Ҳал. Дар ҳамвории α порчаи AC⊥a-ро мегузаронем: AC=c — масофаи аз A то a. Порчаи BC моил аст, AC — проексияи он дар α (чунки AB⊥α). Азбаски a⊥AC, мувофиқи теорема дар бораи се перпендикуляр a⊥BC. Пас BC — масофаи матлуб.
1. Аз маркази давраи дарункашидаи секунҷа ба ҳамвории секунҷа перпендикуляри дарозиаш 2,4 м гузаронида шудааст. Радиуси давра 0,7 м аст. Масофаро аз охири ин перпендикуляр то тарафи наздиктарини секунҷа ёбед.
2. Аз қуллаи A-и секунҷаи баробартарафи ABC перпендикуляри AD ба ҳамвории секунҷа гузаронида шудааст. Масофаро аз нуқтаи D то тарафи BC ёбед, агар AD=13 см ва BC=6 см бошад.
Дар хона
3. Аз қуллаи A-и росткунҷаи ABCD(AB=6,AD=8) перпендикуляри AK=6,4 ба ҳамвории росткунҷа гузаронида шудааст. Масофаро аз нуқтаи K то хати рости BD ёбед.
4. Аз қуллаи A-и росткунҷаи ABCD ба ҳамвории он перпендикуляри SA гузаронида шудааст. Исбот кунед, ки SB⊥BC ва SD⊥CD.
Нишондод
Моилҳои SB ва SD-ро ва проексияҳояшонро дар ҳамвории росткунҷа нависед. Хати BC аз асоси моили SB мегузарад.
Вазифаи хонагӣ
Машқҳои 3 ва 4.
Дар ин дарс
Ман медонам теоремаи се перпендикулярро ва фарқи «шарти зарурӣ» аз «шарти кифоявӣ».
Ман метавонам ҳарду қисми теоремаро исбот кунам.
Ман метавонам бо ёрии теорема масофаро аз нуқта то хати рости ҳамворӣ ҳисоб кунам.
Такрор (2 дақиқа)
Хати рост кай ба ҳамворӣ перпендикуляр аст? Аломати перпендикулярии хати рост ва ҳамворӣро баён кунед.
Ду хати рости ба як ҳамворӣ перпендикуляр чӣ гуна ҷойгиранд?
Перпендикуляр, моил ва проексияи моил чист?
Ҷавобҳо
Хати рост ба ҳамворӣ перпендикуляр аст, агар вай ба ҳар хати рости ҳамворӣ, ки аз нуқтаи буриш мегузарад, перпендикуляр бошад. Аломат: барои ин кифоя аст, ки вай ба ду хати рости ҳамдигарро буранда перпендикуляр бошад. 2) Онҳо параллеланд. 3) Агар AB⊥α,B∈α,C∈α, он гоҳ AB — перпендикуляр, AC — моил, BC — проексияи моил дар ҳамвории α.
Вазъият барои андешаронӣ
Нардбон ба девори амудӣ такя кардааст. Дар фарш хатти рост ба «соя»-и нардбон (проексияаш дар фарш) перпендикуляр аст. Оё вай ба худи нардбон ҳам перпендикуляр аст? Ва баръакс: агар хати рост ба нардбон перпендикуляр бошад, оё вай ба сояаш ҳам перпендикуляр аст?
Теорема дар бораи се перпендикуляр
Барои он ки хати рости дар ҳамворӣ ҷойгирбуда ва аз асоси моил гузаранда ба моил перпендикуляр бошад, зарур ва кифоя аст, ки вай ба проексияи ҳамин моил перпендикуляр бошад.
Расми 1. AB ⟂ α, AC — моил, BC — проексияи он; хати рости a аз C мегузарад; CD ⟂ α; β — ҳамвории AB ва CD.
Исбот
Аз нуқтаи C хати рости CD⊥α-ро мегузаронем. — мавҷудияти перпендикуляр аз нуқта ба ҳамворӣ.
Аз ду хати рости параллели ва ҳамвории мегузарад. Нуқтаҳои дар мехобанд, пас ва ҳам дар мехобанд. —
Зарур ва кифоя
Шарти кифоявӣ: агар он иҷро шавад, хулоса ҳатман дуруст аст. Шарти зарурӣ: агар он иҷро нашавад, хулоса дуруст буда наметавонад. Агар шарт ҳам зарур, ҳам кифоя бошад, ду тасдиқ «агар ва фақат агар» баробарқувваанд.
