;
- б) 1+sin2α1−sin2α=ctg2
11. Ҷуфт ё тоқ будани функсияро муайян кунед:
- а) f(x)=−2x4+9x2+11;
- б) f(x)=−3x3+5x;
- в) f(x)=5x6−2x3.
12. Бари росткунҷа аз дарозиаш 3 см кӯтоҳтар аст. Ченакҳои онро ёбед, агар масоҳаташ 70 см2 бошад.
13. Ду мошини боркаш якҷоя кор карда, бояд борро дар 6 соат мекашонданд. Вале мошини дуюм ба саршавии кор каме дер монд ва вақте омад, ки мошини якум аллакай 53 ҳиссаи тамоми борро кашонда буд. Бори боқимондаро мошини дуюм кашонд ва аз ин рӯ барои кашондани тамоми бор мошинҳо назар ба вақти пешбинишуда ду маротиба зиёдтар вақт сарф карданд. Ҳар як мошин дар алоҳидагӣ тамоми борро дар чанд соат мекашонад?
Вазифаи хонагӣ
- Машқҳои 5–13.
- Вазифаи хонагии онлайн: «Алгебра 10 · Вазифаи хонагӣ: 33. Афзоиши аргумент ва функсия» (барои ҳар ду соати мавзӯъ).
Хулоса
- Атрофи нуқтаи a — фосилаи (a−δ; a+δ), яъне ∣x−a∣<δ.
- Δx=x−x0 — афзоиши аргумент, Δf=f(x0+Δx)−f(x0) — афзоиши функсия; ҳарду манфӣ шуда метавонанд.
- ΔxΔf — коэффитсиенти кунҷии хатти буранда ва суръати миёнаи тағйирёбии функсия дар порчаи [x0; x
- Суръати миёнаи ҳаракат — ΔtΔx; ин формула барои Δt<0 ҳам дуруст аст.
Дар ин дарс
- Ман медонам, ки нисбати ΔxΔy дар график коэффитсиенти кунҷии хатти буранда аст.
- Ман метавонам суръати миёнаи ҳаракат ва суръати миёнаи тағйирёбии функсияро дар порча ҳисоб кунам.
- Ман мефаҳмам, ки чаро қимати ΔxΔy ҳангоми хурд шудани Δx ба адади муайян наздик мешавад.
Такрор (2 дақиқа)
- Барои y=x2 афзоиши Δy-ро ҳангоми x0=1 ва Δx=0,1 ёбед.
- Коэффитсиенти кунҷии хати ростеро ёбед, ки аз нуқтаҳои (1; 1) ва (3; 5) мегузарад.
- tg45∘ ба чӣ баробар аст?
Ҷавобҳо
- 1,21−1=0,21. 2) 3−15−1=2. 3)
Вазъият барои андешаронӣМошин соати 9:00 аз километри 10 гузашт ва соати 10:00 ба километри 70 расид. Суръати миёна 60 км/соат аст. Оё мошин ҳамеша бо ҳамин суръат рафт? Агар спидометр дар ҳар лаҳза нишон дода бошад, чӣ тавр «суръат дар як лаҳза»-ро аз ин маълумот фаҳмидан мумкин аст?
Расми 1. Хатти буранда l аз нуқтаҳои A ва B мегузарад; кунҷи α — кунҷи он бо меҳвари абсиссаҳо.Қоидаk=tgα= Қоидаvмиёна(Δt)=Δt 
Расми 2. Масофаи тайкардаи нуқта S ҳамчун функсияи вақти t. Суръати миёнаро дар порчаҳои [0; 1], [1; 2] ва [2; 3] аз рӯйи нуқтаҳои нишондодашуда меёбанд.Калимаҳои калидӣатрофи нуқтаафзоиши аргументафзоиши функсияхатти бурандакоэффитсиенти кунҷӣсуръати миёна
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам?Ман метавонам:
- ✓ / ✗ атрофи нуқтаро шарҳ диҳам ва мисол орам;
- ✓ / ✗ Δx ва Δf-ро барои функсияи додашуда ҳисоб кунам;
- ✓ / ✗ шарҳ диҳам, ки ΔxΔ дар график чӣ маъно дорад;
Нисбати ΔxΔy дар графики функсия чиро ифода мекунад?
Як ҷавобро интихоб кунед Ба ҳар як ифода маънои онро мувофиқ гузоред.
Ҳар як унсури чапро бо яке аз рост мувофиқ кунедΔxΔy дар графики функсия
→ΔtΔx барои нуқтаи ҳаракаткунанда
→
→→
,
0201
0,01
≈
0,4975.
x
)2
=
2+
Δx.
(
t0
)
−
x
(
t0
+
Δ
t
)
=
Δtx(t0+Δt)−x(t0).
2
)
,
(4π+α)
.
0
+
Δx].
1.
x−x0
y−y0
=
ΔxΔy=
Δxf(x0+Δx)−f(x0).
Яъне нисбати афзоиши функсия ба афзоиши аргумент — коэффитсиенти кунҷии хатти буранда, ки аз нуқтаҳои (x0; f(x0)) ва (x0+Δx; f(x0+Δx))-и график мегузарад.
Δ
x
=
Δtx(t0+Δt)−x(t0).
y
✓ / ✗ суръати миёнаро аз рӯйи қонуни ҳаракат ёбам.0
+
Δx=
3,2
B
Кунҷи α бо градусҳо
x−x0
f(x0+Δx)−f(x0)