6.18 · 2/2. Зарби вектор ба адад. Векторҳои коллинеарӣ - Геометрия — синфи 10
Асосӣ Курсҳо Геометрия — синфи 10 6. Векторҳо дар фазо
6.18 · 2/2. Зарби вектор ба адад. Векторҳои коллинеарӣ 1 соат
Зарби вектор ба адад
Дарозии он: ∣ λ a ⃗ ∣ = λ 2 a 1 2 + λ 2 a 2 2 + λ 2 a 3 2 = ∣ λ ∣ ⋅ ∣ a ⃗ ∣ . |\lambda\vec a|=\sqrt{\lambda^2a_1^2+\lambda^2a_2^2+\lambda^2a_3^2}=|\lambda|\cdot|\vec a|. ∣ λ a ∣ = λ
навбатӣ 6.19 · 1/3. Зарби скалярии векторҳо 1 соат
2
a 1 2
+
λ 2
a 2 2
+
λ 2
a 3 2
=
∣ λ ∣ ⋅
Чаро? Координатаҳои λ a ⃗ \lambda\vec a λ a a ⃗ \vec a a λ a ⃗ \lambda\vec a λ a O O O a ⃗ \vec a a λ \lambda λ O O O (λ > 0 \lambda>0 λ > 0 ё дар тарафи муқобил (λ < 0 \lambda<0 λ < 0 аст.
Векторҳои коллинеарӣ Ду вектор коллинеарӣ аст, агар онҳо дар як хати рост ё дар хатҳои рости параллел ҷойгир бошанд. Самти ду вектори коллинеарӣ ё якхела ё муқобил аст (расми 2).
Агар ҳамаи координатаҳои b ⃗ \vec b b
a 1 : b 1 = a 2 : b 2 = a 3 : b 3 ( = λ ) . a_1:b_1=a_2:b_2=a_3:b_3\;(=\lambda). a 1 : b 1 = a 2 : b 2 = a 3 : b 3 ( = λ ) . Мухтасар: ду вектор коллинеарӣ аст, агар координатаҳояш мутаносиб бошанд . Эҳтиёт: агар як координата нул бошад, нисбатро тақсим кардан мумкин нест; он вақт ҳамеша аз a ⃗ = λ b ⃗ \vec a=\lambda\vec b a = λ b ( 2 ; 0 ; 4 ) (2;\,0;\,4) ( 2 ; 0 ; 4 ) ( 1 ; 0 ; 2 ) (1;\,0;\,2) ( 1 ; 0 ; 2 ) (λ = 2 \lambda=2 λ = 2
Мисоли 1. Векторҳои a ⃗ = ( 1 ; − 2 ; 1 ) \vec a=(1;\,-2;\,1) a = ( 1 ; − 2 ; 1 ) b ⃗ = ( 3 ; 4 ; − 6 ) \vec b=(3;\,4;\,-6) b = ( 3 ; 4 ; − 6 ) 2 a ⃗ − 3 b ⃗ 2\vec a-3\vec b 2 a − 3 b
Ҳал. Амалҳои зарурӣ иҷро мекунем:
2 a ⃗ − 3 b ⃗ = 2 ( 1 ; − 2 ; 1 ) − 3 ( 3 ; 4 ; − 6 ) = ( 2 ; − 4 ; 2 ) − ( 9 ; 12 ; − 18 ) = ( − 7 ; − 16 ; 20 ) . 2\vec a-3\vec b=2(1;\,-2;\,1)-3(3;\,4;\,-6)=(2;\,-4;\,2)-(9;\,12;\,-18)=(-7;\,-16;\,20). 2 a − 3 b = 2 ( 1 ; − 2 ; 1 ) − 3 ( 3 ; 4 ; − 6 ) = ( 2 ; − 4 ; 2 ) − ( 9 ; 12 ; − 18 ) = ( − 7 ; − 16 ; 20 ) . Мисоли 2. Барои кадом қимати m m m n n n a ⃗ = ( 2 ; n ; 3 ) \vec a=(2;\,n;\,3) a = ( 2 ; n ; 3 ) b ⃗ = ( 3 ; 2 ; m ) \vec b=(3;\,2;\,m) b = ( 3 ; 2 ; m )
Ҳал. Мувофиқи шарти коллинеарӣ 2 : 3 = n : 2 = 3 : m = λ . 2:3=n:2=3:m=\lambda. 2 : 3 = n : 2 = 3 : m = λ . λ = 2 3 , \lambda=\dfrac23, λ = 3 2 ,
n = 2 λ = 4 3 , 3 m = 2 3 ⇒ 2 m = 9 , m = 9 2 = 4,5. n=2\lambda=\frac43,\qquad \frac3m=\frac23\ \Rightarrow\ 2m=9,\quad m=\frac92=4{,}5. n = 2 λ = 3 4 , m 3 = 3 2 ⇒ 2 m = 9 , m = 2 9 = 4 , 5. Ҷавоб: m = 4,5 , m=4{,}5, m = 4 , 5 , n = 4 3 . n=\dfrac43. n = 3 4 .
