Теоремаи масоҳати проексия ва хосиятҳои проексия — «4.13 · 3/4. Масоҳати проексияи бисёркунҷа». Китоб: танҳо як ҳолатро исбот мекунад, ва се хосияти проексияро бе шарт дуруст мегӯяд. Курс: ҳар се ҳолатро исбот мекунад ва хосиятҳоро бо шартҳои дуруст менависад.
Таъриф: китоб «ҳамвории мафҳумҳои асосӣ»-ро бо ишораи «дар § 5» мефиристад; курс ин ишораро ба дарси 5.14 иваз кардааст.
Машқи 7: рӯяи параллелепипед ҳамворӣ нест, балки қисми ҳамворист (канор дорад); ин дар ҳал аниқ гуфта шудааст.
Машқи 10: хатти ҷавоби китоб ҳамаи ҳолатҳоро дар бар намегирад. Курс ҳамаро мегирад.
Машқи 5: курс ин ишораро дар матн овардааст.
1.2. Аксиомаҳо ва натиҷаҳо
Машқи 22: шарт нуқтаҳои M ва N-и тарафҳоро талаб намекунад, ки аз қуллаҳои B ва C фарқ кунанд. Агар N=C, тасдиқ нодуруст аст (C∈α). Курс: M,N аз B ва C фарқ мекунанд.
Машқи 26: дар китоб «чор нуқта, ки сетоаш дар як хат нест» гуфта шудааст; тасдиқ нодуруст аст (чор нуқтаи як ҳамворӣ диагоналҳои чоркунҷаро мебуранд). Курс: «чор нуқта, ки дар як ҳамворӣ ҷойгир нестанд».
Машқи 32(1): хатҳои AC ва DK дар K мебуранд (K — миёнаҷойи AC). Курс: «AB ва ».
Машқи 35: китоб A∈α менависад ва «хатти рости AX»-ро истифода мебарад; ҳарду нодуруст: A∈/α ва тасмим бо порчаиAX мегирад (хатти қариб ҳамеша мебурад). Курс: порчаи
Эзоҳи 1: беохир будани миқдори ҳамвориҳо дар китоб бо «интихоби ихтиёрии C» асос карда шудааст. Курс ин қадамро чун раванди беохир баён мекунад ва аз ҳад зиёд қатъӣ намесозад.
Машқи 38: дар матни китоб формула гум шудааст; курс шарти sinAsinB>21-ро аз тасвири саҳифа гирифтааст.
Бахши III: «ҳамвори ва хатти рости дар он ҷойгирнабуда ё ҳамдигарро намебуранд» — курс рақами нуқтаҳои умумиро аниқ мегӯяд (як нуқта, ҳеҷ нуқта).
Теоремаи 3 (ягонагӣ): китоб ягонагиро танҳо дар ҳамвории α нишон медиҳад. Курс илова кардааст: ҳар хати аз A гузарандаи ба a параллел бо a дар як ҳамворӣ аст; ин ҳамворӣ a ва A-ро дар бар мегирад, пас α аст (теоремаи якум).
Теоремаи 4: китоб исботро баъд мегузорад; курс ба ин ишора мекунад ва исботро ба 2.6 · 2/3 мегузорад (бидуни давр).
Машқи 73: порча ҳамвориро мебурад (на дар як тарафи он), ва ин дар ҷавоби китоб ба назар гирифта нашудааст; курс ҷавобро ислоҳ кардааст.
Машқи 74(2): дар китоб «DC=b» чоп шудааст, вале нуқтаи D нест; курс: BC=b..
Машқи 77: шарти «ҳамвориро набуранда»-и параллелограмм ҳатмист (қуллаҳо дар як тарафи ҳамворӣ). Курс инро дар шарт гузоштааст.
Машқи 78: «хатҳои ғайрипараллел ва бо AA1 бурида намешуда» — хатҳои чиликӣ ба AA1; курс ҳамин калимаро истифода мебарад.
