34 · 2/2. Бефосилагии функсия - Алгебра — синфи 10
Бефосилагии функсия дар нуқта
Агар дар нуқтаи a a a f ( a ) f(a) f ( a )
Бефосилагӣ се чизро дар як вақт мегӯяд: (1 1 1 f ( a ) f(a) f ( a ) (2 2 2 лимити lim x → a f ( x )
навбатӣ 35. Суръати лаҳзагии ҳаракат 1 соат
\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) x → a lim f ( x )
Бефосилагӣ бо афзоишҳо. Агар x = a + Δ x , x = a + \Delta x, x = a + Δ x , x → a x \to a x → a Δ x → 0 \Delta x \to 0 Δ x → 0 f ( a + Δ x ) → f ( a ) ( Δ x → 0 ) , яъне Δ f = f ( a + Δ x ) − f ( a ) → 0 ( Δ x → 0 ) . f(a + \Delta x) \to f(a) \quad (\Delta x \to 0), \qquad \text{яъне} \qquad \Delta f = f(a + \Delta x) - f(a) \to 0 \quad (\Delta x \to 0). f ( a + Δ x ) → f ( a ) ( Δ x → 0 ) , яъне Δ f = f ( a + Δ x ) − f ( a ) → 0 ( Δ x функсия дар нуқтаи a a a (lim Δ x → 0 Δ f = 0 \displaystyle\lim_{\Delta x \to 0}\Delta f = 0 Δ x → 0 lim Δ f = 0
Агар функсия дар фосила бефосила бошад, графики вай хати бе канда аст: онро бе бардоштани қалам кашидан мумкин аст. Масалан, функсияи Расми 1 (чап) дар тамоми фосила бефосила аст; функсияҳои «ҷаҳиш» ва «нуқтаи холӣ» дар a a a ( − ∞ ; a ) (-\infty;\ a) ( − ∞ ; a ) ( a ; + ∞ ) (a;\ +\infty) ( a ; + ∞ )
Қабул мекунем (бе исбот): функсияҳои асосии элементарӣ (хаттӣ, квадратӣ, дараҷагӣ, тригонометрӣ ва ғайра) дар фосилаҳои соҳаи муайяншавии худ бефосилаанд. Аз қоидаҳои лимит бармеояд: ҷамъ, фарқ ва зарби функсияҳои бефосила — бефосила; тақсими онҳо — бефосила дар нуқтаҳое, ки махраҷ нул нест.
Мисоли 3. Нишон медиҳем, ки функсияи f ( x ) = x 4 − 2 x 2 x 3 + 5 x 2 − 3 x + 7 f(x) = \dfrac{x^4 - 2x}{2x^3 + 5x^2 - 3x + 7} f ( x ) = 2 x 3 + 5 x 2 − 3 x + 7 x 4 − 2 x x → 3 x \to 3 x → 3 f ( 3 ) f(3) f ( 3 )
Қимати f ( 3 ) = 3 4 − 2 ⋅ 3 2 ⋅ 3 3 + 5 ⋅ 3 2 − 3 ⋅ 3 + 7 = 75 97 . f(3) = \dfrac{3^4 - 2 \cdot 3}{2 \cdot 3^3 + 5 \cdot 3^2 - 3 \cdot 3 + 7} = \dfrac{75}{97}. f ( 3 ) = 2 ⋅ 3 3 + 5 ⋅ 3 2 − 3 ⋅ 3 + 7 3 4 − 2 ⋅ 3 = 97 75 . x 4 → 3 4 , x^4 \to 3^4, x 4 → 3 4 , 2 x → 2 ⋅ 3 , 2x \to 2 \cdot 3, 2 x → 2 ⋅ 3 , 2 x 3 + 5 x 2 − 3 x + 7 → 2 ⋅ 3 3 + 5 ⋅ 3 2 − 3 ⋅ 3 + 7 = 97 ≠ 0. 2x^3 + 5x^2 - 3x + 7 \to 2 \cdot 3^3 + 5 \cdot 3^2 - 3 \cdot 3 + 7 = 97 \ne 0. 2 x 3 + 5 x 2 − 3 x + 7 → 2 ⋅ 3 f ( x ) → 3 4 − 2 ⋅ 3 97 = 75 97 = f ( 3 ) . f(x) \to \frac{3^4 - 2 \cdot 3}{97} = \frac{75}{97} = f(3). f ( x ) → 97 3 4 − 2 ⋅ 3 = f f f x = 3 x = 3 x = 3
Мисоли 4. Бефосилагиро аз рӯйи афзоишҳо санҷем.
