3. Перпендикуляриихатҳои рост ва ҳамвориҳо дар фазо
3.9 · 1/4. Теоремаҳо дар бораи ду перпендикуляр
1 соат
Назария
Дарси 4 аз 16
Хониш: 9 дақиқа
Саволҳо: 5
Ду савол: 1) агар хат ба яке аз ду ҳамвории параллел перпендикуляр бошад, дар бораи он чӣ гуфтан мумкин аст? 2) ду хати ба як ҳамворӣ перпендикуляр чӣ гунаанд? Ҷавобҳо — се теоремаи «дар бораи ду перпендикуляр».
Теоремаи якум: хат ба ду ҳамвории параллел
Исбот. Бигзор α∥β,a⊥α дар A. Хати a ҳамвории -ро мебурад, пас низ мебурад (хати рост ва ду ҳамвории параллел, ), бигзор дар Дар аз хатҳои ва мегузаронем. Ҳамвории бо аз рӯйи хати бурида мешавад ва (хатҳои буриш). Ҳамин тавр
Исбот. Бигзор a∥b,a⊥α дар A. Хати b ҳамвории α-ро мебурад (хатҳои параллел ва ҳамвории буранда) дар нуқтаи B. Хати дилхоҳи c⊂α-и аз B мегузаронем ва бигзор c1⊂α — хати аз A ба c параллел. Дорем: a⊥c1 (таъриф), a∥b,c1∥c. Хатҳои a,c1 дар A ва b,c дар B мебуранд. Мувофиқи теоремаи хатҳои ба перпендикулярҳо параллел b⊥c. Хати c дилхоҳ буд, пас b⊥α.■
Теоремаи сеюм: ду перпендикуляр ба як ҳамворӣ
Исбот. Бигзор a⊥α дар A ва b⊥α дар B. Агар a ва b нуқтаи умумӣ дошта бошанд, аз ин нуқта ба α ду перпендикуляр мегузарад — мувофиқи ягонагӣ a=b. Бигзор a ва b нуқтаи умумӣ надоранд (A=B). Аз B хати b1∥a-ро мегузаронем. Мувофиқи теоремаи дуюм b1⊥α. Агар b1=b, хатҳои b ва b1 ҳамвории β-ро муайян мекунанд ва c=α∩β хати аз B гузаранда аст. Дар β ба c аз B ду перпендикуляр: b ва b1 — планиметрия инро манъ мекунад. Пас b1=b ва b∥a.■
Мисоли 1. Нишон диҳед, ки агар ҳамвориҳои α ва β ба хати рости a перпендикуляр бошанд, онҳо параллеланд.
Ҳал.a ҳар ду ҳамвориро дар нуқтаҳои A ва B мебурад. Фарз мекунем, ки α ва β нуқтаи умумии M доранд (M=A,M=B, вагарна ҳамҷоя мешаванд). Хати AM⊂α, пас a⊥AM; ҳамин тавр a⊥BM. Секунҷаи ABM ду кунҷи рост дорад — номумкин. Пас α∥β.■
2. Дар параллелепипеди росткунҷаи ABCDA1B1C1D1 яке аз теғаҳои AA1,BB1,CC1,DD1 ба ҳамвории ABCD перпендикуляр аст. Исбот кунед, ки ҳар чаҳор ба ин ҳамворӣ перпендикуляранд.
3. Ҳамвориҳои параллели α ва β ва хати рости a⊥α дода шудаанд; a ҳамвориҳоро дар A ва B мебурад. Исбот кунед, ки порчаи AB ба ҳар хати рости ҳамвориҳои α ва β, ки аз A ва B мегузарад, перпендикуляр аст.
Агар хати рост ба яке аз ду ҳамвории параллел перпендикуляр бошад, он гоҳ вай ба ҳамвории дуюм низ перпендикуляр аст.
a⊥b (таъриф) ва b1∥b. Хати a ҳар ду хати параллели b ва -ро мебурад, пас (хатҳои ба перпендикулярҳо параллел).
Расми 1. Хати a ба ҳамвории α ва ба ҳамвории параллели β перпендикуляр аст.
Теорема
Агар яке аз ду хати параллел ба ҳамворӣ перпендикуляр бошад, он гоҳ хати дигар низ ба ин ҳамворӣ перпендикуляр аст.
Расми 2. Хатҳои параллели a ва b: a ⟂ α, пас b ⟂ α; хати c дар α аз B, хати c₁ ба c параллел аз A.
Теорема
Ду хати рости ба як ҳамворӣ перпендикуляр байни худ параллеланд.
Расми 3. Ду перпендикуляр a ва b₁ ба ҳамвории α параллеланд: онҳо дар ҳамвории β мехобанд, c = α ∩ β.
Расми 4. Ҳамвориҳои α ва β ба хати a перпендикуляранд, пас параллеланд.
Оё медонед?
Агар дар се теорема «хат» ва «ҳамворӣ»-ро иваз кунем (масалан, ду ҳамвории ба як хат перпендикуляр параллеланд), тасдиқҳои дуруст ҳосил мешаванд. Мисоли 1 яке аз онҳост.
Ман дар ин дарс чӣ омӯхтам?
Се теоремаро дар бораи ду перпендикуляр мегӯям ва чаро дуруст будани онҳоро шарҳ медиҳам.