Машқи 79: нуқтаи ҳамворӣ набояд дар хати a бошад (агар дар a бошад, хати чиликӣ нест); курс инро дар шарт гуфтааст.
Теоремаи баръакс (аломат): китоб «A нуқтаи дилхоҳ» мегӯяд. Нуқта бояд дар ҳамвории α бошад. Курс «A∈α» менависад ва хати буриши α бо ҳамвории β-ро аз ҳамин нуқта мегузаронад.
Сохтани хати ба ҳамворӣ параллел: дар китоб ҷумлаи «агар дар хатти рости а нуқтаи В, ки дар а ҷойгир аст, мавҷуд мебуд» ғалатнависӣ аст: B нуқтаи умумии a ва α аст. Курс исботро аз нав навиштааст.
Исботи аломати параллелии хатҳои рост (дар ҳолати хатҳои на дар як ҳамворӣ): китоб ҳамворӣ ва хатро омехта кардааст («дар ҳамвории α» ба ҷойи β), ва қадами охир аз хулоса (a∥b) истифода мебарад (давр). Курс исботро ислоҳ кардааст: α — ҳамвории A ва c, — ҳамвории ва аз параллелии ба ва ба ҳосил мешавад ва аз ягонагӣ Ҳама ҳолатҳои хусусӣ (хатҳо дар як ҳамворӣ; ва нуқтаи умумӣ доранд; ё дида баромада шудаанд.
Масъалаи 89: шарт бо хати буриши ҳамвориҳои ABCD ва CDEF (ки хати CD аст) дуруст кор мекунад; курс бе тағйир мегирад.
2.7. Ду ҳамворӣ
Аломати якуми параллелии ҳамвориҳо: исбот ба a⊂β,b⊂β такя мекунад. Агар a⊂β, он гоҳ a=c ва b∥c бо ҳамдигарро буридани a,b зид аст. Курс ин ҳолатро бо як ҷумла илова кардааст.
Теоремаи «ҳамвории параллел аз нуқта»: китоб α ва β-ро омехта мекунад (ҳамвории додашуда ва нав бо як ҳарф). Курс: α — додашуда, β — нав. Ишора ба «аксиомаи C4» дар асл ба теоремаи «ду хати ҳамдигарро буранда ҳамворӣ медиҳанд» тааллуқ дорад. Ягонагӣ аз нав навишта шудааст (бо «хати параллел ва ҳамвории буранда»).
Хулосаи 4 (теоремаи 9): хулоса дар бораи ҳамворӣ аст; нусхаи хат (масъалаи 98) дар курс пеш аз натиҷаҳо исбот шудааст (бо теоремаи хатҳои буриш) ва дар 3.9 истифода мешавад.
Масъалаи 7 (7/Мс7): дар шарт «ду хати ҳамдигарро буранда» навишта шудааст, вале расм ду хати ҷудо нишон медиҳад (A, M, B ва C, N, D).
Аломатҳои параллелии ҳамвориҳо (теоремаҳои 7, 8): китоб талаб намекунад, ки ҳамвориҳо гуногун бошанд; агар ҳамвориҳо ҳамҷоя шаванд, ҳукм ба параллелӣ дахл надорад. Курс «ҳамвориҳои гуногун»-ро дар исбот гуфтааст.
Мисоли 4 (7/Мс4): исбот дар бораи ҳамдигарро буридани a2,b2 хомӯш аст; курс сабабро илова кардааст (дар як ҳамворӣ ҳастанд ва параллел нестанд).