f ( x ) = k x + b f(x) = kx + b f ( x ) = k x + b a a a Δ x \Delta x Δ x Δ f = k ( a + Δ x ) + b − ( k a + b ) = k Δ x → 0. \Delta f = k(a + \Delta x) + b - (ka + b) = k\,\Delta x \to 0. Δ f = k ( a + Δ x ) + b − ( ka + b ) = k Δ x → 0. R \mathbb{R} R f ( x ) = 2 x f(x) = 2\sqrt{x} f ( x ) = 2 x (x ≥ 0 x \ge 0 x ≥ 0 Барои a > 0 a > 0 f ( x ) = cos x . f(x) = \cos x. f ( x ) = cos x . Δ f = cos ( a + Δ x ) − cos a = − 2 sin Δ x 2 sin ( a + Δ x 2 ) . \Delta f = \cos(a + \Delta x) - \cos a = -2\sin\frac{\Delta x}{2}\,\sin\left(a + \frac{\Delta x}{2}\right). Δ f = cos ( a + Δ x ) −
Мисолҳои каниш Мисоли 5. Оё функсияи f ( x ) = { 2 ∣ x ∣ , x ≠ 0 , 1 , x = 0 f(x) = \begin{cases} 2\lvert x \rvert, & x \ne 0, \\ 1, & x = 0 \end{cases} f ( x ) = { 2 ∣ x ∣ , 1 , x = 0 , x = 0 x = 0 x = 0 x = 0
Ҳангоми x ≠ 0 x \ne 0 x = 0 f ( x ) = 2 ∣ x ∣ f(x) = 2\lvert x \rvert f ( x ) = 2 ∣ x ∣ x = 0 x = 0 x = 0 f ( x ) = 2 ∣ x ∣ → 0 f(x) = 2\lvert x \rvert \to 0 f ( x ) = 2 ∣ x ∣ → 0 x → 0 , x \to 0, x → 0 , f ( 0 ) = 1 , f(0) = 1, f ( 0 ) = 1 , f ( x ) → 0 ≠ 1 = f ( 0 ) . f(x) \to 0 \ne 1 = f(0). f ( x ) → 0 = 1 = f ( 0 ) . x = 0 x = 0 x = 0
Мисоли 6. Фосилаҳои бефосилагии функсияи f ( x ) = { x 2 − 4 x − 2 , x ≠ 2 , 5 , x = 2 f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}, & x \ne 2, \\ 5, & x = 2 \end{cases} f ( x ) = ⎩ ⎨ ⎧ x − 2 x 2 − 4 , 5 , x = 2 , x =