Мисол аз ҳисоб: барои он ки адад ба 6 тақсим шавад, зарур аст, ки он ҷуфт бошад (адади тоқ ба 6 тақсим намешавад), вале ин кифоя нест (4 ҷуфт аст, вале ба 6 тақсим намешавад). Ва «ба 6 тақсим шудан» ба 3 тақсим шуданро кифоя мекунад, вале зарур нест ( ба тақсим мешавад). Дар теоремаи мо шарт ҳам зарур, ҳам кифоя аст.
Мисоли 1
Аз охири A-и порчаи AB-и дарозиаш b ҳамворӣ ба порча перпендикуляр гузаронида шудааст ва дар ин ҳамворӣ хати рости a мегузарад. Масофаи аз A то ба баробар аст. Масофаро аз то ёбед.
Расми 2. AB ⟂ α, AC ⟂ a; BC — масофаи матлуб. Поён: секунҷаи росткунҷаи BAC, ки дар он амал мекунем.
худро санҷ1 хол
Аз қуллаи A-и росткунҷаи ABCD(AB=8 см, AD=5 см) перпендикуляри AK см ба ҳамвории росткунҷа гузаронида шудааст. Масофаро аз нуқтаи то хати рости ёбед (см).
Барои ҷавоб додан ва нигоҳ доштани пешрафт ворид шавед.Ворид шудан
худро санҷ1 хол
Агар a хати рости ҳамвории α бошад ва аз асоси моил гузарад, перпендикуляр будани он ба проексияи моил ва ба худи моил яктараф аст: яке аз дигаре бармеояд ва баръакс.
Барои ҷавоб додан ва нигоҳ доштани пешрафт ворид шавед.Ворид шудан
худро санҷ1 хол
AB⊥α,AC — моил, BC — проексияи он. Хати рости a⊂α аз нуқтаи C мегузарад ва Кадом тасдиқ дуруст аст?
Як ҷавобро интихоб кунед
Барои ҷавоб додан ва нигоҳ доштани пешрафт ворид шавед.Ворид шудан
худро санҷ1 хол
Қадамҳои исботи қисми «кифоя»-ро ба тартиб гузоред: AB⊥α,a⊂α,C∈a,a⊥; исбот:
Унсурҳоро бо тартиби дуруст ҷойгир кунед
1
2
3
4
5
Барои ҷавоб додан ва нигоҳ доштани пешрафт ворид шавед.Ворид шудан
Барои ҷавоб додан ва нигоҳ доштани пешрафт ворид шавед.Ворид шудан
AB
CD
β
A,
B,
C
β
AC
BC
β
аксиомаи C3.
a⊥CD, чунки CD⊥α,a⊂α ва a аз асоси C мегузарад. — таърифи хати рости ба ҳамворӣ перпендикуляр.
Кифоя. Бигзор a⊥BC. Хатҳои BC ва CD дар β ҳамдигарро дар C мебуранд ва a ба ҳарду перпендикуляр аст (қадами 4). Пас a⊥β — аломати перпендикулярӣ. Хати AC дар β мехобад ва аз C мегузарад, бинобар ин a⊥AC.
Зарур. Бигзор a⊥AC. Хатҳои AC ва CD дар β ҳамдигарро дар C мебуранд (AC=CD, чунки A∈/CD) ва a ба ҳарду перпендикуляр аст. Пас a⊥β ва a⊥BC, чунки BC⊂β.
9
3
a
c
B
a
=
15
K
BC
a⊥BC.
a∥BC
a бо AC кунҷи 45∘ месозад
a∥AC
a⊥AC
BC
a⊥AC.
Аз C хати рости CD⊥α-ро мегузаронем; CD∥AB
Аз AB ва CD ҳамвории β мегузарад; AC ва BC дар β мехобанд
AC⊂β ва аз C мегузарад, пас a⊥AC
Дар β хатҳои BC ва CD дар C мебуранд; a⊥BC (шарт) ва a⊥CD