3. Перпендикулярии хатҳои рост ва ҳамвориҳо дар фазо
3.8. Перпендикулярии хатҳо ва ҳамворӣ
Тартиби ғояҳо: китоб теоремаи «агар яке аз ду хати параллел ба сеюм перпендикуляр бошад, дигараш ҳам» -ро бо «кунҷи байни хатҳо» (он дар бахши 4.12 меояд) исбот мекунад, ва теоремаи «хатҳои ба перпендикулярҳо параллел»-ро бе исбот меорад, вале теоремаи 17 ба он такя мекунад. Курс: аввал теорема барои хати сеюм, ки ҳарду хатро мебурад (ҳамаи се хат дар як ҳамворӣ — планиметрия), баъд теоремаи «хатҳои ба перпендикулярҳо параллел» бо исботи пурра (се параллелограмм ва баробарии секунҷаҳо; лемма аз 2.5 · 2/2).
Аломати перпендикулярии хат ва ҳамворӣ: китоб бе исбот қабул мекунад; курс исботро (бо секунҷаҳои баробар) ҳамчун қисми ихтиёрӣ оварда, аломатро истифода мебарад.
Ягонагии ҳамвории перпендикуляр: исботи китоб танҳо ҳолати A∈/a ва ду пояи гуногуни B=C-ро дарбар мегирад. Курс ҳолати A∈a ва ҳолати B=C-ро илова кардааст.
Перпендикуляр аз нуқта ба ҳамворӣ: китоб (эзоҳ) исботро намеорад. Курс исботи мавҷудият ва ягонагиро (панҷ қадам) дар қисми «Исбот» оварда, ҳолати A∈α-ро низ шарҳ додааст.
Масъалаи 1 (8/Мс1): дарозии MB дар матн вайрон шудааст (« см»); курс аз ҳал барқарор кардааст: MB=2 см ва см.
Масъалаи 118: курс аввал AB⊥MAC-ро нишон медиҳад, баъд MC⊥ABC; шарт «ҳамвории секунҷа ба MC перпендикуляр аст» ба «хати MC ба ҳамвории перпендикуляр аст» иваз шудааст (маънои якхела).
3.9. Масофаҳо
Теоремаи 16: китоб ба «хулосаи 4-и теоремаи 9» ишора мекунад, вале он дар бораи ҳамворӣ аст; курс масъалаи 98 (хати рост ва ҳамвориҳои параллел) -ро истифода мебарад.
Теоремаи 17: китоб хатҳои α-ро, ки аз пояи a намегузаранд, фаромӯш мекунад. Курс хати c1∥c-ро аз пояи a мегузаронад ва аз теоремаи «хатҳои ба перпендикулярҳо параллел» истифода мебарад.
Теоремаи 18: китоб «b1 ба a перпендикуляр» навиштааст — бояд «ба α». Курс ислоҳ кардааст ва ҳолати ҳамҷоя шудани a ва b-ро низ дида баромадааст.
Масъалаи 11/Мс1: дар китоб «мувофиқи теоремаи 12» (хати параллел ба перпендикуляр) ва мулоҳизаи дароз; курс дар як қадам: a′∥a,a⊥β⇒a′⊥β.
Масъалаи 11/Мс4: дар китоб хати буриши ду ҳамворӣ бо ҳарфи a ишора шудааст, ки бо хати рости a омехта мешавад; курс хати буришро l меномад. Ҳолати b=c илова шудааст.
Машқҳои 150 ва 154: ҳисоби якхела бо калимаҳои гуногун; ҳарду нигоҳ дошта шудаанд.
Теоремаи 25: исботи китоб барои хатҳо дар ҳамвориҳои гуногун аст. Курс ҳолати як ҳамвориро (планиметрия) қайд мекунад ва иловагӣ мегӯяд, ки агар нуқтаҳои B,C-ро дар нимхатҳои дигар гирем, кунҷи хурдтарин ҳамон мемонад. Лемма дар бораи се параллелограмм бо исбот.
Масъалаи 12/Мс1: китоб кунҷи ACB=3π/4=135∘ менависад — ин кунҷи секунҷа аст. Кунҷи байни хатҳои AC ва CB бошад 45∘ аст. Курс ин фарқро ошкоро гуфтааст.