Ҳангоми x ≠ 2 x \ne 2 x = 2 f ( x ) = x + 2 f(x) = x + 2 f ( x ) = x + 2 ( − ∞ ; 2 ) (-\infty;\ 2) ( − ∞ ; 2 ) ( 2 ; + ∞ ) (2;\ +\infty) ( 2 ; + ∞ ) x = 2 x = 2 x = 2 f ( x ) = x + 2 → 4 , f(x) = x + 2 \to 4, f ( x ) = x + 2 → 4 , f ( 2 ) = 5. f(2) = 5. f ( 2 ) = 5. f ( x ) → 4 ≠ f ( 2 ) , f(x) \to 4 \ne f(2), f ( x ) → 4 = f ( 2 ) , x = 2 x = 2 x = 2 x = 2 x = 2 x = 2 f ( 2 ) = 4 f(2) = 4 f ( 2 ) = 4
Худатон кӯшиш кунед Дар ҳолати «Бефосилагӣ» ҳар як графикро наздик кунед: оё функсия дар нуқтаи a a a
Бефосилагӣ ё каниш? санҷида бин! Аз нав
Кор дар синф
Машқҳо
Дар синф 1. Фосилаҳои бефосилагии функсияро ёбед:
а) 9 x 4 − 7 x 2 + x − 11 ; 9x^4 - 7x^2 + x - 11; 9 x 4 − 7 x 2 + x − 11 ;
б) 2 x 2 − 5 ; 2x^2 - 5; 2 x 2 − 5 ;
в) x 2 − 9 x + 8 x + 1 ; \dfrac{x^2 - 9x + 8}{x + 1}; x + 1 x 2 − 9 x + 8 ;
г) x 3 x 2 − 1 ; \dfrac{x^3}{x^2 - 1}; x 2 − 1 x 3 ;
ғ) x 2 − 3 x 3 − 4 x ; \dfrac{x^2 - 3}{x^3 - 4x}; x 3 − 4 x x 2 − 3 ;
д) x 2 − 5 x + 6 x 2 + 1 ; \dfrac{x^2 - 5x + 6}{x^2 + 1}; x 2 + 1 x 2 − 5 x + 6 ;
е) 3 2 x − 1 ; \dfrac{3}{2x - 1}; 2 x − 1 3 ;
ё) 4 x + 3 2 . \dfrac{4x + 3}{2}. 2 4 x + 3 .
2. Оё функсияи f ( x ) f(x) f ( x )
а) f ( x ) = x 9 − 5 x 4 + 6 , f(x) = x^9 - 5x^4 + 6, f ( x ) = x 9 − 5 x 4 + 6 , ( − ∞ ; + ∞ ) ; (-\infty;\ +\infty); ( − ∞ ; + ∞ ) ;
б) f ( x ) = 2 x − 7 x + 5 , f(x) = 2\sqrt{x} - 7x + 5, f ( x ) = 2 x − 7 x + 5 , ( − 4 ; + ∞
в) f ( x ) = x 3 ( x − 3 ) ( x − 4 ) , f(x) = \dfrac{x^3}{(x - 3)(x - 4)}, f ( x ) = ( x − 3 ) ( x − 4 ) x 3 , ( − ∞ ;
3. Исбот кунед, ки агар f ( x ) = 2 x 2 − 3 x x 2 + 3 x − 2 f(x) = \dfrac{2x^2 - 3x}{x^2 + 3x - 2} f ( x ) = x 2 + 3 x − 2 2 x 2 − 3 x x → 1 x \to 1 x → 1 f ( x ) → f ( 1 ) = − 1 2 . f(x) \to f(1) = -\dfrac{1}{2}. f ( x ) → f ( 1 ) = − 2 1 .