Худатон кӯшиш кунед Зарб ба адад санҷида бин! Аз нав
Кор дар синф
Машқҳо 1. Векторҳои a ⃗ = ( 2 ; − 1 ; − 4 ) \vec a=(2;\,-1;\,-4) a = ( 2 ; − 1 ; − 4 ) b ⃗ = ( 1 ; 3 ; 2 ) \vec b=(1;\,3;\,2) b = ( 1 ; 3 ; 2 ) − 3 a ⃗ + 5 b ⃗ -3\vec a+5\vec b − 3 a + 5 b
2. Барои кадом қиматҳои m m m n n n a ⃗ = ( m ; 2 ; 5 ) \vec a=(m;\,2;\,5) a = ( m ; 2 ; 5 ) b ⃗ = ( 1 ; − 1 ; n ) ; \vec b=(1;\,-1;\,n); b = ( 1 ; − 1 ; n ) ; a ⃗ = ( m ; n ; 2 ) \vec a=(m;\,n;\,2) a = ( m ; n ; 2 ) b ⃗ = ( 6 ; 9 ; 3 ) \vec b=(6;\,9;\,3) b = ( 6 ; 9 ; 3 )
3. Вектори воҳидиро ёбед, ки ба вектори a ⃗ = ( 3 ; 2 ; − 2 ) \vec a=(3;\,2;\,-2) a = ( 3 ; 2 ; − 2 )
Нишондод Ду вектор ҳосил мешавад: ± a ⃗ ∣ a ⃗ ∣ . \pm\dfrac{\vec a}{|\vec a|}. ± ∣ a ∣ a .
4. Дарозии вектори 3 a ⃗ − b ⃗ 3\vec a-\vec b 3 a − b a ⃗ = ( 0 ; − 1,5 ; 2 ) , \vec a=(0;\,-1{,}5;\,2), a = ( 0 ; − 1 , 5 ; 2 ) , b ⃗ = ( 2 ; 1 ; − 3 ) \vec b=(2;\,1;\,-3) b = ( 2 ; 1 ; − 3 )
5. Кадом шартҳоро бояд координатаҳои нуқтаҳои A , A, A , B , B, B , C C C
Нишондод Кифоя аст, ки векторҳои A B → \overrightarrow{AB} A B A C → \overrightarrow{AC} A C
6. Вектори a ⃗ = ( 1 ; 2 ; 3 ) \vec a=(1;\,2;\,3) a = ( 1 ; 2 ; 3 ) A ( 1 ; 1 ; 1 ) A(1;\,1;\,1) A ( 1 ; 1 ; 1 ) O x y Oxy O x y
7. Нуқтаҳои A ( 1 ; 0 ; 2 ) A(1;\,0;\,2) A ( 1 ; 0 ; 2 ) B ( − 1 ; 1 ; 1 ) B(-1;\,1;\,1) B ( − 1 ; 1 ; 1 ) A B → \overrightarrow{AB} A B
8. Дар кадом ҳолат вектори a ⃗ = ( a 1 ; a 2 ; a 3 ) \vec a=(a_1;\,a_2;\,a_3) a = ( a 1 ; a 2 ; a 3 ) O x Ox O x
9. Дарозии векторро ёбед, ки ибтидояш нуқтаи A ( 4,2 ; 0 ; 1,6 ) A(4{,}2;\,0;\,1{,}6) A ( 4 , 2 ; 0 ; 1 , 6 ) B ( 1,2 ; 1,4 ; 2,4 ) B(1{,}2;\,1{,}4;\,2{,}4) B ( 1 , 2 ; 1 , 4 ; 2 , 4 )
10. Хатҳои рости A B AB A B C D CD C D A C AC A C B D BD B D
11. Оё вектори a ⃗ = ( 1 2 ; 1 4 ; 2 3 ) \vec a=\left(\dfrac12;\,\dfrac14;\,\dfrac23\right) a = ( 2 1 ; 4 1 ; 3 2 )
12. Вектори воҳидии ( 0 ; 1 ; 0 ) , (0;\,1;\,0), ( 0 ; 1 ; 0 ) , ( 1 ; 0 ; 0 ) , (1;\,0;\,0), ( 1 ; 0 ; 0 ) , ( 0 ; 0 ; 1 ) (0;\,0;\,1) ( 0 ; 0 ; 1 )
13. Нуқтаҳои B 2 B_2 B 2 C 2 C_2 C 2 B B 1 BB_1 B B 1 B C 1 BC_1 B C 1 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 . ABCDA_1B_1C_1D_1. A BC D A 1 B 1 C 1 D 1 . A B 2 C 2 AB_2C_2 A B 2 C 2 A B = a AB=a A B = a
Вазифаи хонагӣ Машқҳои 4–8 ва вазифаи хонагии онлайн (6 савол). Машқҳои 9–13 — барои такрор, ихтиёрӣ.