Таърифи 2: китоб «кунҷи байни хатҳои рости чиликӣ»-ро бо ҷумлаи дароз ва бо матни такроршуда дорад; курс онро бе такрор менависад.
Масъалаи 12/Мс4 (баландӣ аз ду нуқта): матни китоб печида ва ҳарфҳо омехта; курс тартиби D,C,B-ро муайян мекунад (φ>ψ) ва формула A-ро аз теоремаи синусҳо ҳосил мекунад.
Машқи 159: ин теорема аст (хати ба ҳамворӣ перпендикуляр ба ҳар хати ҳамворӣ перпендикуляр аст); курс онро бо таърифи нави кунҷи байни хатҳо бо нишондод ҳамчун машқ меорад.
Машқи 171: дар китоб «Медианаҳои секунҷа дода шудаанд» бе адад; курс медианаҳоро ma,mb,mc меномад ва тарафҳоро аз формулаи медиана меёбад.
4.13. Кунҷи байни ду ҳамворӣ. Масоҳати проексия
Хосиятҳои проексия (қисми II, дар охири он): китоб менависад «проексияи порча ҳамеша порча аст», «порчаҳои баробар дорои проексияҳои баробаранд», «проексияи хатҳои параллел параллеланд». Се тасдиқ бе шарт нодурустанд: порчаи ба ҳамворӣ перпендикуляр ба нуқта проексия мешавад; порчаҳои баробари параллелнабуда метавонанд проексияи гуногун дошта бошанд (дарозии проексия lcosφ аст); хатҳои параллел метавонанд ба як хат проексия шаванд. Курс рӯйхатро ислоҳ кардааст ва барои ҳар хосият сабаб меорад.
Теоремаи 26 (масоҳати проексия): китоб танҳо ҳолати 1)-ро исбот мекунад ва мегӯяд, ки ҳолатҳои 2) ва 3) «монанд» исбот мешаванд. Курс ҳар се ҳолатро бо исбот меорад (ҳолати 2: ҳамвории ба α параллел аз тарафи параллел; ҳолати 3: хати BE∥α аз қуллаи миёна), ва ҳолатҳои φ=0∘,φ=90∘ ва бисёркунҷаро.
Мисолҳои «Масъалаи 1, 2» дар матн: дар китоб рақамгузорӣ аз 1 дубора оғоз мешавад; дар харита онҳо К 13/Мс3 ва К 13/Мс4-анд.
Машқи 174: ҷавоби китоб дуруст аст; бе калкулятор ҳисоб кардан мумкин нест. Курс дар нишондод калкуляторро иҷозат медиҳад.
Машқи 185: расми 90 (секунҷаи ABC бо a,b,c ва α,β,) аз нав кашида шуд.
Исботи формулаи масофа: китоб ҳолати A1A2∥Oz-ро баррасӣ мекунад, вале ҳолати A1A2∥Oxy(z1=z2,C=A1)-ро ба таври ошкор намегӯяд. Курс ҳар ду ҳолатро бо як ҷумла илова кардааст.
5.16. Ҳаракат, симметрия ва параллелкӯчонӣ
Теоремаи 27: китоб мегӯяд, ки a′ ва b′ ҳамҷоя шуда наметавонанд, «чунки кунҷи байни онҳо ба кунҷи байни a ва b баробар аст». Ин сабаб нокифоя аст. Сабаби дуруст: ҳаракат нуқтаҳои гуногунро ба гуногун мебарад, пас A∈/a мегӯяд A′∈/a′. Курс ҳамин сабабро меорад ва илова мекунад, ки ҳаракати баръакс низ ҳаракат аст, бинобар ин ҳар нуқтаи α′ — тасвири нуқтаи α.
Теоремаи 28: китоб Sa,SO,Sα-ро омехта менависад, нуқтаҳои ва ҷой иваз мекунад ва формулаи намедиҳад. Курс се формулаи меорад ва ҳаракат будани онҳоро бо координатаҳо исбот мекунад.