4. Графики функсияҳои зеринро созед ва абсиссаҳои нуқтаҳоеро нишон диҳед, ки дар онҳо бефосилагӣ вайрон мешавад:
а) f ( x ) = { 3 ∣ x ∣ , x ≠ 0 , 1 , x = 0 ; f(x) = \begin{cases} 3\lvert x \rvert, & x \ne 0, \\ 1, & x = 0; \end{cases} f ( x ) = { 3 ∣ x ∣ , 1 , x = 0 , x = 0 ;
б) f ( x ) = { 2 , x < 1 , 1 − x 2 , x ≥ 1. f(x) = \begin{cases} 2, & x < 1, \\ 1 - x^2, & x \ge 1. \end{cases} f ( x ) = { 2 , 1 − x 2 ,
Дар хона 5. Оё функсияҳои графикашон дар Расми 3 тасвир ёфта дар нуқтаҳои x 1 x_1 x 1 x 2 x_2 x 2
6. Дар кадом қиматҳои ҳақиқии a a a x 2 + 2 ( a − 1 ) x + a 2 − a x − 2 = 0 \dfrac{x^2 + 2(a - 1)x + a^2 - a}{x - 2} = 0 x − 2 x 2 + 2 ( a − 1 ) x + a 2 − a = 0
7. Қаиқ бо равиши ҷараёни дарё 48 48 48 5 5 5 4 4 4
8. Баъд аз пай дар пай ду маротиба ба ҳамон як фоиз паст кардани нарх, арзиши мол аз 300 300 300 192 192 192
а) 5 sin π 6 + 3 tg π 4 − cos π 2 − 10 ctg π 4 ; 5\sin\dfrac{\pi}{6} + 3\operatorname{tg}\dfrac{\pi}{4} - \cos\dfrac{\pi}{2} - 10\operatorname{ctg}\dfrac{\pi}{4}; 5 sin 6 π + 3 tg 4 π − cos 2 π − 10 ctg 4 π ;
б) ( 2 tg π 6 − tg π 3 ) : cos π 6 . \left(2\operatorname{tg}\dfrac{\pi}{6} - \operatorname{tg}\dfrac{\pi}{3}\right) : \cos\dfrac{\pi}{6}. ( 2 tg 6 π − tg 3 π
10. Дар кадом қимати x x x f ( x ) = 4 x − 3 f(x) = 4x - 3 f ( x ) = 4 x − 3 17 17 17
11. Маълум, ки tg α = 8. \operatorname{tg}\alpha = 8. tg α = 8.
а) ctg α + tg α ctg α − tg α ; \dfrac{\operatorname{ctg}\alpha + \operatorname{tg}\alpha}{\operatorname{ctg}\alpha - \operatorname{tg}\alpha}; ctg α − tg α ctg α + tg α ;
б) sin 2 α + 2 cos 2 α sin 2 α − cos 2 α . \dfrac{\sin^2\alpha + 2\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha - \cos^2\alpha}. sin 2 α − cos 2 α sin 2 α + 2 cos 2 α
а) cos ( π − α ) + cos ( π 2 − α ) sin ( π − α ) − sin ( π 2 − α ) ; \dfrac{\cos(\pi - \alpha) + \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right)}{\sin(\pi - \alpha) - \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right)}; sin ( π − α ) − sin ( 2 π − α ) cos ( π − α ) + cos ( 2 π − α ) ;
б) sin 2 ( π − α ) + sin 2 ( π 2 − α ) sin ( π − α ) ⋅ tg ( π − α ) . \dfrac{\sin^2(\pi - \alpha) + \sin^2\left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right)}{\sin(\pi - \alpha)} \cdot \operatorname{tg}(\pi - \alpha). sin ( π − α ) sin 2 ( π − α ) +
13. Муодилаҳои зеринро ҳал кунед:
а) 3 x 2 + 4 x = 7 ; 3x^2 + 4x = 7; 3 x 2 + 4 x = 7 ;
б) 3 x = x 2 + 2. 3x = x^2 + 2. 3 x = x 2 + 2.
14. Абсиссаи қуллаи параболаро ёбед, агар:
а) y = 3 x 2 − 9 x + 5 ; y = 3x^2 - 9x + 5; y = 3 x 2 − 9 x + 5 ;
б) y = 2 x − x 2 . y = 2x - x^2. y = 2 x − x 2 .
15. Афзоишҳои Δ x \Delta x Δ x Δ y \Delta y Δ y y = x 2 + 3 y = x^2 + 3 y = x 2 + 3
а) x 1 = 1,1 x_1 = 1{,}1 x 1 = 1 , 1 x 0 = 1 ; x_0 = 1; x 0 = 1 ;
б) x = 2,4 , x = 2{,}4, x = 2 , 4 , x 0 = 2 x_0 = 2 x 0 = 2
Вазифаи хонагӣ
Машқҳои 5–15.