Хулоса
Зарб ба адад: λ a ⃗ = ( λ a 1 ; λ a 2 ; λ a 3 ) ; \lambda\vec a=(\lambda a_1;\;\lambda a_2;\;\lambda a_3); λ a = ( λ a 1 ; λ a 2 ; λ a 3 ) ; ∣ λ a ⃗ ∣ = ∣ λ ∣ ∣ a ⃗ ∣ ; |\lambda\vec a|=|\lambda|\,|\vec a|; ∣ λ a ∣ = ∣ λ ∣ ∣ a (λ > 0 \lambda>0 λ > 0 ё муқобил (λ < 0 \lambda<0 λ < 0 Коллинеарӣ: a ⃗ ∥ b ⃗ ⟺ a ⃗ = λ b ⃗ \vec a\parallel\vec b\iff\vec a=\lambda\vec b a ∥ b Ҷамъ ва зарб бо ададҳо — дар координатаҳо: ҳар координатаро алоҳида ҳисоб мекунем.
Саволҳо барои санҷиши дониш Дар ҷуфт аз ҳамдигар пурсед ва ҷавоб диҳед.
Суммаи ду вектор дар фазо чӣ тавр муайян карда мешавад?
Қоидаи секунҷа барои ёфтани суммаи ду вектор чӣ тавр навишта мешавад? Қоидаи параллелограмм чист?
Дар кадом ҳолат ду вектор ба ҳамдигар муқобиланд?
Ҳосили зарби вектор ба адад чӣ тавр муайян карда мешавад?
Дар кадом ҳолат ду вектор коллинеариянд?
Шарти коллинеарӣ бо координатаҳо чӣ тавр навишта мешавад?
Барои ҷамъи векторҳо кадом қонунҳо иҷро мешаванд?
Дар ин дарс
Ман метавонам вектори λ a ⃗ \lambda\vec a λ a Ман медонам , ки векторҳои коллинеарӣ кадомҳоянд, ва шарти коллинеариро бо координатаҳо менависам.Ман метавонам аз шарти коллинеарӣ параметри номаълумро ёбам. Такрор (2 дақиқа)
a ⃗ = ( 1 ; − 2 ; 3 ) , \vec a=(1;\,-2;\,3), a = ( 1 ; − 2 ; 3 ) , b ⃗ = ( 0 ; 4 ; − 1 ) . \vec b=(0;\,4;\,-1). b = ( 0 ; 4 ; − 1 ) . a ⃗ + b ⃗ = ? \vec a+\vec b=? a + b = ? Вектори муқобили a ⃗ = ( 2 ; − 1 ; 5 ) \vec a=(2;\,-1;\,5) a = ( 2 ; − 1 ; 5 )
Қоидаи секунҷаро баён кунед.