Вазифаи хонагии онлайн: «Алгебра 10 · Вазифаи хонагӣ: 34. Мафҳуми лимит ва бефосилагии функсия» (барои ҳар ду соати мавзӯъ).
Хулоса
lim x → a f ( x ) = L \displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = L x → a lim f ( x ) = L x → a x \to a x → a f ( x ) f(x) f ( x ) L L L f ( a ) f(a) f ( a ) Функсия дар нуқтаи a a a lim x → a f ( x ) = f ( a ) , \displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = f(a), x → a lim f ( x ) = f ( a ) , Δ f → 0 \Delta f \to 0 Δ f →
Дар фосила бефосила — дар ҳар нуқтаи он бефосила; графики он бе канда аст.
Нуқтаи каниш: ё лимит вуҷуд надорад (ҷаҳиш), ё лимит ҳаст, вале f ( a ) f(a) f ( a )
Функсияҳои элементарӣ дар соҳаи муайяншавии худ бефосилаанд.
Дар ин дарс
Ман медонам таърифи бефосилагии функсия дар нуқта ва дар фосила ва нуқтаи каниши функсия чист.Ман метавонам бефосилагиро ба воситаи лимит ва ба воситаи афзоишҳо (Δ f → 0 \Delta f \to 0 Δ f → 0 Ман метавонам аз график муайян кунам, ки функсия дар нуқта бефосила аст ё не ва каниш кадом навъ аст. Такрор (2 дақиқа)
lim x → 3 ( x 2 + 1 ) \displaystyle\lim_{x \to 3}(x^2 + 1) x → 3 lim ( x 2 + 1 ) lim x → 1 x 2 − 1 x − 1 \displaystyle\lim_{x \to 1}\dfrac{x^2 - 1}{x - 1} x → 1 lim x − 1 x 2 − 1 Барои f ( x ) = 2 x + 3 f(x) = 2x + 3 f ( x ) = 2 x + 3 Δ f \Delta f Δ f Δ x = 0,1 \Delta x = 0{,}1 Δ x = 0 , 1
Ҷавобҳо
10. 10. 10. ( x − 1 ) ( x + 1 ) x − 1 = x + 1 → 2. \dfrac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = x + 1 \to 2. x − 1 ( x − 1 ) ( x + 1 ) = x + Вазъият барои андешаронӣ Графики баъзе функсияҳоро бе бардоштани қалам аз коғаз кашидан мумкин аст, графики дигаронро не. Кай қалам бояд бардошта шавад? Дар чӣ фарқ мекунад «қалам бардошта шуд, зеро нуқтаи холӣ ҳаст» ва «қалам бардошта шуд, зеро график ба боло ҷаҳид»?
Таъриф Агар ҳангоми x → a x \to a x → a f ( x ) f(x) f ( x ) f ( a ) f(a) f ( a ) lim x → a f ( x ) = f ( a ) , \lim_{x \to a} f(x) = f(a), lim x → a f ( x ) = f ( a ) , y = f ( x ) y = f(x) y = f ( x ) a a a бефосила номида мешавад. Дар акси ҳол a a a нуқтаи каниши функсия аст ва функсия дар он фосиланок (канишдор) аст.
Расми 1. Се ҳолат дар нуқтаи a: функсия бефосила аст; ҷаҳиш (лимитҳои чап ва рост гуногунанд); нуқтаи холӣ (лимит ҳаст, вале f(a) дигар ё муайян нест). Таъриф Функсия дар ҳар як нуқтаи фосилаи додашуда бефосила бошад, онро дар ин фосила бефосила меноманд. Таъриф барои нимфосила ва порча ҳам ҷой дорад (дар нуқтаи канории порча лимитро аз як тараф мегиранд).
Расми 2. Чап: y = 2|x| ҳангоми x ≠ 0 ва f(0) = 1. Рост: y = (x² − 4)/(x − 2) ҳангоми x ≠ 2 ва f(2) = 5. Расми 3. Шаш график ва ду нуқтаи x₁, x₂ дар ҳар кадоме. Нуқтаи пурра — қимати функсия дар нуқта, нуқтаи холӣ — «ҷои холӣ»-и график. Калимаҳои калидӣ лимит бефосилагӣ нуқтаи каниш ҷаҳиш нуқтаи холӣ фосилаи бефосилагӣ
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам? Ман метавонам:
✓ / ✗ лимитро ҳангоми x → a x \to a x → a
✓ / ✗ бефосилагиро дар нуқта бо лимит ва бо Δ f → 0 \Delta f \to 0 Δ f → 0
✓ / ✗ аз график ё формула нуқтаи каниш ва навъи онро муайян кунам;
✓ / ✗ фосилаҳои бефосилагии функсияи ратсионалиро ёбам.
Функсияи y = 1 x y = \dfrac{1}{x} y = x 1 x = 0 x = 0 x = 0
Функсияи f ( x ) = x + 1 x − 3 f(x) = \dfrac{x + 1}{x - 3} f ( x ) = x − 3 x + 1
Як ҷавобро интихоб кунед A x = − 1 x = -1 x = − 1
B
C D Нуқтаи каниш надорад Кадом функсия дар нуқтаи x = 2 x = 2 x = 2
Як ҷавобро интихоб кунед A f ( x ) = { x + 1 , x < 2 , x 2 + 1 , x ≥ 2 f(x) = \begin{cases} x + 1, & x < 2, \\ x^2 + 1, & x \ge 2 \end{cases} f ( x ) = { x + 1 ,
B C D
→
0 ) .
3
+
5 ⋅
3 2 −
3 ⋅
3 +
7 =
97 =
0.
97
75
=
f ( 3 ) .
a >
0
Δ f = 2 ( a + Δ x − a ) = 2 Δ x a + Δ x + a → 0 2 a = 0. \Delta f = 2\left(\sqrt{a + \Delta x} - \sqrt{a}\right) = \frac{2\,\Delta x}{\sqrt{a + \Delta x} + \sqrt{a}} \to \frac{0}{2\sqrt{a}} = 0. Δ f = 2 ( a + Δ x − a ) = a + Δ x + a 2 a 0 = 0. Δ f = 2 Δ x → 0. \Delta f = 2\sqrt{\Delta x} \to 0. Δ f = 2 Δ x → 0. [ 0 ; + ∞ ) [0;\ +\infty) [ 0 ; + ∞ ) cos a =
− 2 sin 2 Δ x sin ( a + 2 Δ x ) .
sin Δ x 2 → 0 \sin\dfrac{\Delta x}{2} \to 0 sin 2 Δ x → 0 sin ( a + Δ x 2 ) → sin a , \sin\left(a + \dfrac{\Delta x}{2}\right) \to \sin a, sin ( a + 2 Δ x ) → sin a , Δ f → 0. \Delta f \to 0. Δ f → 0.
2
) ; (-4;\ +\infty); ( − 4 ; + ∞ ) ;
5 ) ? (-\infty;\ 5)? ( − ∞ ; 5 )?
x < 1 ,
x ≥ 1.
)
:
cos 6 π .
.
sin
2
( 2 π − α )
⋅
tg ( π −
α ) .
0
Δ x → 0. \Delta x \to 0. Δ x → 0. 1
→
2.
Δ f = 2 Δ x = 0,2. \Delta f = 2\Delta x = 0{,}2. Δ f = 2Δ x = 0 , 2. 1
,
3 x + a ,
x < 2 , x ≥ 2
x = 3 x = 3 x = 3
x 2 + 1 ,
x < 2 , x ≥ 2
f ( x ) = 1 x − 2 f(x) = \dfrac{1}{x - 2} f ( x ) = x − 2 1
f ( x ) = x 2 − 5 f(x) = x^2 - 5 f ( x ) = x 2 − 5
f ( x ) = x 2 − 4 x − 2 f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2} f ( x ) = x − 2 x 2 − 4
2 Δ x
→