Ҷавобҳо
( 1 ; 2 ; 2 ) ; (1;\,2;\,2); ( 1 ; 2 ; 2 ) ; ( − 2 ; 1 ; − 5 ) ; (-2;\,1;\,-5); ( − 2 ; 1 ; − 5 ) ; A B → + B C → = A C → . \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}. Таъриф Ҳосили зарби вектори a ⃗ = ( a 1 ; a 2 ; a 3 ) \vec a=(a_1;\,a_2;\,a_3) a = ( a 1 ; a 2 ; a 3 ) λ \lambda λ λ a ⃗ = ( λ a 1 ; λ a 2 ; λ a 3 ) \lambda\vec a=(\lambda a_1;\;\lambda a_2;\;\lambda a_3) λ a = ( λ a 1 ; λ a
Расми 1. Векторҳои a, 2a ва −a: дар як хати рост, 2a дарозтар ва ҳамсамт, −a муқобил. Расми 2. Векторҳои AB ва D₁C₁ — коллинеарӣ, самти якхела; B₁A₁ ба онҳо коллинеарӣ, самти муқобил. Қоида Ду вектори a ⃗ \vec a a b ⃗ ≠ 0 ⃗ \vec b\ne\vec 0 b
Калимаҳои калидӣ зарби вектор ба адад векторҳои коллинеарӣ мутаносибӣ вектори муқобил вектори воҳидӣ
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам? Худро санҷед (✓ — медонам, ✗ — боз такрор мекунам):
Вектори λ a ⃗ \lambda\vec a λ a
Коллинеарии ду векторро аз рӯи координатаҳо месанҷам ва нул-координатаро ба назар мегирам.
Параметри номаълумро аз шарти a ⃗ = λ b ⃗ \vec a=\lambda\vec b
Вектори − 2 a ⃗ -2\vec a − 2 a a ⃗ \vec a a
Кадом ҷуфти векторҳо коллинеарӣ аст?
Як ҷавобро интихоб кунед A ( 2 ; − 1 ; 0 ) (2;\,-1;\,0) ( 2 ; − 1 ; 0 ) ( − 4 ; 2 ; 0 ) (-4;\,2;\,0) ( − 4 ; 2 ; 0 )
B ( 3 ; 6 ; 9 ) (3;\,6;\,9) ( 3 ; 6 ; 9 )
C D Барои a ⃗ = ( 1 ; − 2 ; 3 ) \vec a=(1;\,-2;\,3) a = ( 1 ; − 2 ; 3 ) λ \lambda λ v ⃗ = λ a
Ҳар як унсури чапро бо яке аз рост мувофиқ кунед → … λ = 3 λ = −1 λ = 2 λ = −3 λ = 0,5
→ … λ = 3 λ = −1 λ = 2 λ = −3 λ = 0,5
→ … λ = 3 λ = −1 λ = 2 λ = −3 λ = 0,5
→ … λ = 3 λ = −1 λ = 2 λ = −3 λ = 0,5
∣
;
⟺
(b ⃗ ≠ 0 ⃗ \vec b\ne\vec 0 b = 0 a i = λ b i a_i=\lambda b_i a i = λ b i A B
+
2
;
λ
a 3
)
=
a ⃗ = λ b ⃗ . \vec a=\lambda\vec b. a = λ b . ( a 1 ; a 2 ; a 3 ) = ( λ b 1 ; λ b 2 ; λ b 3 ) , a 1 = λ b 1 , a 2 = λ b 2 , a 3 = λ b 3 . (a_1;\,a_2;\,a_3)=(\lambda b_1;\;\lambda b_2;\;\lambda b_3),\qquad a_1=\lambda b_1,\ \ a_2=\lambda b_2,\ \ a_3=\lambda b_3. ( a 1 ; a 2 ; a 3 ) = ( λ b 1 ; λ b 2 ; λ b 3 ) , a 1 = λ b 1 , a 2 = λ b 2 , a 3 = λ b 3 .
=
=
( 1 ; 3 ; 2 ) .
3 a ⃗ − 2 b ⃗ 3\vec a-2\vec b 3 a − 2 b b
=
( 1 ; k ; 3 )
( 1 ; 2 ; 4 )
( 1 ; 2 ; 3 ) (1;\,2;\,3) ( 1 ; 2 ; 3 ) ( 2 ; 4 ; 5 ) (2;\,4;\,5) ( 2 ; 4 ; 5 )
( 1 ; 0 ; 1 ) (1;\,0;\,1) ( 1 ; 0 ; 1 ) ( 2 ; 1 ; 2 ) (2;\,1;\,2) ( 2 ; 1 ; 2 )
⃗ \vec v=\lambda\vec a ( 2 ; − 4 ; 6 ) (2;\,-4;\,6) ( 2 ; − 4 ; 6 )
( − 1 ; 2 ; − 3 ) (-1;\,2;\,-3) ( − 1 ; 2 ; − 3 )
( − 3 ; 6 ; − 9 ) (-3;\,6;\,-9) ( − 3 ; 6 ; − 9 )
( 0,5 ; − 1 ; 1,5 ) (0{,}5;\,-1;\,1{,}5) ( 0 , 5 ; − 1 ; 1 , 5 )
